Stabiliteitsproblemen en de 1?%-regel voor hoge gebouwendoor ir. D.Dicke (Bouw-en Adviesbureau Bakkeren Dicke) U.D.C. 624.075 : 721.011.27stabiliteit, hoge gebouwenUitgaande van een gekozen aanvangsvervorming kan op vrij eenvoudige wijze hieruit de veiligheid tegen knik worden bepaald. De grootte van dezeveiligheidsfactor bepaalt de vergrotingsfactoren voor buigende momenten en vervormingen, waarna de spanningen kunnen worden bepaald. Op dezewijze is er een alternatief gegeven voor de wijze waarop, volgens voorschrift van de drie grote gemeenten, met 1\% van de totale gebouwbelastingals horizontale belasting, de stabiliteit van een hoog gebouw moet worden verzekerd.InleidingIn de richtlijnen voor het construeren van hoge gebouwen, op-gesteld door de diensten van bouw- en woningtoezicht van degemeenten Amsterdam, Rotterdam en 's-Gravenhage, komt hetvolgende artikel voor:'Behalve een belasting door hoge wind moet gerekend worden op eentotale horizontale belasting gelijk aan 1?% van het eigen gewicht ?nde nuttige belasting.Deze horizontale belasting wordt geacht gelijkmatig verdeeld aan tegrijpen.Van beide horizontale belastingen moet de ongunstigste worden ge-nomen'.De praktijk van de toepassing van deze regel is, dat in dwars-richting van ?en gebouw meestal de windbelasting maatgevendis, maar dat men in langsrichting een horizontale belasting moetlaten aangrijpen, die vele malen groter is dan de windbelasting.Ik wil op deze plaats niet ingaan op het redelijke of onredelijkevan deze regel, maar trachten een inzicht te geven in stabiliteits-probIemen om zodoende tot een meer wetenschappelijke oplos-sing te komen als alternatief voor deze, meestal kostbare, 1?%-regel.Stabiliteit van kolommenGeeft men de kolom van flg. 1 een wille-keurige uitbuiging, dan ontstaan er inwen-dige buigende momenten, die de kolomweer recht willen maken, en er ontstaanuitwendige buigende momenten Mx = . y0,die de kolom verder willen doen uitbuigen.Zolang de inwendige momenten maar gro-ter zijn dan de uitwendige, zal de kolomrecht gaan staan.Wordt zo groot, dat er overal evenwichtis tussen inwendige en uitwendige momen-ten, dan is er een labiele toestand ontstaan.Deze belasting is de knikkracht k.De elastische lijn die we de staaf opleggen,moet dezelfde zijn als de elastische lijn dieontstaat door de uitwendige momentenMx = Pk ? ?Of anders gezegd :Indien we aan een staaf, belast met eenkracht P, een uitbuiging geven, waarmeedus de uitwendige momenten Mx = .y0bekend zijn, en we bepalen aan de hand vandeze momentenlijn een nieuwe elastischelijn, en wanneer in ieder punt van de staaf deverhouding van deordinaten van deze elastische lijnen dezelfde is, dan is deze ver-houding de veiligheid van de staaf tegen uitknikken.In ieder punt van de staaf is de verhouding --gelijk.y, 2E .Iy P./2Voor V = 1 is2 /rWk-5-?^(Euler). . iDit was erg eenvoudig omdat we weten, dat de uitbuigingslijn vaneen rechte prismatische staaf een sinuso?de is.Zou de staaf niet prismatisch zijn dan moet men als volgt te werkgaan.Kies een uitbuigingslijn, bijv. een sinuso?de; nu is de momenten-lijn van de uitwendige momenten bekend.Deel de momenten in ieder punt door de waarde van E . I in datpunt, vat deze gereduceerde momentenlijn op als belastinglijn enbepaal analytisch of grafisch de momentenlijn die bij deze belas-tinglijn behoort.Dan is deze momentenlijn de elastische lijn. Nu zal niet in iederpunt-- gelijk zijn.Wil men een exacte uitkomst bereiken, dan kiest men vervolgensals uitbuigingslijn de lijn, die ontstaat door in ieder punt de ge-vonden te vermenigvuldigen met een bepaalde waarde, bijv. methet gemiddelde van --, en vervolgens