Recente proefnemingen betreffende de vloeilijnentheorieVoordracht voor de Betonverenig'mg op 4 oktober 1962 te 's-Gravenhagedoor . van Riel, Instituut T.N.O. voor Bouwmaterialen en BouwconstructiesU.D.C. 539.4.01:62.001.4vloeilijnentheorie : proefnemingenIn het voorgaande artikel* heeft ir. F. K. Ligtenberg een over-zicht gegeven van de vloeilijntheorie.En de eerste vraag die daardoor bij ons opkomt ?s uiteraard, 'kloptdeze theorie met de werkelijkheid?'In dit artikel hoop ik op deze vraag een antwoord te kunnengeven, waarbij ik zal trachten, als iemand 'die wat in de plastici-teitstheorie ziet', zo objectief mogelijk te blijven.Begonnen zal worden met een zeer eenvoudig geval, namelijk metde over oneindig veel steunpunten doorlopende ligger. Wanneereen dergelijke ligger met bij voorbeeld 6 staven wordt gewapend,dan zouden we, afgezien van kleine afwijkingen in de inwendigehefboomsarm, steeds dezelfde bezwijkb?lasting moeten vinden, ofwij nu alle staven boven de steunpunten of alle staven in het veldleggen of dat wij de staven in een willekeurige verhouding overveld en inklemming verdelen.Onlangs is bij het Instituut T.N.O. voor Bouwmaterialen enBouwconstructies een ori?nterend onderzoek op dit punt uitge-voerd. Maar omdat dit laboratorium nogal lijdt aan ruimtegebrek,hebben wij in plaats van oneindig lange liggers over vier steun-punten doorgaande balken genomen. Ter plaatse van de buitenstesteunpunten kon echter een moment aangebracht worden, waar-van de grootte instelbaar was.Fig. 1 geeft een overzicht van de opstelling. De balken hadden alleeen doorsnede van circa 5 ? 6,5 cm2en de theoretische over-spanningen bedroegen 60 cm.fig. 1. overzicht beproevingsopstelling (zie ook foto 5, blz. 680)Men zou dus kunnen zeggen, dat de proeven zijn uitgevoerd aaneen model op bij voorbeeld schaal 1:10 van de ware grootte.Elk veld werd belast door 4 puntlasten, hetgeen een goede bena-dering is van een gelijkmatig verdeelde belasting.Natuurlijk ontstond de vraag, welk moment moet worden aan-gebracht aan de uiteinden.Dit probleem meenden wij als volgt te kunnen oplossen.Om de beide uiteinden van de balk wordt een stalen schoen ge-schoven en met gips vastgezet; de beide schoenen worden hori-zontaal gehouden en de proef is dan zeer eenvoudig.De werkelijkheid bleek echter anders te zijn.Zolang het beton niet gescheurd zou zijn, zou immers een elasti-sche momentenverdeling gevonden moeten worden, maar ditbleek echter in het geheel niet het geval te zijn.Er is toen dan ook vastgesteld, dat het nodig was om de opleg-gingen tot in 0,001 mm nauwkeurig op hoogte te houden, en datmet de stalen schoenen een volledige ?nklemming niet te bereikenwas. Een zakking van 0,1 mm in het model, wat in werkelijkheid(schaal 1 : 10) dus circa 1 mm is, leidt namelijk bij de gebruiks-belasting al tot een factor 2 in de momenten.Een zeer bevredigende oplossing bleek te worden verkregen doorhet moment aan de uiteinden z? groot te maken, dat de door-buigingen in de 3 velden gelijk waren.In het voorgaande is wat nader op deze moeilijkheden ingegaan,omdat hieruit toch wel duidelijk blijkt, hoe kritisch de randvoor-waarden in feite zijn bij een berekening volgens de elasticiteits-theorie en hoe dikwijls de toestand in de praktijk veelal niet veelmeer zal zijn dan een vage afspiegeling van onze nauwkeurig uit-gevoerde berekening.Maar laten wij terugkeren tot ons uitgangspunt.* 'De theoretische grondslag van de vloeilijnentheorie' door ir. F. K.Ligtenberg. Cement I4 (1962) Nr. 11, blz. 676/678Tabel 1 bevat de gevonden bezwijkbelastingen voor verschillendeverdelingen van de wapening.tabel 1. gevonden bezwijkbelastingenbalk steun-punts-wapeningveld-wapeningtotalebezwijk-b?lasting(in kg)afwijking tenopzichte vangemiddeldebezwijk-belastingA0A2A3A4A5A62?33?34?35?36?36 ?34?33?32?31 ?32545259523702575234523451,0341,0540,9621,0460,9520,952gemiddeld 2462 1,000Zoals reeds is gezegd en uit tabel 1 blijkt, zijn steeds 6 staven ? 