64? CEMENT 3 20 23 RUBRIEK REKENEN IN DE PRAKTIJK Dit is de 21e aflevering in de Cement-rubriek 'Rekenen in de praktijk'. In deze rubriek staat telkens één rekenopgave uit de praktijk centraal. De rubriek wordt samengesteld door een werkgroep, bestaande uit: Maartje Dijk (Witteveen+Bos), Willem van Heeswijk (Heijmans), Dennis Heijl (Heijmans), Friso Janssen (Goldbeck Nederland), Lonneke van Haalen (ABT), Matthijs de Hertog (Nobleo), Jorrit van Ingen (WSP), Jacques Linssen (redactie Cement) en Rick van Middel- koop (Witteveen+Bos). De artikelen in deze rubriek worden telkens opgesteld door een of meer van de leden van deze werkgroep. Het wordt vervolgens gereviewd door de andere leden en door minimaal één senior adviseur binnen het bedrijf van de opsteller. Ondanks deze zorgvuldigheid, is de gepresenteerde rekenme- thode de visie van een aantal individuen. Constructies met buigende momenten in combinatie met normaalkrachten kunnen op verschillende manieren worden beoordeeld. Een van die methoden is het toetsen van de extreme waarden. In plaats daarvan kan ook een omhullende van de puntenwolk worden opgesteld. Met deze methode kan de maatgevende krachtswerking op een efficiënte wijze worden bepaald, waarbij ook nog eens efficiënter kan worden omgegaan met het materiaalgebruik. De methode wordt toegelicht aan de hand van een praktijkvoorbeeld. PUNTENWOLK COMBINATIE MOMENT- NORMAAL - KR ACHT Case Deze case richt zich op de toetsing van prefab-betonpalen, 400 x 400 mm², onder een betonnen u-bak. De palen zijn belast op een combinatie van buiging en normaalkracht. CEMENT 3 2023 ?65 rekenen in de praktijk (21) Voor constructieve berekeningen worden in de dage- lijkste praktijk diverse softwarepakketten gebruikt voor het vaststellen van de krachtswerking in draag- constructies. Het is tegenwoordig niet ongebruikelijk dat er, afhankelijk van het constructietype, tientallen tot wel honderden diverse belastingcombinaties in beschouwing worden genomen, veelal gegenereerd door de software zelf. Voor iedere afzonderlijke belas- tingcombinatie is een afzonderlijke combinatie van normaalkracht en bijbehorend buigend moment af te lezen. Als praktische, conservatieve benadering kan een constructeur ervoor kiezen om de omhullende extreme waarden van een element in beschouwing te nemen. Hoewel een dergelijke benadering praktisch en robuust is, is dit niet heel efficiënt, ten aanzien van materiaalgebruik. Als alternatief kunnen de omhul- lende waarden uit een M-N-puntenwolk worden getoetst. UITGANGS- PUNTEN paalafmeting 400 x 400 mm² betonsterkteklasse C55/67 wapening B500B hoofdwapening 8Ø25 beugels Ø8-200 fig. 1 3D-afbeelding van de case Case Er wordt in deze case een open moot in beschouwing genomen, bestaande uit een u-bak gefundeerd op prefab-betonpalen 400 x 400 mm 2. Het model, opge- bouwd in SCIA Engineer, is samengesteld uit plaat- elementen voor wanden, vloer en tussenwanden en staafelementen voor de palen. De palen zijn voorzien van beddingen (lijnveren) en verticale veren ter plaatse van de paalpunten. In deze case zijn de buigende momenten in combinatie met normaalkracht van de paalkop in beschouwing genomen. Krachtswerking: extreme versus omhullende (puntenwolk) Uit het programma volgen voor iedere belasting- combinatie, in zowel UGT als BGT, een moment en normaalkracht