Dynamische eigenschappen breedplaatvloeren Proeven met niet-voorgespannen en voorgespannen breedplaatvloeren 1 Meetopstelling breedplaatvloeren 1 56?CEMENT?2 2025 Trillingen in gebouwen zijn meestal ongewenst. Deze trillingen kunnen worden veroorzaakt door bijvoor- beeld het belopen van vloeren, het gebruik van huishoudelijke apparaten of door externe invloeden zoals windbelastingen of trillingen door weg- en railverkeer. Om te zorgen dat de trillingsniveaus in gebouwen acceptabel zijn (geen storing van apparatuur, hinder van personen of schade aan materialen), verricht ingenieursbureau Peutz regelmatig onderzoek naar de te verwachten trillings- niveaus. In dergelijke onderzoeken worden, naast het uitvoeren van metingen, bereke- ningen uitgevoerd met een 3D-eindige-ele- mentenmodel, waarbij de eigenschappen van de constructie en andere relevante ele- menten en bijbehorende eigenschappen worden verwerkt. In dit rekenmodel worden vloeren en wanden gemodelleerd als vlak- ken (SHELL-elementen) en de kolommen en liggers als lijnen (BEAM-elementen). Breedplaatvloeren Om het gedrag van breedplaatvloeren bij dynamische belastingen te doorgronden, is een experimenteel onderzoek uitgevoerd. Daarbij zijn een voorgespannen en niet- voorgespannen breedplaatvloer in trilling gebracht. De materiaaleigenschappen van belang voor het (dynamische) gedrag zijn de dichtheid, de buigstijfheid (product van de elasticiteitsmodulus en het traagheids- moment), de poissonratio, de mate van in- klemming en de dimensies (dikte, lengte en breedte) [1]. Deze eigenschappen zijn bepa- lend voor de eigenfrequentie van de vloeren. Eigenfrequentie Trillingen in de bodem worden door een constructie in bepaalde mate, afhankelijk van de aanwezige dominante frequenties, gedempt. Als een trilling een frequentie be- vat die in overeenstemming is met de eigen- frequentie van een deel van de constructie, kan dat leiden tot resonantie. Resonantie kan sterk verhoogde trillingsamplitudes ver- oorzaken, zelfs als de externe kracht op zichzelf relatief klein is. De (eerste) eigenfre- quenties van vloeren in een constructie zijn vaak bepalend voor het optreden van reso- nantie. Onderstaande formule geeft de eer- ste eigenfrequentie f n van een vloerplaat [1]: () 2 2 2 n ? ?1? 2? D a f ? ? = 39 3 7 ongescheurd11 ?32,8 10 1 0, 22 1, 036 3, 0 10 12 12 D EI E bd Nm ?? =?=? ?? ?= ? ? ?? ? = ? ? ?? ?? () 2 2 2 n 2?? 1? ? a Df ?? = ? ? ?? ??? ?? (4) Waarin: f n is de eigenfrequentie [Hz] ? is de inklemmingsfactor [-] D buigstijfheid [Nm²] (EI, zie kader 'Buigstijfheid') a lengte van de plaat [m] ? poissonratio [-] ? oppervlaktemassa [kg/m²] ING. TIM HALLEGRAEFF Adviseur Trillingbeheersing Peutz B.V. DIPL.-ING AFSHIN ABBASI Hoofd Constructie Vloersystemen Geelen Beton B.V. auteurs Om een goed beeld te krijgen van trillingen in gebouwen kan het nodig zijn berekeningen in een 3D-eindige-elementenmodel uit te voeren. De materiaaleigenschappen die in dat model moeten worden ingevoerd zijn heel bepalend, zo ook het dynamische gedrag. Het dynamische gedrag van twee specifieke betonnen breedplaatvloeren is onderzocht, waarbij ook is gekeken naar het effect van scheurvorming. CEMENT 2 2025 ?57 De inklemmingsfactor ? wordt bepaald door de