3toegepast. Het getal achter de letter A geeft het aantal stavenboven de steunpunten aan; dus bij balk A0 is geen enkele staafboven de steunpunten aangebracht, bij balk A4 zijn 4 staven terplaatse van de ?nklemming en 2 staven in het veld aanwezig, enz.De in de tabel vermelde bezwijkbelastingen blijken inderdaadonderling gelijk te zijn, met een spreiding van circa 5%. (Op ditpunt klopt de theorie dus).Als bij voorbeeld ter plaatse van de inklemming het vloeimomentwordt bereikt, bezwijkt de balk nog niet; dit gebeurt pas als ookde wapening in het veld gaat vloeien.Op de ??n of andere manier moet bij een willekeurige staafver-deling de momentenverdeling dus gaan afwijken van de verdelingdie met de elasticiteitstheorie wordt gevonden.We krijgen dus een herverdeling van de momenten. Maar nietalleen het plaatselijk vloeien zal een herverdeling teweegbrengen,doch ook het plaatselijk scheuren.Hoe het momentenverloop zich wijzigt wordt door de figuren2-4 getoond.Het verloop van de momenten voor de balken A0 en A2 is weer-gegeven in fig. 2a en fig. 2b.In fig. 2a en ook in fig. 2b is links het veldmoment en rechts hetsteunmoment uitgezet tegen de belasting.In fig. 2a (balk A0) verloopt alles eerst elastisch, totdat bij de in-klemming het scheurmoment wordt bereikt; door het ontbrekenvan de wapening vallen de momenten hier sterk terug.Het kleine resterende inklemmingsmoment moet worden toe-geschreven aan een paar montagestaafjes die na het scheurendirect vloeien. Het veldmoment neemt verder lineair met de be-lasting tot breuk toe.Ook bij balk A2 (fig. 2b) is het verloop eerst weer elastisch.Scheurt de balk boven de inklemming, dan wordt hij daar slapperen ter plaatse van het veld relatief stijver; het veld 'trekt dusverder moment aan' en het steunpunt 'stoot moment af'.Dit gaat zo door totdat de eerste scheuren in het veld ontstaan;hierdoor ontstaat een klein knikje bij een belasting van circa1300 kg.Cem-mt I4 II962I Nr. II 679Vervolgens gaat de wapening bij de steunpunten vloeien en laterzelfs ?ets 'verstevigen'.Het momentenverloop, dat aanvankelijk dus overeenkomstig deelasticiteitstheorie was, verandert geleidelijk aan zodanig, dat bijbezwijken een momentenverdeling aanwezig is ongeveer over-eenkomstig de wapeningsverdeling.In fig. 3a en fig. 3b is de momentenverdeling van de balken A3 enA4 gegeven.Ook in fig. en fig. 3b is het momentenverloop eerst overeen-komstig de elasticiteitstheorie.Na het ontstaan van de eerste scheuren boven de steunpunten,wordt het moment daar weer 'afgestoten'.Dan scheuren ook de velden, waardoor de stijfheidsverhoudingtussen veld en inklemming weer dichter bij de begintoestandkomt.Bij balk A3 (fig. 3a) treedt bij een belasting van circa 2100 kgvloeien ter plaatse van het steunpunt op; bij balk A4 (fig. 3b), dieovereenkomstig de elasticiteitstheorie is gewapend, treedt vrijwelgelijktijdig vloeien bij het steunpunt en in het veld op, waardoordeze zonder verdere waarschuwing bezwijkt.Fig. 4a en fig. 4b tonen het momentenverloop van de balken A5en A6.Het momentenverloop van deze balken wijkt in zoverre van hetvorige af, dat bij het ontstaan van de eerste scheuren in het velddiscontinu?teiten optreden, omdat het scheurmoment hoger isdan het vloeimoment.Het vloeilijnenpatroon is bij een dergelijke doorgaande liggernogal eenvoudig. Foto 5 geeft een beeld van balk A3 in het be-zwijkstadium.foto 5. beproevingsopsteffing van balk A3 in het vloeistadium(zie ook fig. 1, blz. 679)680Cement 14 11962) Nr. IIZowel ter plaatse van de steunpunten als in de velden komenvloeischeuren voor. Zeer kleine afwijkingen kunnen er echtervoor zorgen, dat bij voorbeeld niet in alle velden gelijktijdig hetvloeimoment optreedt.Wij zullen nu nagaan hoe de vloeilijnenpatronen in iets moeilijkergevallen verlopen, namelijk bij de gelijkmatig belaste platen,waarbij verschillende randvoorwaarden optreden.Begonnen wordt met de vrij opgelegde, vierkante plaat.Foto 6 toont een plaat, die tussen 1911 en 1914 beproefd is doorBach en Graf en waarover in 1915 werd gepubliceerd. Het feitdat bij bezwijken vloeilijnen optreden is dus al heel lang bekend!De belasting werd gevormd door 16 puntlasten, wat een redelijkenabootsing is van een gelijkmatig verdeelde belasting.Op foto 6 ziet men duidelijk het diagonaalsgewijs verlopendevloeilijnenpatroon; (de kleine afwijking in het midden is waar-schijnlijk het gevolg van de puntlasten).Foto 7 toont het vloeilijnenpatroon van een rechthoekige plaat;de vloeilijnen zijn ook hier weer overeenkomstig de theorie.De ontwikkeling van de scheurvorming bij toenemende belastingis weergegeven in fig. 8.In fig. 8 zijn links boven de hoofdmomententrajectori?n gegeven.Duidelijk ziet men de overeenkomst tussen deze trajectori?n enhet scheurenbeeld en bovendien de overeenkomst tussen hetscheurenbeeld en het vloeilijnenpatroon.Het vloeilijnenpatroon is dus te beschouwen als een ge?dealiseerdtrajectori?nbeeld. Dit is dus wel logisch omdat, zoals ir. Ligten-berg in het voorgaande artikel reeds heeft vermeld, de vloei-scheuren op die plaats terechtkomen die leidt tot het grootstemoment of de laagste belasting.Hieruit moge blijken, dat de vloeilijnentheorie wel degelijk eenzeer goed inzicht in de krachtswerking moet geven en ook