in de paalkop. Deze momenten zijn opgesplitst in twee richtingen (M y en M z). Ten 66? CEMENT 3 20 23 UGT M+N paalkop - omhullende waarden M [kNm] N [kN] -500 -400 -300 -200 -1000 100 200 300 400 500 97,5; 417 97,5; -386 31,0; 417 49,7; 351 97,5; 5997,5; 43 60,8; -343 47,4; -376 34,9; -386 Omhullende waardenExtreme waarden 0,0 20,0 40,060,0 80,0100,0 120,0 BGT M+N paalkop - omhullende waarden M [kNm] N [kN] -400 -300 -200 -100 0 100 200 300 400 500 Extreme waarden Omhullende waarden 40,7; 406 95,3; 406 86,0; 334 93,3; 95 95,3; -87 95,3; -313 66,9; -235 49,6; -270 27,0; -313 0,0 20,0 40,060,0 80,0.100,0 120,0 fig. 3  Puntenwolk BGT Frequent fig. 2  Puntenwolk UGT CEMENT 3 2023 ?67 rekenen in de praktijk (21) behoeve van een versimpeling van dit rekenvoorbeeld is een resulterend moment bepaald op basis van vectoriële optelling. =+ 22 res y zM MM Dit resulteert in een puntenwolk in een 2D-vlak. In de diagrammen in figuur 2 en figuur 3 zijn de resulterende momenten geplot op de horizontale as en de normaal- krachten op de verticale as, voor respectievelijk UGT en BGT (scheurwijdte). Hierdoor ontstaat een punten- wolk van normaalkracht met het bijbehorend moment. Door de buitenste (omhullende) punten met elkaar te verbinden ontstaat een omhullend M-N-diagram. Indien alle punten op de lijn van dit diagram worden getoetst zullen de punten die er binnen vallen ook voldoen. Dezelfde exercitie kan overigens worden uitgevoerd voor de combinatie van dwarskracht met normaal- kracht. In dit rekenvoorbeeld wordt enkel de combi- natie van buigende momenten met normaalkracht uitgewerkt. In plaats van een resulterend moment te gebruiken, kan ook worden gekozen voor het gebruik van de buigende momenten in twee richtingen met een 3D-puntenwolk. De methode blijft hierbij gelijk, maar voor een constructieonderdeel waarvan de positie en rotatie exact bekend, zijn levert dit een efficiënter ontwerp op. Toetsing Een veelgebruikte aanpak is het toetsen van de extreme waarden. Hier wordt het maximale moment gecombineerd met zowel de minimale als de maximale normaalkracht. Als alternatief kunnen de omhullende waarden worden getoetst. De omhullende waarden en extreme waarden zijn weergegeven in tabel 1 t/m 4. Door beide manieren uit te werken kan inzichtelijk worden gemaakt wat de verschillen zijn tussen beide methoden. De doorsnede is voor alle omhullende waarden getoetst met behulp van IDEA StatiCa (fig. 4). De uitkomsten staan in tabel 5 t/m 8. Toetsing UGT?De capaciteit van de doorsnede is bepaald op basis van een proportionele verandering van de snedekrachten in de doorsnede, waarbij de excentriciteit gelijk blijft. De verhouding tussen de capaciteit van de doorsnede (N Rd, M Rd) en de snede- krachten (N Ed, M Ed) is de unity check. Dit kan worden gevisualiseerd als een lijn door de oorsprong (0,0) van het interactiediagram en door de optredende combinatie van snedekrachten. In het punt waar deze lijn de capaciteitskromme snijdt, wordt de capaciteit van de doorsnede gevonden behorende bij deze snedekrachten. Toetsing BGT- Frequent (scheurwijdte)?Voor deze toetsing is de unity check bepaald op basis van de verhouding tussen de optredende en toelaatbare scheurwijdte. Tabel 1  Omhullende waarden UGT UGT M res [kNm]N [kN] 1 31,0417 2 49,7351 3 9 7, 559 4 9 7, 543 5 60,8-343 6 4 7,4-376 7 