mate van inklemming (scharnierend of volledig ingeklemd) van de breedplaatvloe- ren en is afhankelijk van de lengte-breedte- verhouding. Dit bepaalt welke trilvormen (eigenfrequenties) er mogelijk zijn in het vloerveld. Deze is in literatuur gedefinieerd voor een aantal lengte-breedteverhoudingen [2], tot een maximum van 2,5. In voorliggend onderzoek is de lengte-breedteverhouding 7. Via deze formule kan daarmee niet nauw- keurig een berekening van de buigstijfheid worden gedaan met de gemeten eigenfre- quenties, maar geeft wel inzicht in de theo- rie erachter. In de proeven zijn de mate van inklemming, de dimensies (lengte, breedte, dikte), de poissonratio en de oppervlaktemassa van beide breedplaatvloeren constant. Als de eigenfrequentie zou veranderen, dan komt dat dus uitsluitend door verandering in de buigstijfheid van de platen. Onderzoek Om een beter beeld te krijgen van het dyna- mische gedrag van betonnen breedplaat- vloeren heeft Peutz in samenwerking met Geelen Beton onderzoek uitgevoerd naar het dynamische gedrag van de breedplaatvloe- ren. Daarbij is ook onderzocht wat het effect is van een tijdelijke statische belasting op het gedrag van de breedplaatvloeren. Als een breedplaatvloer doorbuigt, en (deels) op trek wordt belast, kan dit zorgen voor (signi- ficante) scheurvorming. Uitgangspunten opstelling?Voor het onder- zoek is een testopstelling gemaakt, waarbij een niet-voorgespannen en een voorgespan - nen breedplaatvloer met een dikte van 220 m (breedplaat 70 mm, druklaag 150 mm) opge - legd zijn op betonbalken. De sterkteklasse van de onderzochte breedplaatvloeren is C30/37, met een elasticiteitsmodulus van 32 GPa. Na het uitvoeren van een eerste me- ting is op de breedplaatvloeren een tijdelijk moment aangebracht (foto 2 en 3). Na gedu- rende één nacht is dit moment weer verwij- derd, waarna nieuwe metingen zijn uitge- voerd. Dit proces is vervolgens herhaald waarbij stapsgewijs het moment werd ver- hoogd om zo scheurvorming (verder) te ver- oorzaken. Bij een voorgespannen breedplaatvloer kan het scheurmoment theoretisch dermate worden vergroot dat het optredende moment onder het scheurmoment blijft. In dat geval 2 Meetopstelling breedplaatvloeren BUIGSTIJFHEID De buigstijfheid is een grootheid die wordt bepaald door de elasticiteitsmo- dulus en het traagheidsmoment en wordt als volgt berekend: D = E I eff (1) waarin: D??? is de buigstijfheid van een isotrope ?????plaat [Nm 2 ] E ???is de elasticiteitsmodulus van het ?????beton [N/m 2 ] I eff ?? is het effectieve traagheidsmoment ?????[m 4 ] Het effectieve traagheidsmoment (I eff ) van de gescheurde doorsnede kan als volgt worden bepaald: I eff = ? I ii + I i (1 ? ?)(2) met: =? ? 2 cr ?10,5 M M =? ? 3 i1 12 lb h waarin: I i ???is het traagheidsmoment van een ???? ongescheurde plaat [m 3 ] I ii ?? is het traagheidsmoment van een ???? gescheurde plaat [m 3 ] ? ???is de verdelingsfactor (de mate van ???? scheurvorming) [-] M cr ?is het scheurmoment [Nm] M ?? is het moment t.g.v. de statische ?? ???? belasting [Nm] Het traagheidsmoment van een onge- scheurde plaat kan als volgt worden berekend: =? ? 2 cr ?10,5 M M =? ? 