Dwarskracht­weerstand in gebieden zonder buigscheuren (II) Nieuw model voor het bepalen van de dwarskrachtweerstand voor voorgespannen liggers met beugels voor de gebieden die niet scheuren als gevolg van buiging Voor het bepalen van de dwarskrachtweerstand van voorgespannen liggers met beugels wordt in de Eurocode 2 [2] en in de RBK [3] geen onderscheid gemaakt tussen gebieden mét en zónder buigscheuren. Omdat de weerstandsmodellen in deze normen zijn afgeleid voor gebieden mét buigscheuren, is het twijfelachtig of deze eveneens geschikt zijn voor de gebieden zónder buigscheuren. De RBK hanteert bijvoorbeeld het uitgangspunt dat de bijdrage van de voorspanning aan de weerstand gelijk kan worden gesteld aan de dwarskracht bij decompressie. Het hanteren van dit uitgangspunt suggereert ten onrechte dat een gebied zonder buigscheuren niet op dwarskracht kan bezwijken. Bovendien houden deze normen geen rekening met het afdragen van dwarskracht door de niet-gescheurde flenzen, terwijl deze afdracht in een gebied zonder buigscheuren significant kan zijn. Om deze redenen is een nieuw model ontwikkeld, specifiek bedoeld voor het bepalen van de dwarskrachtweerstand van voorgespannen liggers met beugels in de gebieden zonder buigscheuren. 44? CEMENT 8 20 21 Door toename van het verkeer, kan de verkeersbelasting op be- staande bruggen en viaducten hoger zijn dan waarmee in het ontwerp is gerekend. Dit kan een aanleiding zijn om de constructieve veilig- heid van oudere, bestaande constructies te onderzoeken. Een deel van deze bruggen en viaducten bestaat uit voorgespannen beton- nen liggers waarin beugels zijn toegepast (foto 1). Afhankelijk van de hoeveelheid beu- gels en de voorspangraad zal na het ontstaan van afschuiftrekscheuren nog een zekere toename van de belasting mogelijk zijn. Het blijkt echter regelmatig niet moge- lijk om met een herberekening voldoende weerstand aan te tonen op basis van de weerstandsmodellen in de Eurocode 2 en de RBK. Dit speelt vooral in de gebieden met hoge dwarskrachten nabij de eindsteunen waarin in de uiterste grenstoestand geen buigscheuren optreden. De geschiktheid van de weerstandsmodellen in Eurocode 2 en de RBK voor deze gebieden is echter twijfelach- tig. Dit komt omdat deze zijn afgeleid voor gebieden met buigscheuren. Het is daarom momenteel niet mogelijk om een onder- bouwde uitspraak te doen over de construc- tieve veiligheid van deze bruggen en viaduc- ten. Als oplossing hiervoor is een nieuw model ontwikkeld als onderdeel van een recent promotieonderzoek. Dit onderzoek heeft geresulteerd in een proefschrift [4] met als titel 'Dwarskrachtbezwijken van voorgespannen liggers in gebieden zonder buigscheuren'. Het huidige artikel is geba- seerd op het tweede deel van dit proef- schrift. Onderzoeksmethode en uitgangspunten Bij het ontwikkelen van het model is gebruik - gemaakt van de 'Modified Compression Field Theory' (MCFT). Deze theorie beschrijft het fundamentele gedrag van gewapend beton. De MCFT bestaat uit 15 vergelijkingen en is in staat het totale last-vervormingsgedrag van een schijf te bepalen. Op basis van de DR.IR. MARCO ROOSEN Senior Specialist Rijkswaterstaat DR.IR. YUGUANG YANG Docent / Onderzoeker TU Delft auteurs 1 Brug over de Rotte in de A20, gebouwd in 1970. Deze brug