dat erwel degelijk een brug bestaat, die de vermeende kloof tussenelasticiteitstheorie en vloeilijnentheorie overspant.Foto 9 toont de onderzijde van een belaste plaat, die in het middenondersteund wordt en verder langs de randen vrij opgelegd is.Hen ziet hier het normale vloeilijnenpatroon als bij de vrij opge-legde plaat; het 'breukstuk' bij de middenoplegging is iets groter.Dit laatste blijkt op eenvoudige wijze uit het evenwicht. Men kande onderhavige plaat immers in dit opzicht vergelijken met eenover 3 steunpunten doorlopende ligger, waarbij de afstand tusseninklemming en maximum positieve moment groter is dan bij eenligger op 2 steunpunten.Aan de bovenzijde van de plaat krijgen we uiteraard boven demiddenondersteuning een negatieve vloeilijn.Foto's 10a-b tonen het vloeilijnenpatroon van een vierzijdig in-geklemde plaat (foto 10a de boven- en foto 10b de onderzijde). Debetreffende proef is uitgevoerd door C.U.R.-Commissie A7 'On-derzoek naar het plastische gedrag van constructies'. De inklem-ming werd in dit geval verkregen door zeer zware randbalken.Het vloeilijnenpatroon is weer in overeenstemming met de theo-rie, namelijk aan de onderzijde de bekende vorm en aan de boven-zijde vloeilijnen langs de inklemmingen.Uiteraard behoeft de ondersteuning niet altijd star te zijn. Dezekan ook bestaan uit bij voorbeeld een balk.Foto's 11a-d tonen de onderzijden van vier belaste platen, die elkaan drie zijden vrij opgelegd zijn terwijl de ondersteuning aan devierde zijde wordt gevormd door een balk.De wapening in de balk is constant gehouden, alleen de balkhoogteis gevarieerd, namelijk 3,9 - 2,8 -1,6 en 1 maal plaatdikte (ditdelaatste geval betreft dus een 'verborgen' balk).foto's 11a-b. onderzijden van twee platen met randbalkhoogte 3,9 en2,8 maal plaatdikteCement I4 (l?62) Nr. IIBij een hoge balk (3,9 en 2,8 maal de plaatdikte) krijgt men weerhet vloeilijnenpatroon als van de aan vier zijden opgelegde plaat.Op een gegeven ogenblik is de balk echter zo zwak (1,6 en vooral1,0 maal de plaatdikte), dat een ander patroon wordt verkregen.Dit vloeilijnenpatroon is logisch als men bedenkt, dat een vloeilijnuiteraard naar de hoeken moet gaan; dit is immers het snijpuntvan twee draaiingsassen. Bij een zwakke balk zal echter ook eenvloeilijn door de balk moeten lopen.Bij een bepaling van het juiste patroon moet bij beschouwing vande trapeziumvormige 'breukstukken' ook het vloeimoment vande balk in rekening worden gebracht. Dit levert geen enkelemoeilijkheid, waardoor ook door balken ondersteunde platen opeenvoudige wijze kunnen worden berekend.Laten wij bij een balkhoogte gelijk aan de plaatdikte (dus in hetgeval van een 'verborgen' balk) ook nog de randbalkwapening weg,dan krijgen wij gewoon een vrije rand, en hierbij is het vloeilijnen-patroon als aangegeven door foto 12.Tot nu toe zijn dus rechthoekige platen met verschillende rand-voorwaarden bekeken. In de praktijk worden plaatvloeren echternogal eens onderbroken door gaten. Foto's 13-17 tonen daaromde vloeilijnenpatronen van een aantal van dergelijke gevallen.Foto 13 toont een aan vier zijden vrij opgelegde, rechthoekigeplaat met een rechthoekig gat. Het vloeilijnenpatroon is een-voudig.Slechts iets ingewikkelder is dat van foto 14. Duidelijk ziet mendat het vloeilijnenpatroon hier in principe analoog is met dat vande vloer zonder gat (foto 7, blz. 680).Het volgende geval is een plaat met ronde gaten (foto 15). Ookhierin herkent men nog duidelijk het patroon van de plaat zondergaten (foto 7).Volgens de elasticiteitstheorie zijn de hier genoemde gevallen inhet geheel niet zo eenvoudig.Foto 16 toont een plaat waarin ter plaatse van ??n van de hoekeneen uitsparing gemaakt is.Over het algemeen zijn vloeilijnenpatronen ook op eenvoudigewijze langs theoretische weg te vinden. Voor wat betreft de vormkloppen deze theoretische patronen altijd met de bij de proef-platen gevonden figuren. Bij de proefplaatjes traden wel eens 2vloeilijnen vlak naast elkaar op waar theoretisch maar ??n vloeilijnaanwezig had moeten zijn, maar van principieel belang zijn derge-lijke afwijkingen niet. Maar niet alleen qua vorm maar ook wat deplaats van de vloeilijnen betreft, bestaat een zeer redelijke over-eenkomst tussen theorie en experiment. (In de foto's zijn de theo-retische vloeilijnen met een stippellijn aangegeven).Foto 17 toont nog een plaat waarin langs een lange zijde een uit-sparing is gemaakt.Uit het voorgaande heeft men een indruk gekregen van het vloei-lijnenpatroon bij gelijkmatig belaste, rechthoekige platen.Thans komen de vloeilijnenfiguren bij wat minder