E.G.Kerpersh()ekIngenieursbureau Dwars, Heederik enVerhey NV., AmersfoortBerekening .symmetrische trapmetuitkragendbordesEen bijdrage tot de berekening van de symmetrische trap met uitkragendbordes en symmetrische belastingU.D.C. 69.026:624.04Berekening van trappenInleidingDe symmetrische trap met uitkragend bordes, uitgevoerd in gewapend beton vindt de laatstejaren een stE;leds ruimere toepassing. Voor de sterkteberekening van deze trap zijn verschil-lende methoden opgezet, uitgaande van bepaalde schematiseringen.In dit artikel worden deze methoden aan een kritisch onderzoek onderworpen en wordt eennieuwe methode ontwikkeld. Aan de hand van een voorbeeld worden de verschillende reken-methoden vergeleken.Vo()rafgaande studiesW.Fuchssteiner (1) * publiceerde als eerste in het jaar 1954 een berekeningsmethode vooreen symmetrische trap met uitkragend bordes. Hij vereenvoudigde het probleem door de trapte beschouwen als een ruimtelijke staafconstructie. De trapbomen werden geschematiseerdals schuin uitkragende balken en het bordes als een halve horizontale ringbalk (fig. 1).De publikaties van D.Dicke (2) in Cement 11 (1959) en F.Sauter (3) waren geheel op dezeaannamen gebaseerd.AC.Liebenberg (4) was de eerste, die de ruimtelijke werking van de platen in ogenschouwnam. Hij stelde vast, dat de vervormingen van de vouw tussen de trapplaten en het bordesklein waren in vergelijking met de vervormingen t.g.v. de buigende momenten in de trapplaten.Verder benaderde hij het probleem door ervan uit te gaan, dat de platen niet in hun vlak ver-o vormden en dat de wringing te verwaarlozen was. Door deze laatste twee aannamen te doen,kon hij het vraagstuk terugbrengen tot een twee-dimensionaal probleem en werd de construc-tie statisch bepaald. Op eenvoudige wijze konden daarna door ontbinding de trek-, resp.drukkracht in de bo\ten- en ondertrap bepaald worden. Het buigende moment in het middenvan het bordes werd verkregen door de belasting in de vouw geconcentreerd te denken(fig. 2). Voor een snelle bepaling van de afmetingen is de methode zeer goed bruikbaar.ASiev (5) breidde de rekenmethode van AC.Liebenberg verder uit door de vervormingent.g.v. wringing als secun?laire spanningen in rekening te brengen. Hij liet eerst de trapplatenen het bordes onafhankelijk van elkaar vervormen en sloot daarna de hoekpunten van de trap-platen weer op het bordes aan door de compatibiliteitsvoorwaarden voor deze punten op testellen.ACusens en Jing-Gwo Kuang (6) vereenvoudigden de trap, evenals W.Fuchssteiner dat deed,weer tot een ruimtelijke staafconstructie.Zij namen uitvoerige belastingproeven op een modelschaall: 2 van een symmetris?:he trap met uitkragend bordes en kwamen tot de cone/usie,dat de halve ringbalk van W.Fuchssteiner geen goede voorstelling gaf van de vervormingenvan het bordes. Daarom verbeterden zij de schematisering van het probleem door het bordeste beschouwen als een rechte balk, gelegen in de vouw tussen de trapplaten en het bordes(fig. 3).Deze balk gaven zij een constante stijfheid, afgeleid uit de buigingsstijfheid van het bordes,echter zonder rekening te houden met de grote stijfheid van de vouw tussen de trapplaten enhet bordes. Ook verwaarloosden zij in tegenstelling tot W.Fuchssteiner de vervorming van deplaten in hun eigen vlak.