? ? onderzoek eng.P.B.Lourenço en prof.dr.ir.J.Biaauwendraad Technische Universiteit Delft, faculteit der Civiele Techniek. ? berekening In het eerste deel van dit artikel (Cement 1995, nr.2) is een uniforme aanpak gepresen­ teerd voor het wapenen van schijven, platen en schalen, gebaseerd op integraal even­ wicht en op consistente toetsing aan sterkte·eisen. In het tweede deel van dit artikel worden voor platen de numerieke resultaten van het nieu­ we model vergeleken met proefresultaten, met de resultaten van het 'normale moment'­ vloeicriterium- de ontwerpbasis van Eurocode 2 en (gedeeltelijk) de VBC- en met de resul· taten van het drie-lagen model. Voor schalen worden de numerieke resultaten vergeleken met proefresultaten en met de resultaten van het drie-lagen model, een niet-lineaire elementenmethode en de methode van Braam en De Haas. AANZET TOT CONSISTENT WAPENEN VAN SCHIJVEN, PLATEN EN SCHALEN ( 11) CEMENT1995/3 Numerieke voorbeelden Eerst wordt een voorbeeld besproken voor alléén buiging (het bijzondere geval dat in een schaalelement geen membraankrachten optreden). Daarna worden twee voorbeelden ge­ geven van een schaalelement, waarin zowel membraankrachten als normaalkrachten voor­ komen. Element met alleen buiging Voor het geval waarin alleen buiging optreedt wordt een proef van Marti e.a. gekozen [12]. Daarbij is een vierkant plaatdeel op zuivere torsie belast door in de vier hoeken paren van ge­ lijke en tegengesteld gerichte krachten aan te brengen. De uitkomst van het hier gepresen­ teerde nieuwe model wordt vergeleken met de werkelijk in de proef toegepaste wapening. In de praktijk worden op buiging belaste platen sinds de jaren zestig gewapend op basis van het zogenaamde 'normale moment'-vloeicriterium. Ter vergelijking wordt ook getoond welke wapening die methode oplevert. Daarom wordt die aanpak hier nog even kort samengevat. Verscheidene auteurs hebben aan deze methode bijgedragen; vooreen volledige bespreking zie [13]. De methode is door de Eurocode 2 en de VBC (maar niet volledig) aanvaard alsge­ schikte ontwerpbasis. Het 'normale moment'-vloeicriterium vereist voor elke richting n in het vlak van het plaatele­ ment: (39) waarin: mn is het buigend moment in de n-richting; mndu is het opneembaar moment berekend voor een potentiële vloeilijn loodrecht op de n-richting. Voorhet orthogonaal gewapende elementwordt de wapening in beide richtingen onafhanke­ lijk berekend en deze is in staat de momenten mudx? m' udx? mudyen m' udy op te nemen. Hierin zijn mudx en mudy momenten die de trekkrachten aan de onderkant van de plaat veroorzaken en m' udx en m' udy de momenten die de trekkrachten aan de bovenzijde van de plaat veroorza­ ken. 21 ? ? onderzoek ML7:Px =Py= 0.0025 x lO M//200 .· 50 lOM//200 50 y Cx = 16 ·Beugels lOM] > ·· ~)··. ·~JI !200 ? berekening 15M//10 50 x 15 M//10 50 .. 