gebruikelijkeplaatvormen aan de orde. (Ook hier is de belasting gelijkmatigverdeeld).In de eerste plaats een aan vier zijden vrij opgelegde, trapezium-vormige plaat (foto 18). Het vloeilijnenpatroon spreekt voorzichzelf.Foto 19 toont een ruitvormige plaat; de vloeilijnen verlopen vol-gens de diagonalen.Foto 20 toont een zeshoekige vloer. Naar elk hoekpunt moet eenvloeilijn lopen, omdat elk hoekpunt het snijpunt van twee draai-ingsassen is.Foto 21 Iaat een driehoekige plaat zien; ook hier moeten uit dehoeken vloeischeuren lopen, die ongeveer in het midden samen-komen.Foto 22 toont nog een gelijkmatig belaste, cirkelvormige plaat,die langs de omtrek op zes punten ondersteund is. De vloeilijnenlopen vanuit het middelpunt naar het midden van de vrij zweven-de rand tussen de ondersteuningen.Zo langzamerhand zijn we dus terechtgekomen bij platen die doorkolommen ondersteund worden of die in het algemeen aan ge-concentreerde belastingen onderworpen zijn. Ook deze gevallenzijn met de vloeilijnentheorie te bepalen, hoewel dit in het al-gemeen wat moeilijker is dan in het geval van platen die onder-worpen zijn aan gelijkmatig verdeelde belastingen.foto 27. onder- en bovenzijde van tweezijdig opgelegde plaat metsteunpuntBij door kolommen ondersteunde of aan geconcentreerde belas-tingen onderworpen platen kunnen namelijk ook verschijnselenals pons en afschuiving een rol spelen en over deze punten is nogniet zo heel veel bekend. Dezelfde moeilijkheid wordt trouwensook ondervonden bij een berekening van dergelijke platen vol-gens de elasticiteitstheorie.Thans volgen enkele voorbeelden van vloeilijnenpatronen vanplaten die aan puntlasten onderworpen zijn.Foto 23 (blz. 683) toont een eenvoudig geval van een aan twee(lange) zijden opgelegde plaat, met in het midden een puntbelas-ting.In deze, door Bach en Graf onderzochte, plaat was veel wapening(Ay) evenwijdig aan de lange opleggingen aanwezig en wij krijgendan ook gewoon een vloeischeur dwars over de plaat, zoals in eendoor een puntlast belaste balk op twee steunpunten.Brengen wij echter in een dergelijke plaat een kleine hoeveelheidwapening (Ay) evenwijdig de lange opleggingen aan, dan wordt hetpatroon van foto 24 verkregen (eveneens volgens onderzoekingenvan Bach en Graf).Uit deze beide voorbeelden blijkt dus duidelijk, dat de ligging vande wapening in het vloeilijnenpatroon tot uiting komt. Men zaldaarom bij een bepaalde hoeveelheid wapening evenwijdig aan delange zijden moeten nagaan, welk patroon bij een bepaalde wape-ningsverdeling zal optreden.Wordt op een tweezijdig opgelegde plaat een lijnlast geplaatstevenwijdig aan de opleggingen, dan verkrijgt men het vloeilijnen-patroon van foto's 25a-b. (Ook in deze plaat is evenwijdig aan delange opleggingen een kleine hoeveelheid wapening aanwezig,namelijk 20% van de hoofdwapening).Het geval van een langs de randen vrij opgelegde, rechthoekigeplaat, die belast is door twee puntlasten op vrij willekeurigeplaatsen, ziet men in foto 26.Foto 27 toont nog een geval van een aan twee zijden opgelegdeplaat, die op de vrije hoek ondersteund is (een van de weinige ge-vallen met t.p.v. de kolom een stervormig vloeilijnenpatroon).Als onderdeel van de werkzaamheden van C.U.R.-commissie A7'Onderzoek naar het plastische gedrag van constructies' is kortgeleden een vrij ingewikkeld geval onderzocht, waarvan fig. 28de plattegrond geeft.Het betreft hier dus een zeshoekige plaat, waarvan de ondersteu-ningen worden gevormd door 4 kolommen, een wand en een op-legging langs een liftkoker. Vier randen zijn vrij zwevend. Tussende kolommen is een balk van minimale afmetingen aanwezig.Cement I4 II962) Nr. IIDeze plaat vormt een re?el geval uit de praktijk; de vloer is name-lijk een onderdeel van een verpleeghuis van zes verdiepingen. Deplaat en de balken zijn ontworpen volgens de vloeilijnentheorie;de kolommen zijn volgens de Gewapend-Beton-Voorschriften1962 berekend. De beproevingsresultaten zijn nog niet geheeluitgewerkt.In dit artikel zal niet veel meer over deze proef verteld worden,daar het betreffende onderzoek tevens diende als afstudeer-ontwerp van de heer J. W. B. Stark, die hierover binnenkort eencolloquium op de Technische Hogeschool te Delft zal houden.Degenen die in deze materie interesse hebben, kan dan ook aan-geraden worden om dit colloqiuim bij te wonen.