56? CEMENT 4 2021 RUBRIEK REKENEN IN DE PRAKTIJK Dit is de 15e aflevering in de Cement-rubriek 'Rekenen in de praktijk'. In deze rubriek staat telkens één rekenopgave uit de praktijk centraal. De rubriek wordt samengesteld door een werkgroep, bestaande uit: Mustapha Attahiri (Ingenieurs- bureau Gemeente Rotterdam), Maartje Dijk (Witteveen+Bos), Lonneke van Haalen (ABT), Matthijs de Hertog (Nobleo), Jorrit van Ingen (WSP), Jacques Linssen (redactie Cement) en Bart Vosslamber (Heijmans). De artikelen in deze rubriek worden telkens opgesteld door één van de leden van deze werkgroep. Het wordt vervol- gens gereviewd door de andere leden en door minimaal één senior adviseur binnen het bedrijf van de opsteller. Ondanks deze zorgvuldigheid, is de gepresenteerde rekenme- thode de visie van een aantal individuen. Prefab-betonnen casco's nemen een steeds belangrijker deel in de bouwproductie in. Diverse woontorens worden op dit moment in razend tempo op de bouw tot een geheel versleuteld, nadat ze in onderdelen zijn aangevoerd. De enorme tijdwinst vraagt om langere voorbereiding en complexe aansluitdetails. In deze case wordt zo'n complex aansluitdetail onder de loep genomen. SAMENGESTELDE DOORSNEDE Case In deze case wordt een detail beschouwd van een prefab vloer met een balk erboven en eronder. Voor de samengestelde doorsnede worden diverse controleberekeningen uitgevoerd: buigend moment, afschuiving, drukdiagonaal en overlappingslengte. CEMENT 4 2021 ?57 rekenen in de praktijk (15) In deze case wordt een detail beschouwd van een prefab vloer met een prefab balk erboven en eronder. Het betreft hier een eindgevel, waarbij de prefab vloer op overstek moet doorlopen in verband met een omloop. Het detail is samengesteld uit die drie constructieonderdelen: 1. een balk onder de vloer (afmeting 350 x 500 mm 2); 2. een doorgaande vloer hier overheen (dik 200 mm); 3. een balk over de vloer (afmeting 350 x 500 mm 2). In figuur 2 en 3 is respectievelijk een 3D-weergave en een doorsnede getoond. ??????Van deze drie onderdelen is samenwerking gewenst, zodanig dat het kan worden beschouwd als een monoliete doorsnede. De samengestelde afmeting is dan 350 x 1200 mm 2. Om het buigend moment en UITGANGS- PUNTEN balk onder en boven de vloer b x h = 350 x 500 mm² doorgaande vloer d = 200 mm betonsterkteklasse C55/57 dekking 30 mm langswapening 4Ø25 stekken dubbele rij Ø16-300 beugels Ø16-300 foto 1 Voorbeeld prefab-betonnen casco de dwarskracht volgens de vakwerkanalogie door de samengestelde doorsnede te kunnen laten lopen, is voldoende wapening nodig in de horizontale aansluit - vlakken. Hiervoor worden stekken opgenomen in het onderste element, die door de vloer steken en worden verankerd in de gaines van het bovenste element. Om de case compact te houden, beperkt deze zich tot de eindsituatie. Afhankelijk van de bouwsystematiek kunnen de bouwfasering en tijdelijke situaties een rol spelen, deze zijn echter niet uitgewerkt. Algemene uitgangspunten voor de berekening Betondoorsneden op buiging en afschuiving kunnen worden gecontroleerd volgens de vakwerkanalogie. 