200 ;fL---,1< _ 18 ? Beugels lOM] ~ex- Wapening Oppervlakte 2 type (mm) lOM 100 15M 200 Dimensie in mm @ Wapening van plaatelementen blootgesteld aan wringing [12] Aangenomen dat de assen zodanig zijn gekozen dat myy ;?: mxx? dan doordat geen rekening kan worden gehouden met de verminderde leidt vergelijking (39} tot (zie Eurocode 2}: druksterkte tengevolge van scheuren doortrek in de andere richting. ! mudx = mxx + I mxy I mxx ;?: -I mxy I::} mudy = myy + I mxy I m,. < -lm,l~ ! mudx = 0 m~Y mudy = myy + -~--1 mxx ! m~dx = -mxx +I mxy I myy ~ lmxyl ::} m~dy = -myy +I m,Y I l m~Y m~dx = -mxx + -~--1 myy > lmxyl ::} myy m~dy= 0 (40} Tegen h.et 'normale moment'·vloeicriterium bestaat geen ernstig be­ zwaar zo lang er geen aanzienlijke wringmomenten op het element worden uitgeoefend en de wapeningspercentages klein blijven. Nu is alles voldoende besproken om met hetvergelijken te beginnen. Uit [12] worden twee torsie-proeven geanalyseerd, proef ML7 met een wapening van 0,25% en proef ML9 met een wapening van 1%. Beide platen zijn 200 mm dik. In het eerste geval zijn 10M-staven ge­ bruikt (As= 100 mm 2 } en in hettweede gevai15M-staven (As= 200 mm 2}. Op figuur 8 is een detail te zien ter grootte van een kwart van het proefstuk. In de hoeken en aan de zijkanten van het proefstuk zijn ver­ ticale beugels en haarspelden aangebracht om lokaal bezwijken door brosse breuk te voorkomen. De vloeispanningvan de 10M staven was4 79 N/mm 2 en van de 15M staven 412 N/mm 2 . De druksterkte van het beton, gemeten aan ci- linders met een diameter van 152 mmeneen hoogte van 305 mm, Ni eisen [14] wees er reeds op dat deze vergelijkingen leiden tot min-was f~1 = 44,4 N/mm 2 ? derveilige voorspellingen, zowel voor hogere wapeningspercentages als voor grotere hoeken tussen de richting van de ontwerphoofdmo- Tabel 2 geeft de vergelijking tussen de experimentele resultaten en menten en de richtingvan de wapening. Ook Gupta [10] heeft recent de resultaten die werden verkregen met de hiervoorgestelde metho­ duidelijk aangetoond dat bovenstaande vergelijkingen slechts een de. De overeenstemming is zeer goed. benadering zijn, omdat geen rekening wordt gehouden met de in- vloed van de verschillende hefboomsarmen voor de inwendige Tabel 3 toont de verkregen resultaten met het 'normale moment'­ krachten. Verdere overschatting van de sterkte kan zich voordoen vloeicriterium.ln ditgeval is gebruikgemaaktvan het parabool-recht- Tabel2 Aanwezige en voorspelde wapening met het nieuwe model Tabel3 Dimensionering volgens het 'normale mo­ ment'-vloeicriterium 22 proef ... ML7 ML9 proef ML7 ML9 bezwijk- aanwezîge moment wapening (kNm/m) (mm 2/m) 42,5 500 101,5 2000 Asx (mm 2/m) . 500 :1.460 voorspelde apntaJ at=ab wapening iteraties (mm 2/m) (mm) soo .. 6 22 1940 17 73 Asy (mm 2/m) 530 1630 CEMENT1995/3 ~ z x Hoofdrichtingen voor buiging a) Betonkrachten b) Wapening krachten (bovenste laag) i nsyb l nsyb c) Wapeningkrachten (onderste laag) nsxb - @ Evenwicht van krachten in een element blootgesteld aan zuivere wringing hoek spanningsdiagram uit de Model Code met de gebruikelijke ningsdoorsnede van 1540 mm 2 /m gevonden. Dat is ook 23% te wei­ waarde voor de betondruksterkte: f~ = 0,85 f~yl· nig wapening, vergeleken met de 2000 mm 2/m die werkelijk in het proefstuk voorkwam. Het hier voorgestelde nieuwe model voorspelt Het 'normale moment'-vloeicriterium leidt tot een goede wapening voor ML7 (3% te veel), maar tot een onderschatting van 23% voor ML9. Ook zijn de hoeveelheden wapening in x-en y-richting