bestaat uit nagespannen T-liggers met een verzwaarde onderflens met een liggerhoogte van 1150 mm en een lijfbreedte van 200 mm, foto: Marco Roosen 1 CEMENT 8 2021 ?45 crack 2 crack 3 Gebied zonder buigscheuren Gebied met buigscheure n ?x=? cr ?x ?x ?x MCFT kon de afschuifweerstand ( ?'R) van het (gescheurde) lijf van een ligger in een gebied zonder buigscheuren worden bepaald. De apostrof wordt in de parameters in dit artikel gebruikt om aan te geven dat de parameter betrekking heeft op het gebied zonder buig- scheuren. De MCFT is gebruikt om per aangeno- men bezwijkmechanisme de afschuifweer- stand te bepalen voor 40 combinaties van parameters zoals opgenomen in tabel 1. Deze parameters betreffen de gemiddelde cilinderdruksterkte van beton (f cm), de ge- middelde vloeigrens van dwarskrachtwape- ning (f ywm ), de gebruikte maximale korrelaf- meting (d g) en de dwarskrachtswapenings- verhouding ( ?w). De waarden in de tabel zijn representatief voor oudere bestaande beton- nen bruggen. Verder is uitgegaan van een waarde voor de diagonale scheurafstand (s ?) van 300 mm, wat een conservatieve waarde is voor ele- menten met dwarswapening [4]. Door het uitgangspunt te hanteren dat de rek in langsrichting ( ?x) gelijk is aan nul, kan de be- rekende weerstand worden gerelateerd aan de gebieden zonder buigscheuren. Immers in de gebieden zonder buigscheuren is de rek in langsrichting in het lijf gemiddeld net iets kleiner dan nul (fig. 2). In deze figuur is ?cr de scheurrek. De afschuifweerstand kan voor een aangenomen bezwijkmechanisme worden bepaald. In principe zijn voor liggers met beugels, voor de gebieden zonder buigscheu- ren, twee bezwijkmechanismes mogelijk: 1 H et slippen van de scheur (foto 3), bij een scheuropening (w) waarbij scheurwrijving ( ?ci) gelijk is aan de maximale scheurwrij- ving ( ?ci,max ). 2 H et verbrijzelen van beton (foto 4) wan- neer de spanning in de drukvelden ( ?2) gelijk is aan de maximale drukspanning ( ?2,max ). 2 Schematische weergave van langsrekken in gebieden zonder buigscheuren Voor voorge- spannen liggers is de geschiktheid van de weer- standsmodellen in Eurocode 2 en de RBK voor de gebieden met hoge dwars - krachten nabij de eindsteunen twijfelachtig TWEE ARTIKELEN OVER PROMOTIESTUDIE Dit is het tweede van twee artikelen naar aanleiding van de promotiestudie van Marco Roosen aan de TU Delft, faculteit Civiele Techniek en Geoweten- schappen, afdeling Engineering Structures, groep betonconstructies. Titel van zijn onderzoek was 'Shear failure of prestressed girders in regions without flexu - ral cracks'. Zijn promotor was prof.dr.ir. M.A.N. Hendriks en dr.ir. Y. Yang zijn copromotor. Hij is verder begeleid door onder meer dr.ir. Cor van der Veen en ir. Dick Schaafsma. Het proefschrift is te downloaden op https://repository.tudelft.nl. Beide artikelen beschrijven het bepalen van de dwarskrachtweerstand voor de gebieden van voorgespannen liggers zonder buigscheuren. Het eerste artikel gaat over afschuiftrekbreuk bij voorgespannen liggers zonder (of met weinig) beugels. Dit artikel is verschenen in november 2021. Dit tweede artikel gaat over de dwarskrachtweerstand na het ontstaan van een afschuiftrekscheur bij voorgespannen liggers met beugels. 