*)Foto 29 geeft een overzicht van de betreffende beproevings-opstelling.Door de hier gegeven voorbeelden zal men wellicht een indrukhebben gekregen van de verschillende vloeilijnenpatronen en vande praktische mogelijkheden ervan.Naast de vraag betreffende de relatie tussen de vloeilijnentheorieen de werkelijkheid, rijst de vraag naar de grootte van de bezwijk-belasting; klopt de gemeten waarde met de theorie?Bij een groot aantal normaal gewapende platen en platen met een-voudige randvoorwaarden, als vrije opleggingen e.d., blijkt eenredelijke overeenstemming te bestaan; meestal is de bezwijk-belasting dan een procent of 10 hoger dan de theorie aangeeft.Maar er zijn ook gevallen bekend, waarbij de overeenstemmingminder goed is. En dat minder goed zijn bestaat dan vrijwel altijdhieruit, dat de gemeten bezwijkbelasting veel hoger is dan detheorie aangeeft. Op zichzelf is dit natuurlijk geruststellend; menwerkt met de vloeilijnentheorie dan immers altijd veiliger danmen denkt. Aan de andere kant is het, vooral wetenschappelijkgezien, weer niet zo bevredigend als een grote afwijking tussentheorie en experiment bestaat.De oorzaak van de afwijking tussen experiment en theorie moetworden toegeschreven aan de membraanwerking: een gedeeltevan de belasting wordt niet door momenten opgenomen, maardoor schijfkrachten, dus krachten in het vlak van de plaat. Wijkrijgen derhalve dus twee verschillende krachtwerkingen doorelkaar.Nu is het vervelend, dat van de membraanwerking zo weinig be-kend is, terwijl bovendien verschillende typen membraanwerkingbestaan, die of wel gelijktijdig of na elkaar optreden en waarvanvooral het gelijktijdig optreden weer een extra complicatie is.*) De dag, waarop dit colloquium plaatsvindt, zal nog nader bekend ge-maakt worden.Als ??n van de mogelijkheden van de membraanwerking kennenwij allereerst de boogwerking, waarvan het principe is weer-gegeven in fig. 30. De plaat vormt als het ware een flauwe boog,die gespannen is tussen bij voorbeeld een paar randbalken.Nemen de doorbuigingen verder toe, dan zal de boogwerking op-houden en zal de plaat als een zeil tussen de randbalken gaanhangen; dit verschijnsel hebben wij 'zeilwerking' genoemd.Het is duidelijk, dat de boog- respectievelijk zeilwerking alleenkan optreden als een horizontale kracht kan worden geleverd.Dit is dus het geval als de plaat omsloten is door andere vloei-velden of indien een stijve ringbalk aanwezig is, zoals bij voorbeeldbij de ingeklemde platen, die door C.U.R.-commissie A 7 zijnonderzocht en waarvan in het voorgaande al iets is getoond.Aan deze proeven is fig. 31 ontleend.In fig. 31 is de verandering van de afstand tussen de randbalkenaan de lange zijden uitgezet tegen de belasting.Eerst gaan de balken door de boogwerking naar buiten, om bij eenbepaalde belasting, die overeenkomt met een doorbuiging in deorde van grootte van de plaatdikte, weer af te nemen. De boog-werking heeft hier dus de neiging om over te gaan in de zeil-werking.Maar ook indien de platen niet omsloten zijn door een stijf raamkan membraanwerking optreden. Als men bij een rechthoekigeplaat de 'breukstukken' uitzaagt en men geeft de plaat een verti-cale verplaatsing ter plaatse van de middelste vloeilijn, dan blijktdat de 'breukstukken' niet meer aan elkaar passen (foto 32).Cement I4 ( 1962) Nr. il 685Er zijn dus krachten nodig om de zaak weer aaneen te sluiten. Wiewel eens een vouwschaal van een dergelijke vorm -ongeveer eenomgekeerd dak- heeft uitgerekend, weet dat langs de omtrek eendrukzone en in het midden een trekgebied aanwezig is.De trekspanningen worden eerst door het beton opgenomen,maar zodra het beton scheurt moeten de krachten worden gele-verd door de wapening. Door dit effect krijgen wij scheuren dooren door, die in het midden groot zijn en in het drukgebied ein-digen (foto 33).M zou dus kunnen concluderen, dat de grootte van de mem-braanwerking in belangrijke mate afhangt van de hoeveelheidwapening evenwijdig aan de lange zijden. Deze richting is immersmaatgevend, omdat evenwijdig aan de lange zijde gewoonlijkminder wapening aanwezig is dan in de richting van de korteoverspanning, en voorts omdat de trapeziumvormige delen on-gunstiger worden belast dan de driehoekige delen. Om de invloedvan de wapening te onderzoeken is in het Instituut T.N.O. voorBouwmaterialen en Bouwconstructies een proef gedaan metenkele series rechthoekige platen.De eerste serie was gewapend met een wapeningsnet met gelijkestaaldoorsnede in X- en -r?chting. Deze kleine platen zijn be-proefd en hierbij is gemeten het verband tussen de belasting ende doorbuiging.Vervolgens is bij een tweede serie platen in de middendoorsnedede helft van de langswapening doorgeknipt en bij een derde seriealle langswapening in de middendoorsnede.In alle gevallen is theoretisch hetzelfde vloeilijnenpatroon aan-wezig. De resultaten van deze proeven zijn weergegeven