verschil­ lend, terwijl de hiervoorgestelde nieuwe methode voor beide richtin­ gen precies dezelfde hoeveelheden genereert. Met behulp van fi­ guur9 is dit eenvoudig in te zien. De betonkrachten (nbt en nbb) hou­ den de externe wringmomenten in evenwicht. Daardoorwordtaan al­ le buigvergelijkingenonmiddellijk voldaan en de krachten in de wape­ ningbehoeven alleen nogmaar de componenten van de betonkrach­ ten in x-en y-richtingte compenseren. Vanwege de symmetrievan de wapeningten opzichte van hetmidden van hetvlak van de plaat moe­ ten de krachten in de gehele wapening hetzelfde zijn. De proef van Marti e.a. toont aan dat we voorzichtig moeten zijn met de methodevolgens het'normale moment'-vloeicriterium. Bij matige torsie en een laag wapeningspercentage is de methode wel veilig, maar bij overheersende torsie en hogere wapeningspercentages is de dimensionering onveilig en ook inconsistent. Proef ML9 is ook een keer gewapend met het drie-lagenmodel onder aanname dat d = 0,8 h. Dan wordt per laag en richting een wape- CEMENT1995/3 op 3% nauwkeurig de benodigde wapening. Schaalelement ? Voorbeeld 1 Het eerste voorbeeld van een schaalelement wordt gekozen uit on­ derzoek dat is verricht aan de Universiteit van Toronto in Canada. Daar is een proefopstelling ontwikkeld voor het beproeven van grote gewapend-betonnen schaalelementen onder een aantal verschil­ lende belastingscombinaties.ln [15] zijn de resultaten van een serie van dergelijke proeven gerapporteerd. Hier zal alleen schaalelement SE? worden beschouwd. De belasting bestaat uit een schuifkracht nxy en een buigend mo­ ment mxx. De bezwijkbelasting van dit 0,285 m dikke proefstuk be­ droeg nxy = 1806 kN/m en mxx = 235 kNm/m. De ·druksterkte van het beton was 41,8 N/mm 2 , gemeten aan cilinders. De vloeisterkte van de wapening was f.x = 492 N/mm 2 in x-richting en fsy = 4 79 N/mm 2 in y-richting. De afstand tussen de wapeningsstaven in x-richting en het middenvlak van het element was 0,122 m. Voor de staven in y-richting was deze afstand 0,100 m. 23 ? ? onderzoek ? berekening Dit proefstuk is ook berekend en gedimensioneerd door Kollegger [16] met behulp van een niet-lineaire elementenmethode. Door aanname van·een effectieve druksterkte van 0, 70 f~1 voor het beton en een vloeisterkte van f. = 492 N/mm 2 voor het staal in beide rich­ tingen, vond hij een bezwijkbelasting die 3% lager lag dan de experi­ mentele waarde. Hij bepaalde de wapening voor het schaalelement met het volgende 'trial and error'- proces: eerst wordt in beide richtingen minimum-wapening verondersteld; met deze wapening wordt een belasting die proportioneel is aan de bezwijkbelasting in kleine incrementen aangebracht tot het bezwijk­ stadium; als de uiteindelijke belasting lager is dan de bezwijkbelas­ ting in de proef, moet de wapening in de richting met de grootste spanning worden verhoogd en kan met de volgende iteratiestap wor- ? Voorbeeld 2 Tweede voorbeeld van een schaalelement is het rekenvoorbeeld dat Braam en De Haas behandelen in [1]. Het betreft de combinatie van de membraankrachten nxx = 2000 kN/m nyy = -1000 kN/m nxy = 1500 kN/m met de momenten mxx = 200 kNm/m myy = 400 kNm/m mxy = 800 kNm/m