2 Tabel 1?Parameters die zijn gebruikt voor het bepalen van de dwarskrachtweerstand fcm fywm dg ?w s? ?x N/mm² N/mm² mm % mm mm/m 40; 60; 80; 100 250, 60031,50,10; 0,25; 0,50; 0,75; 1,00 3000 46? CEMENT 8 20 21 Benaderingsformule voor de dwarskrachtweerstand bij een rek van nul Figuur 5 toont de met de MCFT gevonden af- schuifweerstanden ?'R als functie van de pa- rameter ? = ?w fywm /fcm voor f cm = 60 N/mm². De afschuifweerstand horende bij het slippen van de scheur is weergegeven met zwarte cirkels en een zwarte trendlijn. De afschuif- weerstand horende bij het verbrijzelen van het drukveld is weergegeven met grijze rui t - tjes en een grijze trendlijn. Het maximum van beide weerstanden bepaalt de uiteindelijke dwarskrachtweer- stand. Dit kan worden verklaard uitgaande van een belasting horende bij een scheur- wijdte (w) waarbij de scheur net begint te slippen ( ?ci = ?ci,max ). Wanneer hierna de be- lasting verder toeneemt, treden twee tegen- gestelde verschijnselen op. Aan de ene kant wordt de scheurhoek ? kleiner, waardoor meer beugels worden geactiveerd en waar- door de bijdrage van de beugels aan de weerstand toeneemt. Aan de andere kant zal de scheurwijdte toenemen waardoor de bij- drage van scheurwrijving zal afnemen. Als de scheurwrijving sneller afneemt dan de beugelbijdrage toeneemt, is het slippen van de scheur (foto 3) bepalend voor de maxi- male dwarskracht die kan worden weer- staan. Als de beugelbijdrage sneller toe- neemt dan de bijdrage van scheurwrijving afneemt, is het bezwijken van het drukveld (foto 4) bepalend voor de maximale dwars- kracht die kan worden weerstaan. Uit figuur 5 blijkt voor f cm = 60 N/mm² bij ?x = 0 het slip- pen van de scheur het bepalende bezwijk- mechanisme te zijn, ongeacht de waarde van ?. Voor het ontwikkelde model kunnen de met de MCFT gevonden afschuifweer- standen bij ?x = 0 worden benaderd met een eenvoudige formule (fig. 5). De totale schuif- weerstand in het gebied zonder buigscheuren ( ?'R) bestaat uit een bijdrage van beugels ( ?s) en een bijdrage door scheurwrijving ( ?ci). 3 Dwarskracht-bezwijken van doorgaande voorgespannen ligger in gebied zonder buigscheuren door het openen van de scheur en het bereiken van de maximale scheurwrijving [1] 4 Dwarskracht-bezwijken van doorgaande voorgespannen ligger in gebied zonder buigscheuren door het bereiken van de maximale drukspanning in de drukvelden [1], foto 3 en 4: Michael Rupf 3 4 CEMENT 8 2021 ?47 0 2 4 6 8 10 12 14 0.000 0.025 0.050 0.075 0.100 ? 'R(N/mm 2) ? S lippen van de scheur (MCFT) Verbrijzelen van het drukveld (MCFT ) Benaderingsformule: ? 'R= ?' s+ ?' ci= ? wfywm cot ?+ ?? f cm Met: ?= 26° ? = 0.38 ? 2.5 ?voor f cm?60 N/mm 2 ? = 0.30 ? 2.5 ?voor f cm? 80 N/mm 2 ? = ? wfywm /fcm De bijdrage van ?s volgens de MCFT kan wor- den benaderd door deze gelijk te stellen aan ?w fywm cot?, waarbij er dus van wordt uitge- gaan dat de beugels vloeien ( ?w,c r = f ywm ) en waarbij wordt uitgegaan van een vaste scheur- hoek ? van 26°. De formule voor ?ci kan wor- den benaderd door deze gelijk te stellen aan ? ?fcm. Hierin is ? gelijk aan 0,38 ? 2,5? voor f cm ? 60 N/mm² en aan 0,30 ? 2,5? voor f cm ? 80 N/mm². Het verschil kan worden toege- schreven aan het uitgangspunt dat voor waardes van f cm groter dan 80 N/mm² de scheuren dóór de korrels lopen en voor waardes kleiner dan 60 N/mm² óm de grind - korrels. Hierdoor wordt voor f cm ? 