in fig. 34.Duidelijk blijkt, dat de belasting het hoogst is bij de platen waar demeeste langswapening aanwezig was. Bij de platen waar alle wape-ning was doorgeknipt, komt de bezwijkbelasting ten naaste bijovereen met de theoretische waarde. De membraanwerkingblijkt dus inderdaad afhankelijk te zijn van de hoeveelheid wape-ning evenwijdig aan de lange zijde.Ik ben van mening, dat wij kunnen stellen, dat de membraanwer-king groter wordt naarmate de plaat door een stijver raam wordtomsloten en naarmate de hoeveelheid langswapening toeneemt.Komen beide voorwaarden in ??n plaat voor, dan wordt hetvloeilijnenpatroon door de membraanwerking volkomen ver-troebeld, zoals uit foto's 35a-b blijkt.Allerlei secundaire scheuren blijken in een dergelijk geval op tetreden en van een duidelijk vloeilijnenpatroon is dan ook geensprake meer. Dan is ook het stellen van een criterium voor debezwijkbelasting erg moeilijk.Een troost moge zijn, dat een dergelijk beeld in het algemeen op-treedt bij veel hogere belastingen dan met de vloeilijnentheoriewordt gevonden.E?n van de vragen die bij een berekening volgens de breuk-methode naar voren komt is uiteraard, hoe de constructie zichgedraagtin degebruikstoestand, dus bij de toelaatbare belastingen.Om hier een indruk van te krijgen gaan wij even terug naar deover oneindig veel steunpunten doorlopende balk (fig. 1, blz. 679).In figuur 36 zijn voor de diverse wapeningsverdelingen de grootstescheurwijdten bij de inklemming tegen de belasting uitgezet.Indien geen wapening boven de steunpunten aanwezig is, krijgtmen vanaf het ogenblik dat de balk ter plaatse van de steunpuntenscheurt, een sterke toeneming van de scheurwijdte. Naarmatemeer wapening boven het steunpunt ligt wordt de scheurvorminggunstiger.686 Cement 14 (1962) Nr. 11In fig. 37 is de grootste scheur ter plaatse van de velden tegen debelasting uitgezet. Daaruit kan men concluderen, dat naarmatemeer wapening in het veld aanwezig is, de scheuren kleiner zijn.Wij kunnen nu een figuur (fig. 38) maken, waarin wij de grootstescheur die in de balk optreedt, tegen de belasting uitzetten.Duidelijk zien wij een bepaald systeem in de scheurvorming.Naarmate de wapening boven de steunpunten toeneemt, wordtde scheurvorming gunstiger totdat een verdeling aanwezig isongeveer overeenkomstig de elasticiteitstheorie. Vervolgenswordt de scheurvorming bij de aanwezigheid van meer wapeningboven de steunpunten weer ongunstiger omdat het veld maat-gevend wordt.Een verdeling volgens de elasticiteitstheorie is dus het gunstigst.Men mag wel enigszins van deze theorie afwijken, maar niet al teveel ; dit zou zeker leiden tot ontoelaatbare scheurvorming, mis-schien nog niet altijd in de gebruikstoestand, maar dan toch welbij niet al te grote overbelastingen.'n de richtlijnen die door C.U.R.-Commissie A 7 zijn opgesteld,worden dan ook bepaalde grenzen gesteld waaraan de verhoudinginklemmingsmoment tot veldmoment moet voldoen.*)In fig. 38 zien wij horizontaal verlopende gedeelten, zoals bij voor-beeld bij balk A5. Deze sprong wordt veroorzaakt door het feit,dat het vloeimoment lager is dan het scheurmoment. Het wape-ningspercentage is 0,24%, dus ongeveer overeenkomstig het mini-mum wapeningspercentage volgens de G.B.V. 1962. Dit voor-geschreven wapeningspercentage is wel erg laag, men zou zelfswillen zeggen te laag.Een en ander houdt wel in, dat de absolute grootte van de wape-ningspercentages en de grootte van het scheurmoment op hetbeeld van invloed zijn. Het hier gegeven voorbeeld is echter eenvrij normaal geval, namelijk bij een verdeling volgens de elastici-teitstheorie (2:1) circa 1,0% bij de inklemming en 0,5% in hetveld.In fig. 39 zijn de doorbuigingen uitgezet tegen de belasting.Hier is eigenlijk hetzelfde beeld te zien als bij de scheurvorming.De elasticiteitstheorie is weer ongeveer het gunstigst en ook hierzal de voorwaarde, die in de genoemde richtlijnen is gesteld om-trent de verhouding inklemmingsmoment tot veldmoment, deextreme gevallen moeten uitschakelen.*) zie 'Vloeilijnentheorie versus elasticiteitstheorie' door ir. C. J. Louw,Cement 14 (1962) Nr. 11, blz. 665/666Cement 14 (1962) Nr. IIDe doorlopende balk is eigenlijk nog maar een eenvoudig drie-voudig statisch onbepaald systeem. In heel veel gevallen zal detoestand bij een aan meer zijden opgelegde plaat gunstiger zijn;een dergelijke plaat is namelijk oneindigvoudig statisch onbepaald.Treedt bij een plaat plaatselijk vloeien op, dan zal men hier aan-vankelijk niet zo veel van merken. Eerst bij het verder opvoerenvan de belasting zal het vloeigebied zich geleidelijk verder uit-breiden tot een vloeilijnenpatroon.Bij een aan meer zijden opgelegde plaat zal dus afhankelijk van derandvoorwaarden een betere herverdeling van de momentenmogelijk zijn dan bij een balk.In figuur 40 ziet men de resultaten van de gelijkmatig belaste, in-geklemde rechthoekige platen, die door C.U.R.