H. van KotenTNO/IBBC, Rijswijk Bepalen van buigstijfheid endemping van gebouwen metbehulp van trillingsmetingenVoordracht namens CUR-commissle A 20, uitgesproken tijdens deCUR-dag van 11 april 1975 te Rotterdam1Eigenfrequentie van een niet roterendefundering1. InleidingVeel instrumenten voor het meten van bewegingen zijn gevoelig voor versnellingen. Daardooris het mogelijk kleine snel wisselende bewegingen nauwkeurig te meten. Langzaam wisselendebewegingen zijn vaak veel moeilijker meetbaar, hiervoor is bij voorbeeld optische apparatuurnodig.Door het meten van de snel wisselende bewegingen van bouwconstructies wordt informatieverkregen over de eigenfrequenties en daaruit zijn gegevens over de stijfheid van zo'n con-structie af te leiden. Hierdoor is het mogelijk een schatting te maken van de invloed van binnen-muren e.d. op de totale stijfheid. Ook is het mogelijk de (wisselende) bewegingen, veroorzaaktdoor rotatie van de fundering, te meten. Daarmee wordt een indruk verkregen van de rotatie-stijfheid van de gehele fundering. De uit de meting afgeleide stijfheden van gebouw en funde-ring kunnen worden vergeleken met theoretische waarden. Hiermee is een controle van detheorie mogelijk.De afgeleide stijfheden zijn bepaald bij snelle lastwisselingen, zodat kruipeffecten geen invloedhebben. Bij langdurig belasten kunnen vervormingen toenemen, waardoor een schijnbare ver-mindering van de stijfheid optreedt. Uit een analyse van de meetresultaten kan een waarde voorde demping van de constructie worden verkregen. Deze demping is bij slanke constructies vanbelang voor het bepalen van de spanning ten gevolge van windbelasting.2. Enkele berekeningen2.1. De eigenfrequentie van een gebouw met bewegende funderingDe onderzochte constructies zijn alle te schematiseren tot een in de fundering ingeklemde pris-matische staaf. Als de fundering niet roteert, dan is de eigenfrequentie van de staaf (zie lit. 1):Hierin is:EI de buigstijfheid van de ligger;L de lengte;m de massa per eenheid van lengte.Als de fundering enige rotatie ondergaat wordt de constructie slapper en de eigenfrequentielager. De invloed van de rotatie op de eigenfrequentie is te schatten met behulp van demethode van Rayleigh (zie lit. 2). Volgens deze methode is de eigenfrequentie van een prismati-sche ligger te berekenen uit:Hierin is w de horizontale verplaatsing van de ligger.Als de fundering niet roteert is w de verplaatsing die behoort bij de trillingsvorm van de aan ??nzijde ingeklemde staaf.Wordt voor dit geval in plaats van de juiste trillingsvorm de (grove) benadering w = wb (x/L)2ingevoerd, dan wordt met behulp van formule (2) gevonden:*Cement XXVIII (1976) nr. 3 1092Eigenfrequentie van een fundering die enigerotatie ondergaat3Rotatiemoment in een buigstijve rechthoekigeof ronde funderingsplaatBij invoering van de juiste trillingsvorm zou formule (1) zijn gevonden, dus 3,52 in plaats van1/20 = 4,45.Als de fundering roteert dan moet de doorbuiging worden vergroot met de term w = wr . x/L.Hierdoor wordt alleen de noemer in de breuk van formule (2) be?nvloed.De eigenfrequentie volgt uit:Hierin is de plaatafmeting in de richting van de rotatie-as en D de plaatafmeting hier lood-recht op.Deze formule geldt voor 0,3 < B/D < 3,0 (zie lit. 3).Voor de waarde van de elasticiteitsmodulus Eg en de dwarscontractie worden door Barkan(lit. 4) enige waarden gegeven (zie tabel 1).Tabel 1Elasticiteitsconstanten voor grondTabel 2Reductiefactoren voor paalfunderingen Met behulp van deze waarden kan K4 worden geschat.b. Fundatie op palenDe rotatiestijfheid van een fundatie op palen kan worden afgeleid uit de verticale veerconstantevan ??n paal. Als deze veerconstante Kp is, dan is het moment, om een zwaartelijn van de paal-fundatie, dat nodig is voor een hoekverdraaiing van ??n radiaal: = 2...........................................................................................................................