3 i1 12 lb h (3) waarin: b ???is de breedte van de plaat [m] h ???is de hoogte/dikte van de plaat [m] 2 58?CEMENT?2 2025 geldt: ? = 0 en I eff = I i (zie kader 'Buigstijfheid'). Het theoretische scheurmoment van de breedplaatvloeren bedroeg in dit onderzoek 32 kNm voor de niet-voorgespannen breed- plaatvloer en 66 kNm voor de voorgespannen breedplaatvloer. Tijdens de metingen is op beide vloe- ren een shaker geplaatst, die de platen in trilling brengt in frequenties variërend van 1 Hz tot en met 100 Hz (foto 4). Op enkele posities op de vloeren is trillingsmeetappa- ratuur (SYSCOM MR3000C) opgesteld die de respons van de vloeren op de aanstoting meten, te weten de trillingsniveaus (geme- ten snelheden in mm/s) in drie richtingen (verticaal en twee horizontale richtingen). 3 Het uitvoeren van een tijdelijk moment op de breedplaatvloer 4 Meetopstelling breedplaatvloer inclusief shaker In een experimenteel onderzoek zijn twee breedplaat- vloeren in trilling gebracht zodat de eigenfrequentie kan worden vastgesteld 3 4 CEMENT 2 2025 ?59 Trillingen in de verticale richting zijn maat- gevend, daarom zijn de meetresultaten alleen geanalyseerd in deze richting. Zodra de vloeren worden aangestoten in hun eerste eigenfrequentie, treedt reso- nantie op die te zien is in het gemeten fre- quentiespectrum. De frequentie waarmee dit optreedt, is de (eerste, bepalende) eigen- frequentie die relevant is voor de buigstijf- heid. Als er ten gevolge van toenemende momenten scheurvorming heeft plaatsge- vonden, zou de eigenfrequentie moeten zijn gedaald. Meetresultaten Bij een ongescheurde betonnen breedplaat- vloer is de buigstijfheid bepaald conform formule 1, waarbij het traagheidsmoment gelijk is aan dat van ongescheurd beton: () 2 2 2 n ? ?1? 2? D a f ? ? = 39 3 7 ongescheurd 11 ?32,8 10 1 0, 22 1, 036 3, 0 10 12 12 D EI E bd Nm ?? =?=? ?? ?= ? ? ?? ? = ? ? ?? ?? () 2 2 2 n 2?? 1? ? a Df ?? = ? ? ?? ??? ?? () 2 2 2 n ? ?1? 2? D a f ? ? = 39 3 7 ongescheurd11 ?32,8 10 1 0, 22 1, 036 3, 0 10 12 12 D EI E bd Nm ?? =?=? ?? ?= ? ? ?? ? = ? ? ?? ?? () 2 2 2 n 2?? 1? ? a Df ?? = ? ? ?? ??? ?? () 2 2 2 n ? ?1? 2? D a f ? ? = 39 3 7 ongescheurd11 ?32,8 10 1 0, 22 1, 036 3, 0 10 12 12 D EI E bd Nm ?? =?=? ?? ?= ? ? ?? ? = ? ? ?? ?? () 2 2 2 n 2?? 1? ? a Df ?? = ? ? ?? ??? ?? Het is van belang dat er rekening wordt ge- houden met de invloed van wapening op deze buigstijfheid (factor ?). Door deze wa - pening is de buigstijfheid van deze specifie- ke breedplaatvloeren een factor 1,036 hoger. Dit is de buigstijfheid waarbij geen (signifi- cante) scheurvorming heeft plaatsgevonden en waarbij het traagheidsmoment nog niet is afgenomen. In het rekenmodel is de benodigde elasticiteits­ modulus ­bepaald zodat het rekenmodel overeenkomt met de gemeten eigenfrequentie Als de eigenfrequentie van de breedplaat- vloeren daalt, en alle andere eigenschappen uit formule 4 zijn onveranderd, dan neemt de buigstijfheid ook kwadratisch af. Dit is ook te zien wanneer de formule wordt om- geschreven: () 2 2 2 n ? ?1? 2? D a f ? ? = 39 3 7 ongescheurd11 ?32,8 10 1 0, 22 1, 036 3, 0 10 12 12 D EI E bd Nm ?? =?=? ?? ?= ? ? ?? ? = ? ? ?? ?? () 2 2 2 n 2?? 1? ? a Df ?? = ? ? ?? ??? ?? Er wordt een afnamefactor vastgesteld voor de gemeten eigenfrequenties ten opzichte van de oorspronkelijke eigenfrequentie (ongescheurde, voorgespannen breedplaat- vloer). Deze factor wordt vervolgens toege- past op de oorspronkelijke buigstijfheid (3,02 ? 