32? CEMENT 8 20 21 RUBRIEK REKENEN IN DE PRAKTIJK Dit is de 17e aflevering in de Cement-rubriek 'Rekenen in de praktijk'. In deze rubriek staat telkens één rekenopgave uit de praktijk centraal. De rubriek wordt samengesteld door een werkgroep, bestaande uit: Mustapha Attahiri (Ingenieurs- bureau Gemeente Rotterdam), Maartje Dijk (Witteveen+Bos), Lonneke van Haalen (ABT), Matthijs de Hertog (Nobleo), Jorrit van Ingen (WSP), Jacques Linssen (redactie Cement) en Bart Vosslamber (Heijmans). De artikelen in deze rubriek worden telkens opgesteld door één van de leden van deze werkgroep. Het wordt vervol- gens gereviewd door de andere leden en door minimaal één senior adviseur binnen het bedrijf van de opsteller. Ondanks deze zorgvuldigheid, is de gepresenteerde rekenme- thode de visie van een aantal individuen. Een belangrijk onderdeel in de toetsing van betonbalken is de controle van de dwarskrachtcapaciteit. Om die dwarskrachtcapaciteit te verhogen worden beugels toegepast. Bij het berekenen van de capaciteit moet de inwendige hefboomsarm worden bepaald. Dit kan leiden tot merkwaardige resultaten, zo blijkt uit een rekenvoorbeeld. DWARSKRACHT- CAPACITEIT BETON- DOORSNEDE Case Deze case richt zich op het bepalen van de dwarskrachtcapaciteit van een balk. Er wordt een rechthoekige doorsnede beschouwd met afmetingen b x h = 500 x 750 mm². In de doorsnede heerst een dwarskracht V Ed = 1000 kN. CEMENT 8 2021 ?33 rekenen in de praktijk (17) 1a 2a 1b 1c 1d 2b 3a 3b 4a 4b 5a 5b 5c 5d 4ø 25, XC4, XD2 c toe = \f0 mm k x = 1\b00 4ø 25, XC4, XD2 c toe = \f0 mm k x = 1\b00 c nom 3ø 20, XC4, XD2 c toe = \f0 mm k x = 1\b00 beugel: ø12-150 3ø 20, XC4, XD2 c toe = \f0 mm k x = 1\b00 750 00 500 Conform NEN-EN 1992-1-1 art 6.2.3 wordt de dwars- krachtcapaciteit van dwarskrachtbeugels bepaald met: V Rd;s = [ A sw / s] · z · f ywd · cot? waarin: [A sw / s] = t oegepaste dwarskrachtwapening in mm 2/m m f ywd = r ekenwaarde vloeisterkte wapenings- st aal in N/mm 2 ? = hoek v an de drukdiagonaal in graden z = in wendige hefboomsarm in mm Voor de ervaren betonconstructeur is dit een bekende formule. Bij het invullen van de parameters kunnen vragen worden gesteld over het bepalen van de inwen- dige hefboomsarm z. Inwendige hefboomsarm Om een en ander toe te lichten, wordt een rekenvoor- beeld beschouwd van een rechthoekige doorsnede met afmetingen b x h = 500 x 750 mm 2 (fig. 1). Voor het bepalen van de inwendige hefboomsarm z grijpen we terug op NEN-EN 1992-1-1 6.2.3 (1) waar het volgende wordt aangegeven: "In de dwarskracht- berekening van gewapend beton zonder normaalkracht mag in het algemeen de benaderende waarde z = 0,9d zijn gebruikt". In het rekenvoorbeeld zou dit uitkomen op z = 0,9 · (750 ? 60 ? 12 ? 0,5 · 25) ? 601 mm. ?????Het is echter de vraag of voor deze situatie de benaderde waarde mag worden aangehouden. Om dit toe te lichten is een evenwichtsberekening van de betondoorsnede uitgevoerd. Een dergelijke berekening UITGANGS- PUNTEN doorsnede b x h = 500 x 750 mm² betonsterkteklasse C30/37 dekking op de beugels c = 60 mm beugelwapening Ø sw = 12 ? 