(6)waarin an de afstand is van een paal tot de zwaartelijn.Deze formule leidt in het algemeen tot een te hoge rotatiestijfheid. Barkan heeft uit proeveneen reductie van deze stijfheid gevonden, afhankelijk van de verhouding van de onderlingepaalafstand en de paaldiameter t/d. Deze reductie is gegeven in tabel 2 (zie lit. 4, biz. 48).Een andere schatting van de rotatiestijfheid van een paalgroep kan worden gevonden door deaanname dat de grond onder de paalgroep werkt als een elastische halfruimte en daardoor derotatiestijfheid bepaalt.Cement XXVIII (1976) nr.3 110grondsoort E Vfijn zand 850 X 105N/m2grof zand 450 X 105N/m2plastische klei 300 X 105N/m2 ~ 0,3dichte klei met zand 3000 X 105N/m2l?ss 1200 X 105N/m2t/d reductiefactor_ 16,0 0,654,5 0,643,0 0,414Schoorsteen op ronde fundatieplaat opverdichte zandplaat5Rechthoekig gebouw op zandEen enkele paal ontleent zijn verticale stijfheid mede aan de omringende grond. Voor een paal-groep wordt de invloed van de omringende grond verdeeld over meerdere palen. Daardoor isde stijfheid van een paal in een paalgroep kleiner dan die van een alleenstaande paal. De stijf-heid van de vaste zandlagen onder de palen zal in het algemeen de stijfheid van een grote paal-groep bepalen.3. MeetresultatenGemeten werden de snel wisselende bewegingen van enkele constructies, veroorzaakt door dewind, zoals:a. een schoorsteen op een ronde fundatieplaat op zand;b. een rechthoekig gebouw op zand;en d. enkele gebouwen op palen.De resultaten van deze metingen worden hieronder nader uitgewerkt gegeven.a. Een schoorsteen op een ronde fundatieplaat op een verdichte zandplaat (zie fig. 4)Hoogte 175 mGemiddelde schachtdiameter 10,50 mGemiddelde wanddikte 0,30 mDiameter fundatieplaat 30,00 mGemiddelde massa van de schacht m = 17 000 kg/m'Gemeten eigenfrequentie fo = 0,32 HzDe uit de meting afgeleide verhouding van de topverplaatsingen door buiging en rotatie is(wr/wb = 0,08).Berekening van de eigenfrequentie met formule (3) levert:Deze elasticiteitsmodulus voor de grond is in vergelijking met tabel 1 hoog. Door de toegepastegrondverdichting zal deze hoge waarde zijn verkregen.De elasticiteitsmodulus was eventueel van tevoren vast te stellen geweest, door het meten vanvoortplantingssnelheden van golven.b. Een rechthoekig gebouw op zand (zie fig. 5)Hoogte 57 mBreedte 15 mLengte 45 mFundatieplaat 25 X 50 mGemiddelde massa 300 kg/m3De buigstijfheid van de constructie wordt geleverd door een serie betonwanden met eenbreedte van 11,40 m en een gezamenlijke dikte van 4,40 m.De gemeten eigenfrequentie is 0,96 Hz.Cement XXVIII (1976) nr. 3 1116Gebouw op palen7Gemeten eigenfrequenties als functie van dehoogte van het gebouwDe ui); de meting afgeleide verhouding van de topverplaatsingen door buiging en rotatie iswb/wr= 1,00. De rotatie van de fundering veroorzaakte dus 50% van de horizontale bewegingvan de top.Berekening van de eigenfrequentie:Derotatiestijfheid van de fundering