-Commissie A 7zijn onderzocht. Terwijl de balk misschien het ene uiterste is enwel in ongunstige zin, kunnen deze platen misschien wel wordenbeschouwd als het andere uiterste en dan in gunstige zin.Voor vijf verschillend gewapende en even dikke platen zijn derekken ter plaatse van de scheuren bij de inklemmingen aan delange zijde, uitgezet tegen de toelaatbare belasting.Plaat A1 is gewapend volgens de elasticiteitstheorie. De som vaninklemmingswapening en veldwapening in de richting van dekorte overspanning bedroeg 0,78%. De verhouding inklemmings-moment tot veldmoment bedroeg gemiddeld 2,3 :1.Bij de overige platen zijn verschillende verhoudingen tussen in-klemmings- en veldmomenten toegepast alsook verschillendewapeningspercentages.Uit figuur 40 volgt, dat de verdeling van de wapening ook hetgedrag van de plaat be?nvloedt. Zo is bij voorbeeld plaat AS meteen wapeningssom van 0,91% en een wapeningsverhouding van 2:1gunstiger dan plaat A9 met ongeveer dezelfde wapeningssom eneen wapeningsverhouding van 1:1. Ook hier zal een eis omtrent deverhouding inklemmingswapening tot veldwapening gunstigwerken, hoewel minder sprekend dan bij de balk.Aan de andere kant is plaat A3 met een wapeningssom van 0,60%en een wapeningsverhouding van 1:1 gunstiger en plaat A7 met eenwapeningssom van 2,22% en een wapeningsverhouding van 1:1 veelongunstiger dan de beschouwde platen A5 en A9. Bekijkt men dezeresultaten dan is enig systeem in de lijnen te ontdekken, namelijkdat vooral de wapeningssom een zeer belangrijke invloed heeft.687En hierbij komt het vreemde verschijnsel naar voren, dat de lichtgewapende platen gunstiger zijn dan de zwaar gewapende platen.Dit is iets, dat bij een berekening volgens de elasticiteitstheorieeven goed optreedt als bij een berekening volgens de plastici-teitstheorie. Ook daarbij kan men een plaat licht of zwaarwapenen.Het feit, dat de licht gewapende platen gunstige resultaten gevenis niet zo moeilijk te verklaren. De grootte van het scheurmomentis namelijk vrijwel onafhankelijk van de hoeveelheid wapening.De buigtreksterkte en de plaatdikte zijn immers de belangrijkstegrootheden die het scheurmoment bepalen. Het vloeimoment isbij een bepaalde plaatdikte vrijwel lineair afhankelijk van de staal-doorsnede; bij een hoog wapeningspercentage hebben wij in datgeval een hoog, bij een laag wapeningspercentage een laag vloei-moment.Bij een hoog wapeningspercentage is dus een flinke marge tussenscheur- en vloeimoment aanwezig; bij kleiner wordende wape-ningspercentages wordt deze marge steeds kleiner.Wanneer men een plaat meteen hoog wapeningspercentage heeft,dan zullen bij betrekkelijk lage belastingen al scheuren bij de ?n-klemmingen ontstaan. Deze scheuren.ontwikkelen zich verder enbij iets hogere belastingen ontstaan de eerste scheuren in hetveld. Bij niet al te hoge belastingen zijn dus zowel bij inklemmingals in het veld scheuren aanwezig, die zich nog geleidelijk verderkunnen ontwikkelen.In het geval van een heel laag wapeningspercentage zullen deeerste scheuren weer bij de inklemming ontstaan. Daar hetscheurmoment bijna net zo hoog zal zijn als het vloeimoment, zalhet ontstaan van de eerste scheur eerst bij een flink hoge belas-ting plaatsvinden en bij een nog hogere belasting zullen ookscheuren in het veld ontstaan.Het gehele scheurenbeeld zal zich pas bij hogere belastingenontwikkelen, al zal dit dan wel relatief sneller gaan.Het extreme geval vormt in dit opzicht een ongewapende plaat ofeen plaat met een heel klein wapeningspercentage. Als een derge-lijke plaat scheurt, zal hij onmiddellijk bezwijken.Het gehele verschil in gedrag moet dus aan de verhouding scheur-moment tot vloeimoment worden toegeschreven.Als de scheuren niet door belasting ontstaan maar door krimp,temperatuur of andere oorzaken, zouden de licht gewapendeplaten wel eens minder gunstige resultaten kunnen opleveren, enik zou daarom niet met alle geweld willen beweren, dat het toe-passen van hele lage wapeningspercentages de voorkeur verdient;enige reserve lijkt mij hier wel op zijn plaats.Aan de andere kant moeten de wapeningspercentages ook niet alte hoog zijn.Ook bij de vloeilijnentheorie is, zij het uit andere overwegingen,een grens aan het maximum wapeningspercentage gesteld, dat ookhier gunstig uitwerkt. Uiteraard is