*De tussen haakjes geplaatste cijfers ver-wijzen naar de litteratuurlijst op blz. 28De berekeningDe berekeningsmethode, zoals die in dit artikel wordt gepresenteerd, is voor een belangrijkgedeelte een voortzetting van die van ACusens en Jing-Gwo Kuang.Als verbeteringen worden genoemd:a. De grote stijfheid van de vouw tussen trapplaten en bordes wordt wel in rekening gebracht.Deze stijfheid kan veilig op oneindig gesteld worden, wat overigens al in 1937 doorESuenson(7) is opgemerkt.b. De vervorming in het vlak van de platen wordt wel in rekening gebracht.-~~--------------- Voor de duidelijkheid zij nog opgemerkt, dat de vervorming van het bordes over de breedtevan het schalmgat niet mag worden verwaarloosd. Dit zou anders een aanzienlijke verhoginggeven van het buigende moment in het midden van het bordes, omdat het bordes geheel rechtzou blijven, waardoor de trapplaten minder zouden worden gewrongen.2Berekeningsmethode volgens A.C.Lieben-berg; de belasting op het bordes is:(d+~)q = ql . a cosiX + q2 . c. --d--Het moment in het midden van het bordes is:Mmex =' - ! q . d. (d +c)1Schematisering van W.Fuchssteiner vande trap met uitkragend bordesCement XXII (1970) nr. 1 243Schematisering van de trap met vrijzwevend bordes volgens A.R.Cusens enJing-Gwo Kuang4Statisch bepaalde constructie5Verplaatsingen voor het statisch bepaaldegevalo-----.,_ _l----~ndekverdraaiing(010), AooL_o~///t,lj>i", "/ / .,/y//hori zontaleverplaat sing(0 20 )In het kort is de berekeningsgang als volgt:Eerst wordt de constructie statisch bepaald gemaakt door det:e in het midden van het bordesdoor te knippen (fig. 4).De twee traphelften zullen nu onafhankelijk van elkaar vervormen. Het is snel in te zien, datuit de symmetrie en antimetrie van de trap met uitkragend hordes volgt, dat de trapplatenslechts in twel1 richtingen tegengesteld aan elkaar vervormen. Deze vervormingen zijn in fig. 5in beeld gebracht.Door de belasting op het bordes over de breedte van het halve schalmgat, zullen de trap-platen Verdraaien en ontstaat een gaping in O. (In figuur 5 is ervan afgezien de zijdelingseuitwijking van de trapplaten te tekenen). Doordat de boventrapplaat naar binnen en de bene-dentrapplaat naar buiten buigt, verwijderen de punten 0 en 0' zich in horizontale richting vanelkaar.Om de bovenomschreven verplaatsingen op te heffen brengen wij in het punt 0 een horizon-tale kracht Ho en een moment Ma aan. De symmetrische trap met uitkragend bordes ensymmetrische belasting is dus tweevoudig statisch onbepaald. Voor het geval van een nietsymmetrische trap c.q. belasting. zouden zes statisch onbepaalden gevonden zijn. Omwillevan de eenvoud echter is dit artikel beperkt tot alleen het symmetrische geval.Andere gevallen kunnen geheel analoog met de hierna volgende rekenmethode worden op-gelost.6Nadere aanduiding van enkele notaties7Positieve richtingen van krachten enmomentenvectoren. Lijst van symbolena == lengte trapplaatb == lengte bordell,c == breedte bordesd == breedte trapplaatm == breedte schalmgatqa == horizontale belasting op de trapplaat per. eenheid van lengte