58? CEMENT 4 2021 Dwarskracht?Voor de dwarskracht wordt de maxi- male dwarskracht in het balkdeel genomen, dit is de verticale component volgens de vakwerkanalogie. Deze waarde wordt gebruikt voor het bepalen van de dwarskrachtwapening. Voor het afschuivende deel in het schuifvlak mag de gemiddelde dwarskracht over een afstand ?x zijn aangenomen. Dit is de helft van de afstand tussen de doorsnede waar het moment 0 is en de doorsnede waar het moment maximaal is (fig. 6). Indien puntlasten optreden, behoort de lengte ?x de afstand tussen de puntlasten niet te overschrijden (NEN-EN 1992-1-1, art. 6.2.4(3)). De dwarskrachtwape- ning is een samenspel tussen stekken, de beugels en haarspelden in de balkdelen. Figuur 4 laat schematisch het krachtspel zien in de samengestelde doorsnede, waarbij (het ontbonden deel van) de drukdiagonaal een horizontale schuif - kracht veroorzaakt in de voegen. Als de kracht in de drukdiagonaal onderin de balk komt, moet deze met wapening weer verticaal naar boven worden getrokken. Buigend moment?Het buigend moment wordt opge- nomen door een inwendig koppel in de samengestelde doorsnede. Dit betekent een trekband, afhankelijk of er sprake is van een positief of negatief moment, geconcentreerd boven of onderin de samengestelde doorsnede en een drukzone aan de andere zijde. fig. 2 3D-weergave fig. 3 Beschouwd detail fig. 4 Vakwerkanalogie CEMENT 4 2021 ?59 rekenen in de praktijk (15) Voegen?Tussen de elementen zijn twee voegen aanwe- zig. De elementen worden geplaatst in een speciebed. Het aansluitvlak is ruw (een oppervlak met ruwheden van tenminste 3 mm en tussenafstanden van ongeveer 40 mm): c = 0,40 en µ = 0,7. Hoewel NEN-EN 1992-1-1 geen voorschriften kent voor voegen in afschuifvlak - ken, is in deze controle ook de factor k 1 uit art. 10.9.4.3 verwerkt in verband met de mogelijk lagere vulgraad. De voeg wordt uitgevoerd in K70, met een 28-daagse sterkte van 85 N/mm 2. De (lagere) sterkteklasse van het prefab beton (C55/67) is hierdoor maatgevend. In deze case is k 1 vastgesteld op 0,7. Capaciteit afschuifvlak?Het afschuifvlak wordt gecon- troleerd conform NEN-EN 1992-1-1, art. 6.2.5. Hierbij worden f ck, fcd en f ctd gereduceerd in verband met de aanwezigheid van de voeg. Conform het artikel mag een normaalspanning ?n worden meegenomen indien dit een uitwendige normaalkracht betreft. De normaal- spanning op het afschuifvlak wordt in dit geval veroor- zaakt door een inwendige kracht. Dit gunstige aandeel mag daarom niet worden meegenomen. ??????Het beton zelf heeft conform art. 6.2.5 een afschuifcapaciteit van c f ctd. Hoewel de norm dit niet voorschrijft, kan bij een grote hoekverdraaiing ter plaatse van het steunpunt, of bij wisselende belas- tingen, worden geadviseerd deze bijdrage in de berekening niet mee te nemen. De vervorming van de vloerconstructies heeft in de onderhavige situatie namelijk een nadelige invloed op de schuifsterkte van een aansluitvlak. De invloed ervan zal leiden tot een reductie van de adhesie tussen de vlakken. Verticale wapening (beugels/haarspelden/stekken)? De verticale wapening heeft drie functies: V?Dwarskracht: wapening om het vakwerksysteem met verticale staven, drukdiagonalen en horizontale staven (trekwapening, drukzone) mogelijk te maken. H?Afschuiven: wapening om het afschuiven van het horizontale schuifvlak tegen te gaan. O?Ophangwapening: ophangen van belasting tot bovenin de balk, conform NEN-EN 1992-1-1, art. 6.2.1(9). Dit is aanvullende wapening. De wapening voor V en H hoeft niet te worden opge- teld. In toetsingsregel 6.2.5 wordt immers voor A s alle wapening