den begonnen. De betondruksterkte t;, = 21 N/mm 2 en de staalvloeigrens f. = 435 Een dergelijke procedure is niet geschikt om te ontwerpen (hoewel N/mm 2 . volledig geautomatiseerd), omdat deze erg veel tijd kost en er erg veel invoergegevens nodig zijn. De resultaten zijn echterwel geschikt Dit voorbeeld wordtop drie manieren gewapend: met de hiervoorge­ om de deugdelijkheid van de hiervoorgestelde methode vastte stel-stelde nieuwe methode, met het drie-lagenmodel en met de aanpak len. van Braam en De Haas. Tabel 5 geeft het resultaat weer. Tabel4 geeft de resultaten van Kollegger [16] en de verkregen resul-Het nieuwe model en de drie-lagenmethode geven praktisch dezelf­ taten met de hiervoorgestelde nieuwe methode. Hierin is ook aan ge- de uitkomst, in ieder geval wat de totale wapening betreft. De aanpak geven welke uitkomst hetdrie-lagenmodel geeft. Voordit proefstuk is van Braam en De Haas leidttot40% meer wapening, omdat de wape­ de nieuwe methode gelijkwaardig aan het drie-lagenmodeL Wordt ning in de bovenlaag sterk wordt overgedimensioneerd. Wij zijn van echter aan de belasting een wringend moment mxy toegevoegd in de meningdat de uitkomstvan het nieuwe model betrouwbaar is, omdat orde van de grootte van mxx? dan blijft het drie-lagenmodel weer dui- deze is gebaseerd op integraal evenwicht en op consistente toetsing delijk achter bij het nieuwe model (meer dan 10% te weinig wape- aan sterkte-eisen. Voor de methode van Braam en De Haas blijftzo'n ning) en is het een onveilige dimensioneringsmethode. fysische onderbouwing een beetje in het ongewisse. In tabel4 valt op dat in de proef aanzienlijk meerwapening aanwezig was dan de nieuwe methode en Kolleger's berekening voorspellen. De belangrijkste verklaring hiervoor is dat in de proef 4180 mm 2 jm voorkomt in x-richting boven in het element, die volgens de bereke­ ning niet nodig is. Dat zal in de proef drukwapening geweest zijn. Wordt deze afgetrokken van de totale 11140 mm 2 jm, dan is de over­ eenstemming weer heel redelijk. Conclusie is dat de nieuwe metho­ de een goede en veilige wapeningshoeveelheid voorspelt. Tabel4 Dimensionering van een schaalelement, voorbeeld 1 proef [15] Kollegger [16] ·. nieuwe methode ( t;, == 0,7 0 f~y1 ) TabeiS Dimensionering van een schaalelement, voorbeeld 2 24 drie-lagenmoqel i) Minimum-wçarda wapening nieuwe methode (ft, = 0, 70 f~y1) drle-làgenmode.! Braam en oe Haas x-boven 4180 500 1 ) 0 0 x-boven 2290 1870 5750 wapeningsdoorsnede (mm 2/m) y-boven x-onder y-ond~r totaal 1390 4180 I·· 1390 11140 1410 3760 1690 7360 1660 3680 1790 7130 1560 ~810 1780 7150 wapeningsdoorsnede (mm 2 /m) y-boven x-onder y-onder totaal 440 6560 3590 12880 0 6900 4020 12.790 1660 6900 .3790 18100 CEMENT1995/3 Conclusies De in de VBC voorgeschreven methode voor buiging in platen, geba­ seerd op het 'normale moment'-vloeicriterium, is onveilig bij over­ heersende wringende momenten en hogere wapeningspercenta­ ges. Het drie-lagenmodel is dan even onveilig. Voor schaalelementen is het drie-lagenmodel veilig. De methode van Braam en De Haas geeft voor het beschouwde schaalelement een aanzienlüke overschatting van de benodigde wa­ pening. In dit artikel is een