door met deze uitbuigings-lijn weer een nieuwe elastische lijn te bepalen.Nu zal er al betere overeenstemming zijn. Men kan dit zo vaakherhalen tot er praktisch geen verschillen meer zijn.In de praktijk werken we met vele aannamen, te beginnen bij debelastingen, voorts met aannamen door de constructie te schema-tiseren, en ook met aannamen van E en I en aannamen over deuitvoering.Dit alles resulteert in de aanname van een veiligheidsco?ffici?nt.Het heeft weinig zin om in het voorgaande maar door te rekenentot een exacte uitkomst, als we op een eenvoudigere wijze tot eengoede benadering kunnen komen.Die vereenvoudiging is, dat we stellen, dat na de eerste bewer-king de verhouding van de oppervlakten van de elastische lijnengelijk is aan de veiligheid tegen uitknikken dus:/ yo.dx_ !? ______" *Hoe beter we de uitbuigingslijn hebben gekozen, hoe dichter deexacte waarde wordt benaderd, maar zelfs bij een 'slechte' keuzeis de afwijking nog niet groot.VoorbeeldVoor de staaf van fig. 1 kiezen we als uitbuigingslijn een sinuso?de. . .y0 =o.sin--j--Dus is1 = . 0 = P.d.sin"~Bij deze momentenlijn behoort een elastische lijn, die volgt uitJ2 -P.a.sin----d*l __ M>L________________ l__dx2 _? . I ~ E.IP . d . P . s m --Y=2.E.IWe kiezen het onwaarschijnlijke geval vaneen driehoekige uitbuiging (fig. 2):2.x JYo=-r.dd2y_ 2.P.x.ddx2-l.E.Idy P.x2.ddx--T?T7 + c'P.x*.dY =-TJT7i+c'-x + c*Bij = 0 is = 0 dus C2 = 0Cement 13 (1961) Nr. 7 393d/ .d.Bij = j? I - = dus , =is - --=--jdx 4. ? . I- p3d p-x-d-lY~ ~ 3 . l . E . I +4.E.IGezien de symmetrie gelden deze fomules voor verlopend van0 tot ? l.i/,?F0=2 h??to = i.d.ir Jl[( P.x3.d , P.x.d.l\. 5 P.d.l3F=2f -377+^)~96?-,, F0 9,6.E.I . . , . . .V = -- = , wat dus een goede benadering is.Wil men zelfs de moeite niet nemen om de oppervlakten te be-palen, dan heeft men een grovere benadering door voor ??n puntvan de staaf de verhouding --te bepalen.In het geval van de driehoekige uitbuiging is voor = 4? ?:P.d.l2,= n E I (terwiJ' Y? = d?-Men vindt dan:. 12. .7' . 'Zelfs hier zit men nog niet ver uit de buurt.Doet men dus een redelijke aanname voor de uitbuigingslijn dankan men op vrij eenvoudige wijze, onverschillig of men een prisma-tische of niet-prismatische staaf heeft en onverschillig welke rand-voorwaarden men heeft, tot een goede benadering van de veilig-heid tegen uitknikken komen.Als slot van deze eerste gevallen een algemeen vraagstuk (flg. 3):We laten de stijl uitknikken volgens een sinuslijn, . .Yo = d. sin ---Dan isMx = P.d. sin ^4x2. hP.d. sin----d2y 2 . dx~2==?777,2. P.d. h. cos^ldy 2. h/ = +---------------- r--i---------+ ,dx . ,. /,4.P.d. h2. sin ^4= H ------------ ---=--; ----------- h ,. + C22.,.I,Bij = 0 is y = 0 dus C2 = 0Bij = h is M = . d, dus hoekverdraa?ng door bovenregel:dy P.d.l . . P.d./_i_ _ --------------^ jyg ; _ -----------------dx 6 . ?2. /2 6 . E2. /24.P.d.h2.sin^- ,, J ,_ ____________ 2 . h . < ~~.... 2. ?,./, +~6.~7h. . . 2.h.dF0 = sin --- = -----------------/ . - dx.' 2. h h. . , ,2 . .. 4. .a.2.sin -- ,, , ..(-----------^-,^ + 7^)^ =V 2. ?,. / 6. 2. /2 /_ 8. . d. h3P.d.i.h2~ 3. ?,. I, +12.2.Kiezen we E,.I,= E2 . l2 en --? = 0,298 dan kunnen we verge-6.lijken met een exacte uitkomst uit litteratuur (4)*; daar is name-lijk voor deze waarde gevonden_ 1,221a. E./ _ 1.49.E.J"~ P.h2 _P.h2In ons'geval is nu:_ 8.P.d.h3. d . 6.0,298. h3_3. E.I +12.E.i,,,.,..,, ,,,,TM P.d. h30,407. . d. h3= (0,258 + 0,149). -^-j- =---------------- ?-j -------F0=0,683.d.h., F0 1,57. E.I , ...... ,V = -- = --------, dus een geringe afwijking van deexacte waarde.Zouden we geen oppervlakten hebben bepaald, maar slechts --voor x = h, dan vonden we :=