aangegeven die het aansluitvlak doorkruist, inclusief eventuele gewone dwarskrachtwapening. De wapening voor V en H kan dus apart worden bepaald. De ophangwapening voor O moet wèl bij beide worden opgeteld. fig. 5 Momentenlijnen fig. 6 Dwarskrachtenlijnen Overlappingslengte stekken?De toegepaste verticale stekken moeten voldoende worden verankerd in het prefab betonelement. Bij overdimensionering van het aantal stekken wordt de staalspanning lager en mag de overlappingslengte worden gereduceerd. Voor de controle wordt de overlappingslengte aangehouden conform NEN-EN 1992-1-1, art. 8.7.3. Hier wordt de 60? CEMENT 4 2021 staalspanning aangehouden ten gevolge van afschui- ven of trek (hoogste u.c.). Controle drukdiagonaal?De controle van de druk- diagonaal wordt uitgevoerd conform NEN-EN 1992-1-1. Hierbij wordt de aanwezigheid van de voeg meegeno- men door de factor k 1 = 0,7 over f ck te nemen. Krachtswerking samengestelde doorsnede De belasting die direct op de balk werkt bedraagt: q Ed = 61,5 kN/m 1. De krachtswerking in de balk is weer- gegeven in figuur 5 en 6. Controleberekening In het nu volgende worden diverse controleberekeningen uitgevoerd. Uitgangspunten voor de berekening? Doorsnede:??? ???350 x 1200 mm 2 Betonsterkteklasse vloer en balken: ???C55/67 (f cd = 36,67 N/mm 2) Dekking: ???30 mm Langswapening: ???4Ø25 Stekken: ???dubbele rij Ø16-300 Beugels: ???? ???Ø16-300 Buigend moment: ???M Ed = 744 kNm Afschuifkracht: ???V Ed,max = 355 kN ???V Ed,gem = 309 kN ???(alleen t.b.v. controle schuifvlak) Lijnlast (ophangen):??q Ed = 61,5 kN/m 1 Voeg: ???K70, plaatsen in speciebed, ???aansluitvlak ruw, k 1 = 0,7 ???(f cd = 51,0 N/mm 2) Materiaaleigenschappen? Betonbalk: ??? f ck = 55,00 N/mm 2 fcm = 55,00 + 8 = 63,00 N/mm 2 fctm = 2,12 ? ln (1 + 63,00 / 10) = 4,21 N/mm 2 fctk0,005 = 0,7 ? 4,21 = 2,95 N/mm 2 fcd = 55,00 / 1,5 = 36,67 N/mm 2 f ctd = 2,95 / 1,5 = 1,97 N/mm 2 T.p.v. voeg: f ck = 0,7 ? 55,00 = 38,50 N/mm 2 (balk maatgevende boven voeg) f cm = 38,50 + 8 = 46,50 N/mm 2 fctm = 0,3 ? 38,5 2/3 = 3,42 N/mm 2 fctk0,005 = 0,7 ? 3,42 = 2,39 N/mm 2 fcd = 38,50 / 1,5 = 25,67 N/mm 2 fctd = 2,39 / 1,5 = 1,60 N/mm 2 Wapening: ??? f yd = 435 N/mm 2 Buigend moment? Voor het buigend moment wordt de inwendige hefboomsarm bepaald, waarna de maximale buig- capaciteit volgt. a = c nom + Ø BGL + Ø HW = 30 + 16 + 25 = 71 mm (zwaartepunt 2 x 2 staven Ø25) d = h ? a = 1200 ? 71 = 1129 mm A s,prov = 4 ? 491 = 1963 mm 2 xu = A s fyd / (b ? fcd) = 1963 ? 435/(350 ? 0,71 ? 36,67) = 93,8 mm z = d ? ? ? x u = 1129 ? 0,37 ? 93,8 = 1094 mm M Rd = A s fyd z = 1963 ? 435 ? 1094 ? 10 -6 = 934 kNm u.c. = 744 / 934 = 0,80 Afschuiving? Eerst worden de inwendige krachten vastgesteld (fig. 7). De verticaalkracht wordt gebruikt om de verticale wapening V te bepalen. De horizontaalkracht kan worden omgezet naar een horizontale schuifspanning in de voeg, die daarna wordt gebruikt voor het bepalen van wapening H. ? = 45° L z = z / tan (?) = 1094 / tan (45) = 1094mm F C = 355 kN F H = F C / tan (?) = 355 / tan (45) = 355 kN F DIA = F C / sin (?) = 355 / sin (45) = 502 kN A sw,prov = 201 ? 2 ? 1000 / 300 = 1340 mm 2/m 1 ? = 0,6 ? (1 ? f ck / 250) = 0,6 ? (1 ? 38,5 / 250) = 0,508 ???? [6.6] Optredende horizontale schuifspanning: v Edi = v Rdi,req = V Ed,gem / (b L z) = 309 ? 103 / (350 ? 1094) = 0,81 N/mm 2 vRdi,max = 0,5 ? fcd = 0,5 ? 