dit ook het geval met de door-buigingseis.Maar zoals reeds gezegd is, heeft dit niet specifiek met de plastici-teitsmethode te maken. Wel wil ik er nog even op wijzen, dat bijde ingeklemde platen alles veel soepeler verloopt als gevolg vande momentenverdelende werking.Ten slotte geeft fig. 41 van dezelfde platen nog het verband tussende doorbuigingen en de belasting. Ook hier is plaat PCI, evenals bijde scheurvorming (zie fig. 40), het ongunstigst. De plaat blijktechter niet aan de doorbuigingseis uit de G.B.V. 1962 te voldoen.Tussen de overige platen kan men slechts een betrekkelijk kleinverschil waarnemen.In dit artikel ?s een overzicht gegeven van wat experimenteel werkop het gebied van de vloeilijnentheorie. Uiteraard is dit maar eengreep uit wat er aan speurwerk op dit gebied is verricht. Ik hoopechter, dat ik door het belichten van verschillende facetten van hetonderzoek een duidelijk beeld heb kunnen geven van de mogelijk-heden, die de vloeilijnentheorie voor ons openstelt.De vloeilijnentheorie van JohansenK. W. Johansen, Yield-line theory (translated from theDanish); London, Cement and Concrete Association, 1962;15 ? 21,5 cm, 181 biz,, 118 fig., div. litt.-opg.; ? 3.3.0 ($ 9)De promotor van de vloeilijnentheorie in het bijzonder voorplaten, de Deense hoogleraar Prof. Dr. K. W. Johansen, publi-ceerde in 1931 in de Kopenhaagse Bygningsstatiske Meddelelser enin 1932 in de M?moires de l'Association Internationale des Ponts etCharpentes de grondbeginselen van een theorie, die hij sedert-dien -na een tussentijdse afronding in 1934- nader uitgewerktheeft tot zijn, in 1943 aan de Technische Hogeschool van Kopen-hagen aangeboden, proefschrift 'Brudlinieteorier'. De daarin ont-wikkelde breuklijnentheorie voor de bepaling van de bezwijklastvan platen, die in onze taal -kennelijk naar analogie van hetEngelse begrip 'yield-line theory'- dikwijls ook vloeilijnentheoriewordt genoemd, is na 1943 in diverse landen door talrijke onder-zoekers bestudeerd en als basis voor verdere onderzoekingengebruikt.Het bezwaar van het boek 'Brudlinieteorier', en ook van het in1949 verschenen 'Pladeformler; Formelsamling' (waarin zeer veelplaatvormen en talrijke belastingsgevallen worden behandeld),was echter voor velen het feit, dat het alleen in de Deense taaluitgegeven was. Dit bezwaar is echter voor wat betreft 'Brudlinie-teorier' thans geheel ondervangen, althans voor degenen die deEngelse taal beheersen, door de onlangs verschenen Engelse ver-taling 'Yield-line theory', die in nauw overleg met de oorspronke-lijke auteur door het Britse Building Research Station is samen-gesteld en door de Cement and Concrete Association te Londenis uitgegeven.De eerste helft van de door de auteur geschreven, 8 bladzijdentellende 'Inleiding' bevat een zeer beknopt overzicht van de voor-geschiedenis van de vloeilijnentheorie ('van Galile's studies in1638 tot Suenson's publikaties in 1916 en 1918') en is daardoorop zichzelf al de moeite van het lezen waard; de overige vier blad-zijden vormen de eigenlijke inleiding tot de 'Brudlinieteorier',waartoe tevens samenvattingen van de verschillende hoofdstukkenworden gegeven, die de logische 'opbouw' van het boek duidelijkmaken.Terwijl het 'Algemene gedeelte' (blz. 9 t/m 41), waarin de theo-rie?n van het plastisch bezwijken behandeld worden, een zekerewiskundige en statische kennis vereist, is het 'Speciale gedeelte'(blz. 42/179), dat de praktische toepassing van de vloeilijnen-theorie voor platen geeft, zo overzichtelijk ingedeeld en zo duide-lijk geschreven (men zou bijna het woord 'populair' gebruikenwanneer dit in onze taal niet zulk een ongunstige bijbetekenishad gekregen!), dat het voor elke ge?nteresseerde een pleziermoet zijn om de tekst te lezen en met de auteur mee te rekenenin 30 uitgewerkte rekenvoorbeelden.Gezien de grote belangstelling voor de op 4 oktober j.l. in's-Gravenhage gehouden voordrachten over de 'Vloeilijnen-theorie' (Louw, Ligtenberg, Van Riel) kan men verwachten,dat deze Engelse vertaling van Johansen's proefschrift, die wel-iswaar niet zo goedkoop is, maar waar de werkelijk goede uit-voering tegenover staat, ook in Nederland veel lezers zal vinden.Voor deze uitgave verdienen het Britse Building Research Stationen de Britse Cement and Concrete Association de waardering vanalle ge?nteresseerden in de vloeilijnentheorie in Engeland, Neder-land en ongetwijfeld in vele andere landen. Misschien dat te zijnertijd ook nog een Engelse vertaling van Johansen's tweede boek'Pladeformler; Formelsamling' op dezelfde fraaie wijze het lichtzal zien? v.d.V.688 Cement I4 (1962) Nr. II