C o n s t r u c t i e & u i t v o e r i n gB erekening56 cement 2006 7AAdoorsnede A-Akolombalk balkophangwapeninghspbeugelsAbbeugelsAoAAdoorsnede A-Akolom2 32 3prof.ir. C.S. Kleinman, TU Eindhoven, fac. Bouwkunde,Constructief OntwerpenBij het berekenen worden nokken en neuzen vaak opdezelfde manier beschouwd, met verwijzing naar NEN6720. Zelfs de verplaatsing van de momentenlijn en dedaaruit volgende verandering van dwarskrachtslankheidwordt niet meegenomen, omdat wordt gesteld dat deophangwapening de functie van starre ondersteuning inhet gehanteerde vakwerkmodel kan vervullen. Dat ditonjuist is zullen we in twee artikelen nader toelichten.Het in figuur 1 afgebeelde detail komt in de huidigeconstructiepraktijk zeer vaak voor. Veelal wordt dit gewa-pend als in figuur 2. Uit nadere berekening van de tand-oplegging, die als console wordt gedimensioneerd, zoudan blijken dat deze als gedrongen ligger g??n dwars-krachtwapening zou behoeven. Niets is minder waar.Alvorens we nader ingaan op de veronderstelde detail-krachtswerking, werken we een voorbeeld uit.R e k e n v o o r b e e l dGegeven een doorgaande ligger als in figuur 3. Insnede 1 vinden we:Mden Tden k= 1.Mdwordt omgezet in wapening Ab.De Tdgeeft een d= 1,12 N/mm2Bij een 1= 0,60 N/mm2moeten we afwapenen metbeugels met s= 1,12 ? 0,60 = 0,52 N/mm2. Ditgeschiedt als weergegeven in figuur 4.Nu wil men deze balk prefabriceren (zelfde beton-sterkteklasse, zelfde staalkwaliteit) en uitvoeren als infiguur 5; scharnier in momentennulpunt.Voor het deel links van snede 2/2 vinden wed= 1,0 N/mm2en 1= 0,6 N/mm2. Afwapenen met s= 0,4 N/mm2door middel vanbeugels.Voor het gedeelte rechts van snede 3/3: idem, afwape-nen met s= 0,4 N/mm2.Echter: voor de tanden zou g??n beugelwapeningbehoeven te worden voorzien, omdat dit een gedron-gen `ligger' zou zijn, waarbij een 1= 3,2 N/mm2past.In verband met een wijziging in het ontwerp moeten wede situatie als in figuur 6 cre?ren. Nu is de ingehangenbalk opeens geen gedrongen constructie meer; 1wordtweer 0,60 N/mm2en we moeten beugels toepassen.K r a c h t s w e r k i n g t a n dWe beschouwen een veel voorkomende balk uit eenstrokenvloer. Allereerst de krachtswerking nabij detandoplegging in het ongescheurde stadium, waarnawe overgaan naar de gewapende versie waarbij sprakeis van de gescheurde fase waarin de wapening de haartoegedichte rol vervult.Als bezwijkomhullende hanteren we figuur 7.Nokken met die Tanden!kolombalkbalkdwarskrachtwapeningg??n dwarskrachtwapeningmaaiveldfoliea b11X Y A Zdc1 |2 |3 |4 |5 |6 |C o n s t r u c t i e & u i t v o e r i n gB erekeningcement 2006 7 572(N/mm2)1 (N/mm2)-30bezwijkomhullende hoofdspanningen-25+3+3 -25 -30H o m o g e e n o n g e s c h e u r dDe TandTabel 1 vermeldt de afmetingen van balk en tand.Tabel 1balk tandlengte 8100 300hoogte 680 280breedte 1050 1050We beschouwen een balk als in figuur 8. Met behulpvan een schijvenprogramma onderzoeken we wat dehoofdspanningen in de elementen zijn. In dit voor-beeld richten we ons op de elementjes die directlangs de doorsnedewisseling liggen en genummerdzijn van 1 t.m. 4.We bepalen nu de belasting Q die in element 4 eenhoofdtrekspanning veroorzaakt van 3 N/mm2. Ditblijkt het geval te zijn bij een belasting die een ople-greactie R veroorzaakt van 146 KN. De gemiddeldeschuifspanning bedraagt derhalve 0,5 N/mm2.Tabel 2 geeft een overzicht van de spanningstoestandvoor de elementjes 1 t.m. 4.Tabel 2element xy tg 121 -1,09 0,02 0,17 -0,15 -1,11 0,472 -0,29 0,21 0,41 -0,56 -0,53 0,443 0,39 0,60 0,56 -0,84 -0,08 1,074 2,70 0,98 0,27 0,39 3,0 0,67De ConsoleWe beschouwen de console die dezelfde geometrieheeft