150 mm langswapening 4 x Ø25 boven en onder flankwapening 3 x Ø20 aan beide zijden fig. 1  Beschouwde doorsnede wordt standaard door rekenpakketten gemaakt en is met een spreadsheet gemakkelijk inzichtelijk te maken. ?????Door een inwendig koppel van een trekkracht (wapeningsstaven) en een drukkracht (resultante in drukzone) wordt evenwicht met een buigend moment gevonden, waarbij de grootte van het buigend moment niet belangrijk is. Een toelichting op de rekensystematiek is gegeven in figuur 2. De resultaten staan in tabel 1. Uit de evenwichtsberekening wordt een resulterende inwendige hefboomsarm gelijk aan 539 mm gevonden (quotiënt tussen eenheidsmoment en de eenheids- krachten in de trekstaven = 1 / [0,146 + 0,301 + 1,423]). Dat deze waarde lager is dan de benaderde waarde (601 mm) is goed te verklaren uit het feit dat het zwaartepunt van de op trek belaste wapening veel dieper in de doorsnede ligt. De consequentie hiervan voor de dwarskrachtcapaciteit wordt in de onder- staande berekening duidelijk gemaakt. V Rd;s = [ A sw / s] · z · f ywd · cot? W aarin A sw = 2 · 0 .25 · ? · 12 2 = 22 6 mm 2 s = 200 mm f ywd = 4 35 N/mm 2 ? = 21, 8 deg 34? CEMENT 8 20 21 1a-1d 2a/2b 3a/3b 4a/4b 5a-5d 4ø 25 s1 c s2 s3 s4 s5 4ø25 ø12-150 2ø20 2ø20 2ø20 doorsnede rek\figuurin\bendig even\bicht x z Ns3 Ns4 Ns5 Nc Conclusie In de Eurocode (NEN-EN 1992-1-1) wordt een eenvou- dige bepaling van de inwendige hefboomsarm z voorgesteld, met daarbij de aantekening dat het hier om een benadering gaat die in algemene gevallen klopt. Strikt genomen moet men bij het maken van doorsnedeberekeningen dus controleren of de werke- lijke inwendige hefboomsarm overeen komt met de benaderingswaarde. Dan kan men dus beter altijd de berekende waarde gebruiken, zoals in veel software pakketten gebeurt. Een eenvoudig voorbeeld laat echter zien dat dit leidt tot een lagere dwarskrachtca- paciteit, terwijl dit niet goed onderbouwd kan worden, omdat het (fictief) meenemen van minder wapening zou leiden tot een hogere capaciteit. Het is belangrijk je dit te realiseren. ?????Het lijkt zelfs beter om de normtekst zo aan te passen dat bij dwarskrachtberekeningen altijd z = 0,9 d mag worden aangehouden. Hieruit volgt: V Rd;s = 986 kN (v oor de benaderde waarde van z) = 885 kN (v oor de berekende waarde van z) Het verschil tussen beide capaciteiten is bijna 12%, een essentieel verschil. Met een werkelijke evenwichtsberekening, die ook in veel geautomatiseerde berekeningsprogramma's wordt uitgevoerd, volgt dus een veel lagere dwarskrachtweer- stand dan wanneer voor z een benaderende waarde wordt toegepast. ?????Dat dit merkwaardig is, kan duidelijker worden gemaakt door creatief boekhouden. Wanneer de wapeningsstaven 2ab, 3ab en 4ab buiten beschouwing worden gelaten in de berekening van de dwarskracht- capaciteit, wordt een hogere inwendige hefboomsarm gevonden (z = 0,9 · (750 ? 60 ? 12 ? 0,5 · 25) ? 601 mm), waardoor de capaciteit ook hoger wordt (V Rd;s = 986 kN). Het in rekening brengen van minder wapening leidt dan tot een hogere capaciteit. fig. 2  Toelichting bij rekensystematiek doorsnedeberekening Tabel 1? R esultaten evenwichtsberekening in de zwakke richting van de betondoorsnede uit figuur 1 Hoogte betondrukzone x = 235,8 mm; rek uiterste vezel ? c = 0,200 ?. In rood: deze staven vormen samen de trekzone. di [mm] ? i [?] A s [mm²] N c [kN/kNm] d i · N c [%] Betondrukzone 78,6 -1,347 -10,59% Staven 1a t/m 1d 82,0-0,131963,5 -0,512-4,20% Staven 2a en 2b 227,3-0,01628,3-0,009 -0,21% Staven 3a en 3b 372,50,12628,3 0,1465,43% Staven 4a en 4b 5 1 7, 80,24628,3 0,30115,56% Staven 5a t/m 5d 663,00,361963,5 1,42394,35% ? 0,00100,00% z inw 0,539