als plaat op palen, kan worden berekend met formule (6).Hierbij dient er rekening m?e gehouden te worden, dat de buitenrand van de plaat niet volledigmeewerkt bij rotatie van de kern.Uit de theorie van de elastisch ondersteunde ligger volgt, dat aan weerszijden van de kernongeveer 9 m als meewerkend gerekend kan worden. Uit formule (6) volgt dan dat de veerstijf-heid voor ??n paal gelijk moet zijn aan 3,5 108N/m. Deze waarde is voor in de grond ge-maakte palen normaal.d. De resultaten van diverse metingenOp overeenkomstige wijze als hiervoor omschreven werden de meetresultaten van nog enkelegebouwen verwerkt.De stijfheden afgeleid uit de eigenfrequenties bleken in overeenstemming met de stijfhedervan de ongescheurde constructies. De eigenfrequenties zijn in figuur 7 uitgezet als functie varde hoogte van het gebouw. In deze figuur is ook de kromme 50/H (H is de gebouwhoogte in mgetekend. Deze kromme levert een ruwe schatting van de eigenfrequentie.De verhouding van de verplaatsingen wr en Wb aan de top zijn in figuur 8 uitgezet. Hierbij val?het op dat bij de gebouwen gefundeerd op palen de verplaatsing door rotatie wr ongeveer 25%van de totale verplaatsing bedraagt.Bij het gebouw op zand is de verplaatsing door rotatie gelijk aan die door buiging. Dit is medseen gevolg van de zeer stijve constructie van het gebouw (zie onder b).Cement XXVIII (1976) nr.3 112sVerhouding van de verplaatsingen wr en Wbaan de top voor verschillende fundehngs-wijzenAls laatste Is het resultaat gegeven van een gebouw in Parijs op rotsachtige bodem. Bij datgebouw is de rotatie van de fundering verwaarloosbaar.De dempingDe demping van de gebouwen is bepaald uit de meetresultaten door een harmonische analyse.De resultaten hiervan zijn gegeven in tabel 3 voor de bewegingen evenwijdig aan de korte zij-den van het gebouw (x-richting) en evenwijdig aan de lange zijden van het gebouw (y-richting).De demping is vermeld als percentage van de kritische demping c/ckr (zie ook lit. 1).Tabel 3Demping (procenten van de kritischedemping)gebouwhoogte x-richting y-richting36 m 1,5 1,658 m 1,6 2,760 m 1,3 2,161 m 1,8 1,665 m 1,7 2,790 m 1,5 2,2104 m 2,1 3,6De waarden van de demping in x-richting zijn bijna alle lager dan in de TGB 1972 vermeldewaarden voor constructies van beton (2%).4. SamenvattingUit de resultaten van de dynamische metingen blijkt, dat de stijfheid van de gebouwen goedbenaderd wordt door de stijfheid van ongescheurde betonconstructies.De rotaties van de paalfunderingen veroorzaken een horizontale verplaatsing aan de top vanhet gebouw die ongeveer 25% bedraagt van de totale horizontale verplaatsing.De rotaties van de gebouwen op staal zijn afwijkend en te berekenen uit gegevens over deelasticiteit van de grond.De demping van de gebouwen ligt tussen 1 en 2% van de kritische.Literatuur1. Den Hartog, J.P., 'Mechanical vibrations'; McGraw-Hill Book Company, Inc., New York 19562. CUR-rapport nr. 57, 'Dynamische problemen in de bouw', blz. 48; uitgave Betonvereniging,Zoetermeer 19723. Richart, F.E., Hall, J.R. en Woods, R.D.,'Vibrations of soils and foundations'; Prentice-Hall,Inc., Englewood Cliffs, New Jersey 19704. Barkan, D.D., 'Dynamics of bases and foundations'; McGraw-Hill Book Company, Inc.,New York 19625. Rayleigh, D., 'Theory of sound'; Dover Publications, Inc., New York 19456. Snijder, J.C., 'De bouw van de Medische Faculteit te Rotterdam'; Cement nr. 6,1968Cement XXVIII (1976) nr.3 113