als de tand (fig. 9). We bepalen de belasting Pgelijk aan oplegreactie R die in element 4 eveneenseen hoofdtrekspanning veroorzaakt van 3 N/mm2. Ditis het geval bij R = 427 N/mm2.Tabel 3 geeft weer een overzicht van de spanningstoe-stand in de elementen 1 t.m. 4.Tabel 3element xy tg 121 -2,93 -2,65 2,29 -0,94 -5,08 -0,502 0,09 -1,82 1,28 0,50 0,73 -2,463 0,20 -0,72 1,32 0,71 1,15 1,664 2,64 0,70 0,92 0,40 3,0 0,35Als we tabellen 2 en 3 vergelijken, zien we datelement 4 in de balk op het punt staat te scheuren bijeen belasting van 146 kN en dat hetzelfde element inde tand als console op het punt staat te scheuren bij427 kN ( = 1,45 N/mm2). Dit is een factor 2,9.Conclusie: Pscheur;console/ Pscheur;balk= 2,9.D e g e w a p e n d e t a n d c . q . c o n s o l eDe TandWe beschouwen de balk als in figuur 10. De afmetin-gen staan vermeld in tabel 1.Teneinde een absolute bovengrens te kunnen behande-len, stellen we dat de balk rechts van snede 1-1 elketrekspanning kan opnemen, hoe groot ook, en derhalveongescheurd blijft. De `ophangwapening', waarover ineen volgend artikel meer, functioneert derhalve uitste-kend.In de praktijk wordt de tand gedimensioneerd doormiddel van de zogenoemde gedrongen consolebereke-LtandhtandhbalkLbalkQ/m'1502801501 82 73 64 5Adetail AR7 |8 |1502801501234P=RP=R9 |LtandhtandhbalkLbalkQ/m'15011Adetail Ahsp 2200 mm210 |C o n s t r u c t i e & u i t v o e r i n gB erekening58 cement 2006 7ning. Er wordt vervolgens 2200 mm2tandwapeningtoegepast bij een oplegreactie van 810 kN. De dbedraagt dan 2,9 N/mm2. Gevonden wordt dan dat1> 2, om als bovengrens 2= 4,2 N/mm2(B 35) tevinden. De conclusie luidt dan: de tand behoeft geendwarskrachtwapening.Laten we inzoomen: we modelleren de tand als infiguur 11. We gaan uit van een langeduur elasticiteits-modulus beton van 10 000 N/mm2; voor het staalhouden we 210 000 N/mm2aan.De doorsnede behandelen we in het ongescheurdestadium als een EA zware doorsnede; in het gescheurdestadium neemt het staal de volledige belasting op.Op deze wijze modelleren we een discrete scheur inhet gebied tussen de X-assen 10 en 11. De elementenzijn genummerd 1 t.m. 8.Na een aantal iteraties, waarbij we de belasting suc-cessievelijk ophogen, verkrijgen we bij P = 530 kN hetbeeld als in figuur 12: een discrete scheur lopend vanelement 4 t.m. 8. In tabel 4 staan de gevondenwaarden voor de nog werkzame elementen in debeschouwde snede.Tabel 4element tg 121 -0,20 -4,20 0,102 -0,48 -3,70 0,903 -0,74 -4,90 3,104 scheur5 scheur6 scheur7 wapening 223 N/mm28 scheurWe zien derhalve dat in element 3, direct onder deEA-zware doorsnede (staal) de 2gelijk is aan3,0 N/mm2. Het breukcriterium aldaar wordt over-schreden en de scheur breidt zich uit tot in de wape-ningszone. De wapening moet vervolgens als deuvelde kracht overbrengen naar de `hoge' balk.De onderwapening treft het: de bovenwapening gaatwerken als een op afschuiving belast anker en druktde dekking van de balk, daarmee het typische scholef-fect bewerkstelligend.De ConsoleDezelfde situatie, maar nu als console (fig. 13). Webeschouwen wederom doorsnede 1-1.We vinden, bij dezelfde belasting als voor de balk:P = 530 kN.Tabel 5element tg 121 0,79 -2,23 -11,932 0,44 -0,97 -4,173 0,50 -0,13 -3,354 0,59 0,48 -2,355 0,73 0,99 -1,576 0,84 1,67 -0,787 0,71 2,34 0,318 0,41 6,83 0,82We zien derhalve dat alleen in element 8 het bezwijk-criterium wordt overschreden en scheuring zal gaanoptreden, hiermede de trekwapening activerend. Danwordt het beeld als in tabel 6.2 4 6 8 101234567812 14wapeningwapeningRxy246810121411 |2 4 6 8 101234567812 14wapeningwapeningR=530 kNxy24681012142 4 6 8 101234567812 