0,508 ? 25,67 = 6,51 N/mm 2 ??? [6.25] u.c. = 0,81 / 6,51 = 0,12 fig. 7  Inwendige (dwars)krachten CEMENT 4 2021 ?61 rekenen in de praktijk (15) Omdat F C een inwendige kracht is, wordt deze niet meegenomen bij het bepalen van ?n. Het aandeel c f ctd wordt daarnaast ook op 0 gesteld. A sw,req,O ?? = q Ed Lz / f yd = 61,5 ? 1094 / 435 = 155 mm 2 = 141 mm 2/m 1 Asw,req,V = V Ed,max / f yd = 355 ? 103 / 435 = 816 mm 2 = 746 mm 2/m 1 A sw,req,V+O = 746 + 141 = 887 mm 2/m 1 u.c. = 887 / 1340 = 0,66 ?req = (v Rdi,req ? c f ctd ? µ ?n) / (f yd µ) = (0,81 ? 0 ? 0,7 ? 0 ) / (435 ? 0,7) = 0,00265 ?? [6.25] A sw,req,H = ?req b L z = 0,00265 ? 350 ? 1094 = 1015 mm 2 = 928 mm 2/m 1 A sw,req,H+O = 928 + 141 = 1069 mm 2/m 1 u.c. = 1069 / 1340 = 0,80 Drukdiagonaal ?1 = ? = 0,508 V Rd,max = b z ?1 fcd / [cot(?) + tan(?)] = 350 ? 1094 ? 0,508 ? 25,67 / [cot(45) + tan(45)] ? 10 -3 = 2494 kN ???? ????[6.9] u.c. = 355 / 2494 = 0,14 Overlappingslengte In het bovenste element moeten de stekken Ø16 voldoende overlappen met de beugels Ø16. Voor het bepalen van de staalspanning wordt de hoogste u.c. van de verticale wapening aangehouden. l b,prov = 450 mm (zie fig. 3) ? 1 = 1,0 a ?2 = 1,0 (Ø < 25 mm) f bd = 2,25 ? 1 ?2 fctd = 2,25 ? 1,0 ? 1,0 ? 1,97 = 4,43 N/mm2 ???? [8.2] ?sd = f yd Asw,req / A sw,prov = 435 ? 1069 / 1340 = 347 N/mm 2 lb,rqd = 1/4 Ø ?sd / f bd = 1/4 ? 16 ? 347 / 4,43 = 313 mm ???? [8.3] c d = 60 mm (? halve afstand tussen stekken) ?1 = 1,0 (trekstaaf, recht) ?2 = 1 ? 0,15 (c d ? Ø) / Ø ? 0,7 ? 1,0 = 1 ? 0,15 (60 - 16) / 16 = 0,59 ? 0,7 (trekstaaf, recht) ?3 = 1,0 (geen opsluiting door dwarswapening) ?5 = 1,0 (geen drukspanning loodrecht op splijt- vlak) ?6 = 1,5 (trekstaaf, 100% overlapping in snede) l 0,min = max (0,3 ?6 lb,rqd ; 15Ø ; 200 mm) = max (0,3 ? 1,5 ? 313 = 141 mm ; 15 ? 16 = 240 mm ; 200 mm) ??? [8.10] l 0 = ?1 ?2 ?3 ?5 ?6 lb,rqd ? l 0,min = 1,0 ? 0,7 ? 1,0 ? 1,0 ? 1,5 ? 313 = 329 mm ? 240 mm b ????[8.11] u.c. = 240 / 329 = 0,73 Conclusie Het samenstellen van constructie-elementen, en deze vervolgens als monoliete doorsnede laten samenwer- ken, blijkt met het gebruik van de basisregels uit NEN-EN 1992-1-1 goed uitvoerbaar. In deze case hoeven de grenzen aan het toelaatbare niet te worden opgezocht, mede door de flinke balkafmeting die beschikbaar is. Zodra de afmetingen kleiner worden, wordt met name het overlappen van de stekwapening met de beugels in het bovenste element steeds lastiger en zal meer stekwapening nodig zijn om de staalspan- ning laag te houden. De overlappingslengte wordt dan maatgevend boven de berekende wapening voor V, H en O. In dit rekenvoorbeeld was dat echter niet aan de orde en mag worden gesteld dat het idee van samen- werking tussen verschillende prefab onderdelen, zeker niet los gelaten hoeft te worden. a?NEN-EN 1992-1-1 is niet duidelijk over de aanhechtingsomstan- digheden van verticale staven. Aangenomen wordt dat nazakken van het beton bij verticale staven niet leidt tot holle ruimtes en verminderde aanhechting, zoals die bij horizontale staven wel onder de staaf kunnen ontstaan. b?Conform 8.7.2(3) geldt: de vrije ruimte tussen overlappende staven behoort niet groter te zijn dan 4Ø of 50 mm; anders behoort de overlappingslengte te zijn vergroot met een lengte gelijk aan de vrije tussenruimte waar deze groter is dan 4Ø of 50 mm.