107). Zie tabel 1. De in de tabel opgenomen momenten en berekende buigstijfheden voor beide breedplaatvloeren zijn weergegeven in figuur 5. Daarnaast is een afnamelijn con- form [3] opgenomen, ter inzicht voor de gemeten afname. Uit de resultaten blijkt dat de buig- stijfheid van de niet-voorgespannen breed- plaatvloer bij het begin van de metingen, waarbij er alleen sprake is van eigengewicht van de schil en de druklaag, al lager is dan die van de voorgespannen breedplaat. De niet-voorgespannen breedplaatvloer begint dus naar verwachting vrijwel meteen scheurvorming te ontwikkelen onder zijn eigengewicht. Wanneer het moment wordt opgevoerd is zichtbaar dat de buigstijfheid verder af- neemt. De buigstijfheid van de voorgespan- Tabel 1?Meetresultaten en berekende buigstijfheid van de betonnen breedplaatvloeren Niet-voorgespannen Voorgespannen Moment Frequentie Afname* Buigstijfheid Moment Frequentie Afname* Buigstijfheid [Nm] [Hz] [-] [Nm] [Nm] [Hz] [-] [Nm] 31.726** 7,70 0,88 2,65 ? 10? 31.726** 8,22 1,0 3,02 ? 10? 33.766 7,60 0,85 2,58 ? 10? 33.766 8,22 1,0 3,02 ? 10? 36.017 7,38 0,81 2,44 ? 10? 36.017 8,22 1,0 3,02 ? 10? 38.163 7,31 0,79 2,39 ? 10? 38.163 8,22 1,0 3,02 ? 10? 39.574 7,07 0,74 2,24 ? 10? 39.574 8,22 1,0 3,02 ? 10? 61.240 6,50 0,63 1,89 ? 10? 61.240 8,15 0,98 2,97 ? 10? 61.622 5,89 0,51 1,55 ? 10? 67.470 7,76 0,89 2,69 ? 10? 68.659 5,72 0,48 1,46 ? 10? 75.845 7,50 0,83 2,52 ? 10? 74.482 5,60 0,46 1,40 ? 10? 75.492 7,29 0,79 2,38 ? 10? * Dit is de afnamefactor van de gemeten eigenfrequentie t.o.v. eigenfrequentie bij een ongescheurde breedplaatvloer ** Dit is het moment ten gevolge van het eigengewicht van de breedplaatvloeren 60?CEMENT?2 2025 0,0E+00 5,0E+06 1,0E+07 1,5E+07 2,0E+07 2,5E+07 3,0E+07 3,5E+07 4,0E+07 4,5E+07 5,0E+07 0 10000 20000 30000 40000 50000 60000 70000 80000 90000 100000 Buigstijfheid (Nm) Krachtmoment (NM) Eigengewicht niet-voorgespannen voorgespannen niet-voorgespannen(Jervath&Shibani) voorgespannen(Jervath&Shibani) nen breedplaatvloer blijft grotendeels con- stant. De voorspankracht voorkomt tot een bepaald moment dat de breedplaatvloer (significant) op trek wordt belast. Echter, ook een voorgespannen breedplaatvloer heeft een limiet waarboven er wel trekspan- ningen ontstaan die tot scheurvorming leiden, en de eigenfrequentie en daarmee samenhangende buigstijfheid afneemt. 3D-eindige-elementenmodel In softwareprogramma ANSYS is een modale analyse gedaan op de breedplaatvloeren. In deze benadering is uitgegaan van een SHELL-element, waar alle gegevens van de breedplaatvloeren aan zijn toegekend (inclusief de factor waarmee de invloed van wapening wordt meegenomen). De gemeten eigenfrequentie van 8,22 Hertz wordt bere- kend wanneer de elasticiteitsmodulus con- form de Eurocode 2 wordt opgeschaald met 10,5% (fig. 6). 