uniforme aanpak gepresenteerd voor het wape­ nen van gewapend-betonnen schijven, platen en schalen, die goed in overeenstemming blijkt te zün met experimentele resultaten. De ite­ ratiemethode die wordt voorgesteld is snel, betrouwbaar en onaf­ hankelük van de beoordeling van de gebruiker. De nieuwe methode kan worden geïmplementeerd als een aanvul­ lende module in een EEM-pakket. De wapening wordt dan berekend in elk integratiepunt en het wapeningsnet kan worden gevisuali­ seerd. Op basis van deze wapeningscontouren en geselecteerde de­ len van de constructie in kritieke zones, stelt de constructeur een praktische wapeningvast Het ontwerp zal veilig zün en over hetalge­ meen eenvoudig. Verscheidene grote constructies zijn in Portugal al met deze methode geanalyseerd, zowel eenvoudige denkbeeldige als complexe uitgevoerde constructies [11, 17, 18]. De resultaten zün zeer goed en in het laatste geval werd een vergelüking gemaakt met een niet-lineaire analyse om het ontwerp te evalueren. In dit ge­ val bleek het ontwerp veilig en economisch. literatuur 12. Marti, P., Leesti, P., Khalifa, W.U., Torsion tests on reinforeed con­ crete slab elements. J. Struct. Div., ASCE, Vol. 113( 5), pp. 994-1010, 1987. 13. Marti, P., Kong, K., Response of reinforeed concrete slabs ele­ ments to torsion. J. Struct. Div., ASCE, Vol. 113(5), pp. 976-993, 1987. 14. Nielsen, M.P., Limitanalysis of reinforeed concrete slabs. Acta Po­ lytechnica Scal'ldinavica, Ci 26, Copenhagen, Denmark, 1964. 15. Kirscher, U. en Collins, M.P., lnvestigatingthe behaviourofreinfor­ ced concrete shell elements. Pub. 86-09, Dept. Civ. Engng., Universi­ ty of Toronto, Canada, 1986. 16. Kollegger, J., Computer programs for consistent design of surfa­ ce structures. IABSE, Vol. 62, Stuttgart, Germany, pp. 507-512, 1991. 17. Figueiras, J.A., Cachim, P.B., Lourenço, P.B., Póvoas, R.H.C.F., A consistent procedureforthe design of concrete shell structures. EU­ RO-e 1994, Computational Modelling of Concrete Structures, lnns­ bruck, Austria, pp. 955-964, 1994. 18. Lourenço, P.B., Figueiras, J.A., AsoJution forthe design of reinfor­ eed concrete plates and shells. J. Struct. Engnr., ASCE, verschünt mei 1995. CEMENT1995/3 25 ? ? onderzoek ? berekening APPENDIX Zoals in dit artikel wordt besproken, ligt het probleem van het bereke- De aanvangswaarden zijn at = ab = 0,04 m, ()t = 45° en ()b = -45°. Voor het teken van (), zie vergelijking (A.1). nen van de wapening van een schaalelement op het gebied van de 1. nbt = -325,0 kN/m; nbb = -175,0 kN/m; niet-lineaire programmering. Verschillende commerciële- en onder- mbt = 26,0 kNm/m;_ mbb = -14,0 kNm/m zoekspakketten kunnen worden gebruikt om ditsoortproblemen op 2. nsxt = 437,5 kN/m; nsxb = -387,5 kN/m; te lossen. Een dergelijke benadering spreekt constructeurs echter nsyt = 62,5 kN/m; nsyb = 487,5 kN/m nieterg aan. Hieronderwordteen eenvoudig te programmeren itera-3. nsxb < 0 ~ Bereken de nieuwe ()ben ga naar Stap 1: tiemethode uitgelegd; voor de volledige programmatekst van de nsxb = 0 ; () = -79,6° subroutine in Fortran, zie [11]. Aangenomen worden aanvangswaarden van ()t = ()b = ± .n/4 en at= ab = 0,2 h. De keuze()=± .n/4 is eenvoudig