in de richting van detrapplaatqb == belasting op het bordes per eenheid van lengte in de richting van de trapplaatB == reactie in B van de statisch bepaalde trapD == dwarskrachtE == elasticiteitsmodulusG == glijdingsmodulus ,.Ho == statisch onbepaalde kracht in het midden van het bordesIxt == traagheidsmoment over de x-as van de trapplaatI YI == idem over de y-asIwt == polair traagheidsmoment van de trapplaatI xb == traagheidsmoment over de x-as van het bordes[yb == idem over de y-asMa == statisch onbepaald moment in het midden van het bordesMx == moment loodrecht op het vlak van een plaatMy == moment in het vlak van een plaatMw == wringend momentN == normaalkrachta == hellingshoek van de trapB cc]E 0B'Afleiding der formulesHet statisch bepaalde geval wordt in twee fasen gesplitst volgens fig. 8.De momenten voor de 1e fase zijn:In het bordes:Mxo == -qb. c. x2/2. (d+ im)In de trap:MBxo == ~ qb . c2/2MAxo == - go . a2? cos2a/8 - MBxo/2Cement XXII (1970) nr. 1 25fig. 8 qa %1II 11 I11 1'11 1111 1 111 11qa %11111111"1111111 1I 1\111AB c+Acl' fa se 2' faseAB1;O"--Mofig. 9ABccMyo = qb . m . c . sinaj4Mwo = -qb? m. c. cosaj4De reactie Bis:B = qo . a . cosaj2 + qb . C + (MAxo - MBxo)/a . cosaDe momenten voor de 2e fase zijn:In de trap:Mxo=-B.xAls eerste statisch onbepaalde wordt genomen een moment Mo in het midden van het bordes(fig. 9).De momenten t.g.v. Mo = 1 zijn:In het bordes:MX1 = 1In de trap:MY1 = -sinaMW1 = cosaAls tweede statisch onbepaalde blijft over een dwarskracht Ho, eveneens in het midden vanhet bordes (fig. 10).De momenten t.g.v. Ho = 1 zijn:In het bordes:MY2 =-xIn de trap:MX2 = -xtgaMY2 = ~ b . cosaj2MW2 = -b. sinaj2 -Uit deze krachtenverdeling kunnen we nu door integratie de vervormingen berekenen, diedoor de verschillende belastingen (q, Ho en Mo) zullen optreden.Voor het statisch bepaalde geval is de hoekverdraaiing t.g.v. de q-belastingen:oo2 " a . casa. a . cosa.J~ qb . C. x2? dx _fqb . rn .C, sin2a . ~ _j~qb .m . c. cos2a . ~alO = - 2 (d +g) EIxb 4 ElYI cosa 4 Glw' cosaofig. 10qb.c.m3qb.a.c.m (sin2a + cos2a)48(d+g)Elxb;';; 4 EIyt Glwt 'en de horizontale verplaatsing:a . cosa. a . casa. a . casa.a20 = fB. ~I:l'X2? c::a-fqb' b. c. ;~l:~na.cosa . c::a +fqb' b. c ?8mbI:~a. cosa . c::ao o o_ B.a3.sina.cosa_qb.a.b.c.m ,(_1 1_)- 3 Elxl 8 ' sma . cosa. ElYIGlwtOp dezelfde wijze kunnen de vervormingen t.g.v. de statisch onbepaalde krachten wordenberekend:t.g.v. Mo is de hoekverdraaiing all . Mo , waarin:Cement xxn (1970) nr. 1 26m (sin.a; cos.a;)all = 2 Elxb + a. Elyt + Glwten de horizontale verplaatsing a21 . Ma. waarin:a.b ( 1 1)a21 = 2 . sina; . cosa;. Elyt-Glwt.Ten gevolge van Ha is de hoekverdraaiing a21 . Ha, waarin volgens de wederkerigheidswet vanMaxwell a21 = a12 is. en de horizontale verplaatsing a22. Ha. waarin:m3a3.sin'a; a . b' (cos.a; sin.a;)a22 = - - - + +--- --- +--24 ElYb 3 Elxt 4' Elyt GlwtUit de voorwaarde, dat de som van de verplaatsingen nul moet zijn ontstaan nu twee vergelij-kingen met twee onbekenden:alO + all . Ma + a12 . Ha = 0a20 + a21 ? Ma + a22 . Ha = 0waaruit de twee statisch onbepaalden Ma en Ha kunnen worden opgelost.Hiermee kunnen wij nu in elk punt van de trap de optredende krachten