80 N/mm² een relatief lagere scheurwrijving gevonden dan voor f cm ? 60 N/mm². Ook de afschuif- weerstand volgens de benaderingsformule is opgenomen in figuur 5 met een gestippelde zwarte lijn. De afschuifweerstand volgens de benaderingsformule komt vrijwel overeen met de maatgevende afschuifweerstand vol- gens de MCFT gerelateerd aan het slippen van de scheur. Dwarskrachtweerstand van de ligger De verdeling van de schuifspanningen over de doorsnede is onderzocht met behulp van Response. Dit is een niet-lineair eindige-ele- mentenprogramma gebaseerd op de MCFT dat is bedoeld voor het analyseren van door- snedes. De met Response bepaalde verdeling van schuifspanningen over de doorsnede is getoond in figuur 6. De dwarskracht wordt weerstaan door scheurwrijving, de beugels en door overdracht in niet-gescheurd beton. Dit is als voorbeeld gedaan voor een ligger die bezwijkt ten gevolgde van het slippen van de scheur (dus een scheurwijdte w waarbij ?ci = ?ci,max ). Het lichtgrijze gebied in figuur 6 toont het deel van de doorsnede dat is gescheurd en de donkergrijze gebieden tonen de niet-gescheurde delen. Zoals uit de figuur blijkt, zijn de bijdrages van scheur- wrijving (b ?ci), de spanning in de beugels ( ?w,c r), de scheurhoek (?), de bijdrage van beugels (b ?s = A sw/s ?w,c r cot?) en de totale weerstand (b ?'R) redelijk constant over de hoogte van de scheur. Uit figuur 6 blijkt dat het product van de afschuifweerstand ?'R en de breedte van de doorsnede (b) redelijk constant is over de hoogte van het lijf, zelfs voor het deel van het lijf dat niet is gescheurd. Daarom kan de weerstand van het lijf worden benaderd door het vermenigvuldigen van de afschuif- weerstand ?'R, de lijfbreedte (b w) en de hoogte van het lijf (h w). Daarnaast blijkt uit figuur 6, dat bij het falen van het lijf, ook de flenzen een aanzienlijk deel van de dwarskracht weerstaan. Deze weerstand bestaat bijna geheel uit afdracht door het niet-gescheurde beton. Voor het bepalen van de totale dwars- krachtweerstand van een ligger (V' R), moet de dwarskrachtweerstand van het lijf worden verhoogd zodat rekening wordt gehouden met de afdracht van dwarskracht door de 5 Bij het ontwikkelen van het model is gebruikgemaakt van de 'Modified Compression Field Theory' (MCFT) 5 Afschuifweerstand ?' R voor ? x = 0 als functie van ? voor f cm = 60 N/mm² 48? CEMENT 8 20 21 Beugelb ijdrage: b ? s = A sw/s ? w,cr cot ? Bijdrage scheurwrijving: b ? ci Bijdrage niet-gescheurde flens ? ? w,cr w ? ci ?ci, max Totale w eerstand b?' R Maximale afschuifweerstand b ij ? ci= ? ci,max hw bw z' hstr/2 + h sk/4 hstr/2 + h sk/4 Bijdrage niet-gescheurde flens 6 Voorbeeld van de verdeling van schuifspanningen, bepaald met Response, over de doorsnede door: (i) scheurwrijving, (ii) beugels en (iii) niet-gescheurd beton bij het slippen van de scheur niet-gescheurde flenzen. In het ontwikkelde model wordt daarom de hoogte van het lijf vervangen door de effectieve dwarskracht- hoogte (z' ). De effectieve dwarskrachthoogte is afgeleid voor verschillende doorsnedevor- men [4]. De effectieve dwarskrachthoogte bleek voornamelijk af te hangen van de hoogte van de rechte flenzen en schuine flenzen. De breedte van de flenzen had geen