14wapeningwapeningRP=Rxy246810121412 |13 |C o n s t r u c t i e & u i t v o e r i n gB erekeningcement 2006 7 59Tabel 6element tg 121 0,86 -2,60 -12,302 0,55 -1,17 -4,333 0,60 0,10 -3,494 0,70 1,08 -2,455 0,70 2,58 -1,766 scheur7 wapening 164 N/mm28 scheurWe zien een groot verschil. De tand is aan het bezwij-ken, terwijl de console nog een lange weg te gaan heeft.Ook zien we dat de staalspanning in de console aan-zienlijk lager is dan de staalspanning in de tand,dankzij het nog intact zijn van vrijwel de volledigedoorsnede.De tand zal bezwijken conform het patroon van figuur14. De scheur zal afbuigen, het gebied in dat we in hetrekenmodel ongescheurd hadden aangenomen. Op ditverloop alsmede de modellering van dit gebied met`werkzame' ophangwapening, zullen we in een volgendartikel terugkomen.In de console daarentegen zien we een duidelijke druk-diagonaal die rechtstreeks naar het afdrachtpunt P loopt.D w a r s k r a c h t s l a n k h e i dDe vraag die zich nu voordoet is: wat is de lengte vaneen balk (h x b = 280 x 1050 mm2), aan het uiteindegewapend als voorgaande tand en belast door eenbelasting Q, die een reactie geeft van 530 kN en een-zelfde spanningsbeeld cre?ert in de beschouwde door-snede 1-1? Dit hebben we iteratief onderzocht, metook hier dezelfde veronderstelling voor de balk rechtsvan doorsnede 1-1: geen scheurvorming.Het zal niet mogelijk zijn om binnen een schijven-programma bij een andere geometrie dezelfde span-ningsverdeling te vinden. We volstaan met een situa-tie die er veel op lijkt. Op deze wijze vinden we eenindicatie voor de dwarskrachtslankheid.We starten met een ligger met een totale lengte van2200 mm, zodat L = 1900 mm. Vervolgens maken wede balk systematisch korter, maar wel zo dat de opleg-reactie gelijk blijft (fig. 15). Uiteindelijk vinden we eensituatie die redelijk overeenkomt met de gezochtespanningsverdeling. Dit levert een balk op meteen totale lengte van 1660 mm en derhalve eenL = 1330 mm.De spanningsverdeling zien we in tabel 7.Tabel 7element tg 121 -0,23 -4,20 -0,502 -0,54 -3,80 0,603 -0,87 -4,80 3,104 scheur5 scheur6 scheur7 wapening 202 N/mm28 scheurBeschouwen we de dwarskrachtslankheid, dan zienwe dat deze circa 2,3 bedraagt, en niet kleiner is dan1, zoals helaas in vele berekeningen wordt gehan-teerd.S a m e n v a t t i n gTanden en consoles wijken in hun gedrag sterk vanelkaar af. De belasting bij scheuren ligt bij tandenaanzienlijk lager dan bij consoles. In hetgescheurde stadium kan de drukdiagonaal zich bijde console ontwikkelen conform het vakwerkmodel.Bij de tand ligt de maximale belasting waarbij even-wicht mogelijk is, aanzienlijk lager. De veronder-stelde drukdiagonaal heeft een geringe drukzone terbeschikking, waarbij de overdracht naar de zogehe-ten ophangwapening zou moeten plaatshebben ineen zone van circa 35 mm. Dit is precies het gebiedvan de kromtestraal in deze staaf. Inleiding zal der-halve niet mogelijk zijn. De gevonden dwars-krachtslankheid is zelfs groter dan de dwars-krachtslankheid volgens NEN 6720 bij verschovenmomentenlijn, waarmee we moeten rekenen.We adviseren om tanden te berekenen met eendwarskrachtslankheid > 2, en niet als een gedrongenligger. Dat we daarnaast moeten denken aan een hori-zontale belasting op de tand in functie van de verti-cale belasting, de temperatuur en krimpinvloeden(wrijvingsloos oplegmateriaal passen we niet toe),spreekt voor zichzelf.In een volgend artikel zullen we de invloed vanscheurvorming in de balk rechts van de in dit artikelonderzochte snede beschouwen. n2 4 6 8 10 12 14wapeningwapeningR=530 kNxy24681012141345678210 1119R = 530 kN1502200 mm2280L ?14 |15 |