berekenen:In het bordes:Mox = MaDoy == HaIn de trap:MAx MAxa - B . a . cosa; - Ha . a . sina;1. ? ? MAx-MBxMDx 8 ? qa . a . cos a; - 2MBx MBxaMABy = M yo - Ma . sina; - ib. Ha. cosa;MABw = Mwo + Ma . cosa;_ ib. Ho . sina;Dx =- B. cosa; - Ha. sina;N = -B. sina; + Ha. cosa;RekenvoorbeeldAls rekenvoorbeeld wordt genomen de trap, die ook door ACusens en Jing-Gwo Kuang (6) isuitgerekend.Gegevens:a = 276 cm; I xt = 11400 cm4; lyt = 22851 000 cm4Iwt = 54300 cm4b=180cm; Ixb='32700cm4; lyb= 503600cm4c = 140 cm; d = 140 cm; m = 40 cma; = 300G/E = 0,435qa = 8,87 kgf/cm' qb. =8.99 kgf/cm'Gesubstitueerd in bovenstaande co?ffici?nten geeft dit de volgende v~rgelijkingen:0,009 Ma - 0,454 Ho = 110,620-0,454 Ma + 177,352 Ha = -693525,916Oplossing:Ma = -211318 kgfcmHo = - 4433 kgfDeze uitkomsten worden nu vergeleken met die uit verschillende andere berekeningsmetho-den. Telkens is dezelfde trap met bovenstaande gegevens uitgerekend. De resultaten wordenin tabelvorm weergegeven (tabel 1).Tabel 1 Moment Fuchssteiner Siev Cusens Schrijverin kgfm (1954) (1962) (1966)MAx -1153 - 193 403 273MDx 4 + 54MBx 881 - 881 881 881Mox 995 -2205 -1600 -2113MABy + 3410 + 4430 + 4120 + 4440MABw + 3430 + 159 + 463 + 380Cement XXII (1970) nr. 1 27Cement XXII (1970) nr. 1Het valt atlect op dat de uitkomsten van de meer gecompliceerde rekenmethode van ASievgrote overeenkomst vertonen met de hier gepresenteerde methode. Deze overeenkomst zalzeker gezocht moeten worden in het feit, dat ASiev tezamen met AC.Liebenberg (8) bij deopstelling van de compatibiliteitsvoorwaarden voor de vouw tussen de trapplaten en hetbordes de grote stijfheid van deze vouw mede in rekening bracht.In een reactie op het artikel van ASiev wijst AC.Liebenberg er echter wel op, dat de verstij"vende werking op het bordes veroorzaakt door de buiging van de trapplaten niet in rekeningis gebracht. Wellicht moet hierin het kleine verschil, dat zich toch nog manifesteert, wordengezocht.De uitkomsten van de rekenmethoden van W.Fuchssteiner en ARCusens wijken aanzienlijkaf van de hier gepresenteerde methode. Deze verschillen mOeten gezocht worden in onjuisteschematisering c.q. verwaarlozing van de grote stijfheid van de vouw tussen trapplaat enbordes.WapeningVoor de symmetrische trap met uitkragend bordes, uitgevoerd in gewapend beton, volgen hierenkele suggesties ten aanzien van de wapening.In het midden van het bordes moet bovenwapening gelegd worden om het moment Mox op tevangen. Gezien het feit dat het punt 0 vrijwel niet zakt, zal dit het moment daar ter plaatsesterk naar zich toe trekken, zo?dat aangeraden wordt voor de meewerkende breedte niet meerdan de helft van het bordes te nemen.Ook moet in het midden van het bordes de dwarskracht Dy worden gecontroleerd. Verdergedraagt het bordes zich als een uitkragende plaat met oplegging op de trapplaten.In de trapplaten moet nabij de opleggingen op het aldaar optredende inklemmingsmomentworden gewapend. Bedacht dient te worden, dat bij niet symmetrische belasting deze momen-ten hogere waarden zullen krijgen. Aangeraden wordt het uit de symmetrische belasting ver-kregen moment met een factor 1.5 te vermenigvuldigen en daarop te wapenen. Verder