te begrijpen, om­ dat deze waarde de hoek is die voor schijven leidttot minimale wape­ ning. Ditzou kunnen blijven gelden wanneer het drie-lagenmodel van figuur 6 van toepassing zou zijn. Er is geen speciale reden voor de ge­ schatte aanvangswaarde a = 0,2 h, maar deze is efficiënt gebleken. Eerst worden expliciete relaties verkregen voor de drukkrachten in het beton in de onderste en de bovenste laag. Wanneer ()t 'i' 0, .n/2 en ()b 'i' 0, .n/2, kunnen de vergelijkingen (21)-(26) zo worden be­ werkt dat deze leiden tot (A.2) Voor het speciale geval dat enige()= 0, .n/2, zie [11]. Nu kan de volgende iteratiemethode in gang worden gezet: 1. Bereken in het beton: ? nbt en nbb uit vergelijking (A.1); ? mbt en mbb uit vergelijking (20). 2. Bereken de krachten in de wapening: ? de vergelijkingen (21) en (24) geven nsxt en nsxb; ? de vergelijkingen (22) en (25) geven nsyt en nsyb· 3. Controleer de krachten in de wapening. Als één van de krachten Begin de iteratie opnieuw. 1. nbt = -325,0 kN/m; nbb = -491,1 kN/m; mbt = 26,0 kNm/m; mbb = -39,3 kNm/m 2. nsxt = 437,5 kN/m; nsxb = 0 kN/m; nsyt = 62,5 kN/m; nsyb = 416,1 kN/m 3. Alle krachten in de wapening zijn ;:::: 0: Ga verder met de volgende Stap. 4. at= 0,0443 m; ab = 0,0669 m; at+ ab < h: Ga verder met de volgende Stap. 5.1 at,1- at,o I> 10- 5h of I ab,1- ab,o I> 10- 5h: Ga verder met de vol­ gende iteratie. Ga naar Stap 1. De uiteindelijke resultaten die met deze iteratiemethode worden ver­ kregen, zijn: at = 0,0495 m en ab = 0,0816 m, met ()t = 45° en ()b = -79,6°. De trekkrachten in de wapening en de bijbehorende wapenings­ doorsneden zijn: nsxt = 526,8 kN/m (Asxt = 1514 mm 2/m) nsyt = 79,0 kN/m (Asyt = 227 mm 2/m) nsxb = 34,7 kN/m (Asxb = 100 mm 2/m) nsyb = 422,5 kN/m (Asyb = 1214 mm 2/m) Wanneer hetzelfde voorbeeld zou worden opgelost met een strenge optimaliseringsmodule die in staat is de som van de trekkrachten exact te minimaliseren, worden de volgende uitkomsten verkregen: . nsxt = 509,0 kN/m; nsyt = 72,4 kN/m; ()t = 45,6° nsxb = 0,0 kN/m; nsyb = 422,8 kN/m; ()b = -78,9° negatief is, zet deze dan op nul, bereken de bijbehorende hoek () Dit komt overeen met een winst van 5,8% op de totale hoeveelheid en ga terug naar Stap 1. wapening. Voor de verschillende voorbeelden die door de auteurs zijn getest kan worden geconcludeerd dat de maximale winst die met 4. Bereken de dikte van de gedrukte betonlaag met vergelijking ( 19) de optimaliseringstechniek kan worden behaald in feite niet meer en controleer of het beton bezwijkt (a1 + ab ~ h). dan ongeveer 5% is. De CPU-tijd neemtechtersterk toe: op een werk­ station uit de HP 700 serie, van ongeveer 0,0005 s voor de voorge- 5. Controleer of convergentie optreedt: stelde iteratiemethode naar ongeveer 0,15 s voor de optimalise- als I at,;- at,i- 11 > 10- 5h of I ab,i- ab,;- 11 > 10- 5h, ga naar stap 1. Zo ringsmodule, ofwel met een factor 300. niet, verlaat de routine. Numeriek voorbeeld Beschouwd wordt een schaalelement met de volgende gegevens: nxx = -200 kN/m; nyy = 300 kN/m; nxy = 75 kN/m mxx = -60 kNm/m; myy = 40 kNm/m; mxy = -20 kNm/m h = 0,2 m; hxt = hyt = hxb = hyb = 0,08 m f~2 = 7,34 N/mm 2 ; f. = 348 N/mm 2 26 ? CEMENT1995/3