5 5 Buigstijfheden van beide breedplaatvloeren na toenemende momenten Het is bij deze rekenmethode niet mogelijk het effect van scheurvorming toe te kennen aan het traagheidsmoment (zie formule 2). Wel is het mogelijk de buigstijfheid te corri- geren voor scheurvorming, door de eerder genoemde afnamefactor te verwerken in de ingevoerde elasticiteitsmodulus. De buig- stijfheid is tenslotte het product van het traagheidsmoment en de elasticiteitsmodu- lus. Waar de factor in deze verwerkt zit, is niet van belang. Bij de laatste meting van de niet-voorgespannen breedplaatvloer, waar een eigenfrequentie van 7,29 Hz was geme- ten, is deze factor toegepast op de elastici- teitsmodulus in ANSYS. De berekende eigen- frequentie is in overeenstemming met de gemeten eigenfrequentie. Conclusie De gemeten eigenfrequenties worden in het 3D-eindige-elementenmodel (ANSYS) bere- kend wanneer de elasticiteitsmodulus Door minder scheurvorming blijft buigstijf- heid van de voorgespannen breedplaatvloer hoger, wat meer weerstand biedt tegen trillingen CEMENT 2 2025 ?61 wordt verhoogd met circa 10%. Mogelijk is de buigstijfheid bij dynamische belastingen hoger dan die op basis van Eurocode 2. Het is op basis van dit onderzoek niet vast te stellen of er een vast verband is tussen in te voeren buigstijfheid in het rekenmodel en gemeten eigenfrequenties in de praktijk, die kan worden toegepast op breedplaatvloeren met andere afmetingen en betonsterkteklas- sen. In dit onderzoek zijn metingen uitge- voerd aan slechts één variant voorgespan- nen en niet-voorgespannen breedplaatvloer. Er zijn veel factoren van invloed op het ge- drag van breedplaatvloeren en daarmee samenhangende buigstijfheden. De buigstijfheid van de voorgespannen breedplaatvloer tijdens uitsluitend het mo- ment door het eigengewicht is hoger dan die van de niet-voorgespannen breedplaatvloer. De voorspanning biedt weerstand tegen doorbuiging onder het eigengewicht. Na elke stapsgewijze tijdelijke verhoging van de sta- tische belasting van de niet-voorgespannen breedplaatvloer neemt de buigstijfheid verder af. De voorgespannen breedplaatvloer daalt pas in eigenfrequentie na het scheur- moment, dat optreedt bij een moment van circa 60.000 Nm. Daarna daalt ook bij deze breedplaatvloer stapsgewijs de buigstijfheid. Dit komt hier tevens door scheurvorming. De voorspankracht is daar niet meer vol- doende om de statische belastingen op te vangen. Op basis van het onderzoek kan wel worden gesteld dat voorgespannen breedplaatvloe- ren een hogere buigstijfheid hebben dan niet-voorgespannen vloersystemen. De ei- genfrequentie, en daarmee samenhangende buigstijfheid van de niet-voorgespannen vloer is ten gevolge van zijn eigengewicht al lager dan die van de voorgespannen breed- plaatvloer. De verhoogde buigstijfheid en draagkracht van voorgespannen breedplaat- vloeren maken ze over het algemeen beter bestand tegen trillingen, mits de eigenfre- quentie behorende bij de specifieke breed- plaatvloer niet gelegen is in de nabijheid van de maatgevende aanstootfrequentie.? LITERATUUR 1?Blevins, R. D., Formulas for natural frequency and mode shape. Litton Educational Publishing, Inc., 1979. 2?NEN-EN 1992-1-1 Eurocode 2: Ontwerp en berekening van betonconstructies - Deel 1-1: Algemene regels en regels voor gebouwen. 3?Sukhvarsh, J., Shibani, M.M., Dynamic Stiffness and Vibration of Reinforced Concrete Beams, 1985. 6 Berekende eigenfrequentie (a) ongescheurde breedplaat en (b) gescheurde breedplaat in ANSYS (na opschalen elasticiteitsmodulus) 6a 6b 62?CEMENT?2 2025