significante invloed op de effectieve dwars- krachthoogte. De effectieve dwarskracht- hoogte wordt gelijk gesteld aan de ligger- hoogte h minus de helft van hoogte van de rechte flenzen (h fl,str ) en een kwart van de hoogte van de scheve flensen (h fl,sk). Dit is weergegeven in figuur 6. Op deze manier kan de dwarskracht- weerstand worden bepaald met de eenvou- dige formule ?'R bw z' . Met deze eenvoudige formule kan de dwarskrachtweerstand, zoals bepaald met het meer geavanceerde programma Response, nauwkeurig worden benaderd. Dit bleek door het vergelijken van beide dwarskrachtweerstanden voor een groot aantal voorgespannen liggers voor belastingcombinaties, waarbij bezwijken optrad zonder dat in de doorsnede buig- scheuren ontstonden [4]. Het ontwikkelde model voor dwarskrachtweerstand De gemiddelde dwarskrachtweerstand kan worden bepaald door de afschuifweerstand in gebieden zonder buigscheuren te verme- nigvuldigen met de lijfbreedte en de effectieve dwarskrachthoogte. Op deze manier kan de gemiddelde dwarskrachtweerstand voor voorgespannen liggers in gebieden zonder buigscheuren worden bepaald middels de formule V' Rm = ? ?f cm bw z' + A sw/s f ywm z' cot?. Voor ? gelden de formules 0,38 ? 2,5? voor f cm ? 60 N/mm² en 0,30 ? 2,5 ? voor f cm ? 80 N/mm². In deze formules is ? = ?w fywm /fcm. Voor tus- sengelegen waarden van f cm, kan ? worden bepaald door lineair te interpoleren. Verder is A sw de oppervlakte van de doorsnede van dwarskrachtwapening en is s de hart-op-hart afstand van de beugels. Voor de scheurhoek ? kan worden uitgegaan van een vaste waarde van 26°. De effectieve dwarskrachthoogte z' is definieert in figuur 6. Voor toepassing in de praktijk is niet de gemiddelde maar de rekenwaarde van de dwarskrachtweerstand nodig. Deze is bepaald uitgaande van een faalkans van 10 -4 (betrouwbaarheidsindex ? = 3,8) voor een referentieperiode van 50 jaar. Verder is uit- gegaan van een partiële factor voor beton ?c van 1,5 en een partiële factor voor staal ?s van 1,15. De rekenwaarde van de dwars- krachtweerstand voor gebieden zonder buigscheuren kan worden bepaald met de formule V' Rd = ? ?f cd bw z' + A sw /s f ywd z' cot? . Voor de ontwerpwaarde mag, net als bij de gemiddelde waarde, worden uitgegaan van een scheurhoek van ? = 26°. Wel moet ? worden gereduceerd tot 0,36 ? 2,5? voor f cm ? 60 N/mm² en ? = 0,28 ? 2,5? voor 6 CEMENT 8 2021 ?49 fcm ? 80 N/mm². Een andere beoogde betrouw- baarheid wordt in de Nederlandse voorschrif - ten verdisconteerd via de belastingfactoren. Daarom kan deze formule voor de reken- waarde worden gebruikt ongeacht de beoogde betrouwbaarheid. Het proefschrift [4] beschrijft hoe de lengte van de gebieden zonder doorgaande buigscheuren kan worden bepaald. Hierbij is het principe gehanteerd dat een gebied pas wordt beschouwd als gebied met buig- scheuren als de gehele flens is gescheurd. Immers, pas dan zullen de langsrekken groter zijn dan nul. De formule V' Rd is bedoeld om de weerstand te bepalen bij het slippen van de scheur (foto 3) of het verbrijzelen van het drukveld (foto 4). Voor beide faalmechanis- men wordt uitgegaan van het vloeien van de beugels. Voor hoge dwarskrachtwapenings- verhoudingen is het echter ook mogelijk dat het beton verbrijzelt zonder dat de beugels vloeien. Omdat het