34,9-386 Tabel 2  Extreme waarden UGT UGT M res [kNm]N [kN] 1 9 7, 5417 2 9 7, 5-386 Tabel 3  Omhullende waarden BGT Frequent BGT M res [kNm]N [kN] 1 40,7406 2 86,0334 3 93,395 4 95,3-87 5 66,9-235 6 49,6-270 7 2 7,0-313 Tabel 4  Extreme waarden BGT Frequent BGT M res [kNm]N [kN] 1 95,3406 2 95,3-313 68? CEMENT 3 20 23 400z y Gewapende doorsnede: R 1 400 Beton: C55/67 Leeftijd: 28,0 d Wapening: (B 500B) 3ø25 (1473 mm, z = 120 mm 2ø25 (982 mm), z = 0 mm 3ø25 (1473 mm ), z = -120 mm Beugels: ø8 200 mm Uitkomsten Uit de toetsingen blijkt dat de controle op scheur- wijdte bepalend is voor de toe te passen wapening. De unity check behorende bij de methode met omhul- lende snedekrachten valt circa 20% hoger uit dan de methode van de puntenwolk. Uiteraard geldt dat de verschillen afhankelijk van de constructie/situatie groter dan wel kleiner kunnen zijn. Verder geldt dat de unity check in dit artikel is bepaald om de twee voorbeelden met elkaar te vergelijken. De unity check geeft de marge aan ten opzichte van de capaciteit. Belangrijk is te realiseren dat als een van de waarden (moment of normaalkracht) wijzigt, de unity check opnieuw moet worden bepaald. Alternatief: Puntenwolk op basis van capaciteit Bij de gepresenteerde methode zijn de omhullende punten bepaald en vervolgens getoetst. Het is ook mogelijk om deze methode van een andere kant te benaderen. Dat betekent dat de momentcapaciteit van een gegeven wapeningsconfiguratie wordt bepaald voor verschillende normaalkrachten of vice versa. Deze punten kunnen vervolgens in een M-N-diagram worden geplot. Wanneer deze punten met elkaar worden verbonden, wordt een diagram gegenereerd met de capaciteit van de gewapende doorsnede. Conclusies Uit het rekenvoorbeeld blijkt dat bij toepassing van een puntenwolk lagere unity check's worden gevonden dan wanneer extreme waarden worden getoetst. Hieruit kan worden geconcludeerd dat deze methode mogelijk kan leiden tot materiaalbesparing. De omhullende puntenwolkmethode is echter in theorie arbeidsintensiever wanneer je de omhullende punten van de puntenwolk handmatig bepaalt en afzonderlijk toetst. Door de hedendaagse ontwikkelingen op het gebied van software zijn deze handmatige handelingen echter eenvoudig te programmeren/automatiseren. Dit kan bijvoorbeeld met programma's als MS Excel, Python etcetera. Hierdoor kan op een eenvoudige wijze de maatgevende krachtswerking worden bepaald en direct worden getoetst aan de ingevoerde wapenings- doorsnede. Er zijn verschillende algoritmen bekend voor het bepalen van de omhullende punten (convex hull). fig. 4  Gewapende doorsnede IDEA StatiCa Tabel 5  Toetsing omhullende waarden UGT UGT M res [kNm]N [kN] u.c. [-] 1 31,04170,35 2 49,73510,38 3 9 7, 5590,42 4 9 7, 5430,41 5 60,8-3430,16 6 4 7,4-3760,12 7 34,9-3860,10 Tabel 6  Toetsing extreme waarden UGT UGT M res [kNm]N [kN] u.c. [-] 1 9 7, 54170,61 2 9 7, 5-3860,26 Tabel 7  Toetsing omhullende waarden BGT Frequent BGT M res [kNm]N [kN] w k [mm]w max [mm]u.c. [-] 1 40,74060,266 0,400 0,67 2 86,03340,400 0,400 1,00 3 93,3950,305 0,400 0,76 4 95,3-870,225 0,400 0,56 5 66,9-2350,0940,4000,24 6 49,6-2700,0450,4000,11 7 2 7,0-3130,000 0,400 0,00 Tabel 8  Toetsing extreme waarden BGT Frequent BGT M res [kNm]N [kN] w k [mm]w max [mm]u.c. [-] 1 95,34060,4730,400 1,18 2 95,3-3130,1400,400 0,35