moetbedacht worden, dat in de boventrapplaat een trekkracht N optreedt. De wapening hiervoorkan nabij de inklemming bovenin over de gehele breedte van de trapplaat worden verdeeld,maar onderin zal deze trek zich waarschijnlijk meer in de richting van het schalmgat verplaat-sen,zodat aanbevolen wordt de gevonden wapening VOor N over niet meer dan een kwartvan de plaatbreedte te verdelen.In het algemeen zal het niet nodig zijnde trapplaten op wringing te wapenen, maar bij eenbreed schalmgat moet men toch oppassen. Ook het moment in de y-richting van de trapplatenzal in het algemeen weinig wapening opleveren door de grote hoogte van de plaat in dezerichting.ConclusieDe berekeningsmethode, die in 1965 door ACusens en Jing??Gwo Kuang (6) naar voren isgebracht, gaat uit van minder juiste aannamen dan die van ASiev (3). De door ACusens enJing-Gwo Kuang genomen proeven geven ook duidelijke aanwijzingen in die richting.Uit fig. 13 van hun artikel (6) blijkt duidelijk dat het niet vervormen van de vouw, een goede. \aanname IS.De uitkomsten van W.Fuchssteiners berekeningsmethode wijken in sterke mate af van deandere, hetgeen te verklaren is uit de afwijkende uitgangspunten. Deze berekeningsmethodemoet dan ook als beslist achterhaald worden beschouwd.Voor het ontwerp kan men van de vereenvoudigde aannamen van AC.Liebenberg uitgaan.Als de plaatdikten vastgesteld zijn, kan ter bepaling van de wapening een berekening volgensASiev of volgens de alhier ontwikkelde methode worden opgezet.Bedacht dient echter te worden, dat in alle hier besproken gevallen platen berekend zijnvolgens de balktheorie. In verband hiermee mogen de verschillen tussen de methoden vanSiev, Cusens en de hier gepresenteerde berekening als niet bijzonder relevant worden be-schouwd. Slechts kan gesteld worden, dat uitgaande van de balktheorie met de hier gebodenmethode naar een zo goed mogelijke oplossing van het probleem is gestreefd.Litteratuur1. Fuchssteiner, W., 'Die Freitragende Wendeltreppe'; Beton und Stahfbetonbau (Berlin), V.49,No. 11, nov. 1954, pag. 252-2592. Dicke, 0., 'Vrijdragende trap met bordes'; Cement 11 (1959), nr. 3, maart 1959, pag. 275-2793. Sauter, F., 'Free-Standing Stairs'; A.C./. Joumaf, Proceedings V. 61, nr. 7, juli 1964, pag. 847-8704. Liebenberg, AC., 'The Design of Slab Type Reinforeed Concrete Stairways'; The StructurafEngineer (London), V. 38, nr. 5, mei 1960, pag. 156-1645. Siev, A, 'Analysis of Free Straight Multiflight Staircases'; Proceedings ASCE, V. 88, St. 3,jUni 1962, pag. 207-2326. Cusens, AR., en Kuang Jing-Gwo, 'A Simplified Method of Analysis Free-Standing Stairs';Concrete and Constructionaf Engineering (London), V. 60, nr. 5, mei 1965, pag. 167-172'Experimental Study of a Free-Standing Staircase'; A.C.!. Joumaf, Proceedings V. 63, nr. 5,mei 1966, pag. 587-6047. Suenson, E., 'Tr?gerlose Eisenbetontreppen'; Beton und Eisen, 1937, pag. 3088. Liebenberg, AC., Discussion of 'Analysis of Free'Straight Multiflight Staircases'; Proceed-ings, ASCE, V. 88, St. 6,december 1962, pag. 327-3339. Siev, A, Closure to discussion of 'Analysis of Free Straight Multiflight Staircases?. Proceed-ings ASCE, V. 89, St. 5, oktober 1963, pag. 251-25428