model is bedoeld voor liggers met een dwarskrachtwapeningsver- houding van hoogstens 1% (zie tabel 1) en omdat is gevonden dat dit faalmechanisme hierbij niet optreedt, hoeft dit faalmechanis- me verder niet te worden beschouwd. Conclusies en praktische relevantie In dit artikel is een model afgeleid dat ge- schikt is voor het bepalen van de dwars- krachtweerstand in gebieden van voorge- spannen liggers met beugels waarin in de uiterste grenstoestand geen buigscheuren optreden. Het lijf van de gebieden zonder buig- scheuren kan bezwijken door het bereiken van de maximale scheurwrijving (het slip- pen van de scheuren, foto 3) of door het be- reiken van de maximale drukspanning in de drukvelden (het verbrijzelen van het beton, foto 4). Het is mogelijk gebleken beide bezwijk - mechanismen met één weerstandsmodel te beschrijven zonder dat dit significant effect heeft op de nauwkeurigheid. Op deze manier wordt de toepassing voor de praktijk vereen - voudigd. In het proefschrift [4] is een formule afgeleid voor het minimale dwarskracht- wapeningspercentage in gebieden zonder buigscheuren ( ?'wmin ). Vanaf dit percentage leidt het ontstaan van een afschuiftrekscheur niet onmiddellijk tot bezwijken. Voor het toetsen van de weerstand in de praktijk heeft deze formule weinig relevantie en kan eenvoudigweg worden uitgegaan van het maximum van de weerstand voor liggers zonder beugels (afschuiftrekbreuk, artikel 'Deel 1') en de weerstand voor liggers met beugels (huidige artikel 'Deel 2'). Het ontwikkelde weerstandsmodel is volledig gebaseerd op de Modified Compres- sion Field Theory. Hierdoor is het mogelijk gebleken het model op een rationele en na- volgbare manier af te leiden. In tegenstelling tot de huidige modellen is het niet nodig ge- weest om het model te kalibreren met expe- rimentele data. Desalniettemin is gebleken dat het model de bij experimenten gevonden weerstand consistent en veilig kan bepalen [4]. Het in dit artikel beschreven weer- standmodel bestaat uit een beugelbijdrage en een bijdrage door scheurwrijving. Het is ook mogelijk om deze bijdrages rekenkun- dig geheel toe te schrijven aan de beugels. Vanuit het beschrijven van het fysieke ge- drag is deze manier van formuleren niet aantrekkelijk. Echter, deze manier van for- muleren komt wel overeen met de formule- ring zoals deze nu wordt gehanteerd in de Eurocode 2 voor 'elementen die rekenkundige dwarskrachtwapening vereisen'. Ook dit model, met de naam 'vakwerkmodel aange- past voor gebieden zonder buigscheuren' is beschreven in het proefschrift [4] en kan als alternatief worden gebruikt voor het in dit artikel beschreven model. LITERATUUR 1?Rupf, M, Muttoni, A., Schubversuche an vorgespannten Stahlbetonträgern mit ungenügender Schubbewehrung. Ecole Polytechnique Fédérale de Lausanne (EPFL), Institut d'Ingénierie Civile (IIC), Laboratoire de construction en béton (IBETON). Onderzoeksrapport, 2012. 2?NEN-EN 1992-1-1 Eurocode 2: Ontwerp en berekening van betonconstructies - Deel 1-1: Algemene regels en regels voor gebouwen, 2005. 3?Rijkswaterstaat: Richtlijnen beoordelen kunstwerken. RTD1006, RBK1.1, 2013. 4?Roosen M.A., Shear resistance of prestressed girders in regions without flexural cracks. Proefschrift, Technische Universiteit Delft, 2021. 50? CEMENT 8 20 21