3 4 2018 56 Rekenen in de praktijk Scheurwijdte- bere kening bij verhinderde vervorming Hoewel beton in principe altijd scheurt, worden ten behoeve van duurzaamheid en waterdichtheid eisen gesteld aan de maximale scheurwijdte. Vooral bij verhinderde vervorming kunnen door - gaande scheuren ontstaan en kan de waterdichtheid kritisch worden. Dit doet zich bijvoorbeeld voor als een wand op een vloer wordt gestort. De scheurwijdte kan op verschillende manieren worden berekend. Aan de hand van een case worden deze manieren nader toegelicht. Rubriek Rekenen in de praktijk Dit is de derde aflevering in de Cement-rubriek 'Rekenen in de praktijk'. Hierin staat telkens één rekenopgave uit de praktijk centraal. De rubriek wordt samengesteld door een werkgroep, bestaande uit: Mustapha Attahiri (Ingenieursbureau Gemeente Rotterdam), Gökhan Dilsiz (Arup), Maartje Dijk (Witteveen+Bos), Jorrit van Ingen (Bartels Ingenieurs voor Bouw & Infra), Jacques Linssen (redactie Cement), Bart Vosslamber (Heijmans) en Bas Wijnbeld (ABT ). De artikelen zijn opgesteld door één van de leden van deze werkgroep. Ze zijn vervolgens gereviewd door de andere leden en door minimaal één senior adviseur binnen het bedrijf van de opsteller. Ondanks deze zorgvuldigheid, is de gepresenteerde rekenmethode de visie van een aantal individuen. Er kan nooit volledig worden gegarandeerd dat wat er is geschreven waar is. en autogene krimp. Deze krimp wordt verhinderd door de vloer, waardoor verticale scheuren ontstaan. Het verschil in opgelegde vervorming tussen de vloer en de wand is in dit geval ? = 0,3?. Er zitten verder geen krachten in de wand.   Uitgangspunten dikte vloer/wand 500 mm hoogte wand 4 m lengte wand 20 m afstand tot tegenover- a = 25 m gelegen wand wapening Ø20-100, in twee richtingen, aan beide zijden verticale wapening in eerste (buitenste) laag, horizontale wapening in tweede laag dekking 50 mm staalkwaliteit B500B betonsterkteklasse C30/37 stijfheid vloer oneindig stijf    Case Er wordt een case beschouwd van een wand die op een vloer wordt gestort (fig. 1). Deze wand wil krimpen ten gevolge van de temperatuurdaling tijdens de verharding, uitdrogingskrimp 57 Uitwerking case De vraag is wat de maximale scheurwijdte is in de wand. Deze vraag kan op verschillende manieren worden beantwoord. NEN-EN 1992-3 bijlage M maakt onderscheid tussen een 'end- restraint'-situatie en een 'edge-restraint'-situatie (fig. 2). Voor een constructie met 'end-restraint' moet formule M.1 of M.2 worden toegepast, voor een constructie met 'edge-restraint' moet formule M.3 worden toegepast. In de praktijk zal een zuivere vorm van 'end-restraint' maar zelden voorkomen. In veel gevallen zal de situatie veel dichter tegen 'edge-' dan 'end-restraint' aan zitten. Ook de wand op de vloer in dit voorbeeld komt het dichtst in de buurt van een 'edge-restraint'-constructie. Afhankelijk van eventuele dwars- wanden zal er ook enige vorm van 'end-restraint' zijn.   Strikt genomen moet de vraag dus worden beantwoord met behulp van formule M.3 uit NEN-EN 1992-3. In dit voorbeeld zal echter een scheurwijdteberekening worden gemaakt met behulp van zowel formule M.1 als M.3, zodat de verschillen duidelijk worden. Daarnaast wordt de scheurwijdte uitgere- kend volgens de methode van Van Breugel [1, 2].   End-restraint ? gebruik van M.1 en M.2 uit NEN-EN 1992-3 De verschilrek treedt op in horizontale richting.  Voor de gemiddelde verschilrek (? sm ? ? cm) wordt uitgegaan van formule M.1 conform NEN-EN 1992-3: () , 1 1+ ? 0, 5 (M.1) e sm cm e c ct eff s kkf E ?? ?? ? = ? met: ? e = E s/Ecm = 200.000/33.000 = 6,06 k c = 1,0 (zuivere trek) k = 0,86 (voor h = 500 mm) f ct,eff  = f ctm = 2,9 N/mm 2 (uitgaande van de eerste scheur bij t ? 28 dagen) A ct  = b ? h ct = 1000 ? 250 mm 2 As   = 3142 mm 2/m 1 (Ø20-100) ?  = A s/Act = 3142/(1000 ? 250) = 0,01257   volgt: (? sm ? ? cm) = 0,5 ? 6,06 ? 1,0 ? 0,86 ? 2,9 ? (1 + 1/(6,06 ? \ 0,01257)) / 200.000 = 0,53? Noot In NEN-EN 1992-3 artikel M.2(a) staat dat ? moet worden berekend met behulp van A ct waarvoor wordt uitgegaan van de definitie in artikel 7.3.2. Dit artikel stelt dat A ct de oppervlakte van het beton is binnen de trekzone en dat de trekzone dat deel van de doorsnede is dat volgens de berekening juist vóór het ontstaan van de eerste scheur onder trek staat. Voor de bereke- ning conform formule 7.11 van NEN-EN 1992-1-1 moet echter gebruik worden gemaakt van h c,eff voor de berekening van ? p,eff. Dit leidt tot een ander wapeningspercentage.   Voor de scheurafstand s r,max geldt conform formule 7.11 de nationale bijlage van NEN-EN 1992-1-1:   s r,max = k 3 c + k 1 k2 k4 Ø / p ,eff  (7.11) ? de grootste waarde van (50 ? 0,8 f ck)Ø en 15Ø   met: k 1 = 0,8 (hoge aanhechting) k 2 = 1,0 (zuivere trek) k 3 = 3,4 k 4 = 0,425 c hor = 50 + 20 = 70 mm (dekking op horizontale wapening) d hor = h ? c hor ? Ø hor/2 = 500 ? 70 ? 20/2 = 420 mm h c,eff = min{2,5 ? (h ? d hor) = 2,5 ? (500 ? 420) = 200 mm; h/2 = 500/2 = 250 mm} = 200 mm in verband met de afwezigheid van momenten hoeft (h ? x)/3 niet te worden gecontroleerd 2 (a) restraint of a member at its ends (b) restraint along one edge 1 p + 0 m p + 1 m p + 4 m a staalspanning 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 \ 500 50 40 30 20 10 0 W k = 0,3 W k = 0,2 W k = 0,1 W k = 0,05 3 1 Wand uit case 2 Verschil tussen 'end-restraint' en 'edge-restraint' volgens NEN-EN 1992-3 3 Vereenvoudigde methode voor scheurwijdteberekening volgens grafiek 7.103N uit NEN-EN 1992-3 maximale wapening diameter Rekenen in de praktijk 4 2018 58 4 2018 ?p,eff = A s / (b ? h c,eff) = 3142/(1000 ? 250) = 0,01571   volgt: s r,max = 3,4 ? 70 + 0,8 ? 1,0 ? 0,425 ? 20 / 0,01571 = 671 mm ? max{(50 ? 0,8f ck)Ø = (50 ? 0,8 ? 30) ? 20 = 520 mm; 15Ø = 15 ? 20 = 300 mm} = 520 mm   w k = s r,max ? (? sm ? ? cm) = 520 ? (0,53 ? 10-3) = 0,28 mm   Als alternatief voor een directe berekening mag gebruik worden gemaakt van de grafiek 7.103N uit NEN-EN 1992-3 (figuur 3). Hiertoe wordt eerst de staalspanning bepaald.   ? s = k c k f ct,eff / ? = 1,0 ? 0,86 ? 2,9 / 0,01257 = 198,4 N /mm 2 (M.2)   De diameter die moet worden ingevuld in de grafiek wordt als volgt berekend:   Ø s* = Ø s,hor ? 2,9 ? 10 ? (h ? d hor) / (f ct,eff ? h) = 20 ? 2,9 ? 10 ? (500 ? 420) / (2,9 ? 500) = 32 mm (7.122)   Op basis van grafiek 7.103N zou hier een scheurwijdte uitko- men van circa 0,27 mm (geschatte waarde). Deze scheurwijdte is iets lager dan de berekende scheurwijdte met M.1. Echter, de methode is ook een stuk onnauwkeuriger, doordat de scheur - wijdte moet worden afgelezen in een grafiek.     Edge-restraint ? antwoord met M.3 De gemiddelde verschilrek ( ? sm ? ? cm) wordt nu bepaald met M.3 van NEN-EN 1992-3:   (? sm ? ? cm) = R ax ?free (M.3)   waarin: R ax is de verhinderingsgraad ? free is de rek die zou optreden als het element geheel onver - hinderd zou zijn   Het rekverschil tussen wand en vloer bedraagt 0,3?. Voor dit rekverschil wordt van volledige verhindering uitgegaan, waar - door R ax = 1,0. Een mogelijke vervorming die de vloer en de wand beide ondergaan, wordt beschouwd als geheel onverhin- derd ( R ax = 0), waardoor deze buiten beschouwing kan blijven. De invloed van relaxatie wordt in dit voorbeeld niet beschouwd.   De scheurafstand s r,max is gelijk aan de scheurafstand berekend bij formule M.1. De scheurwijdte wordt dan:   w k = s r,max ? (? sm ? ? cm) = 520 ? (0,30 ? 10-3) = 0,16 mm   Antwoord met Van Breugel In de publicatie 'Betonconstructies onder temperatuur- en krimpvervormingen (BP2)' van prof.dr.ir. K. van Breugel [1, 2] (hierna Van Breugel), wordt een afwijkende methode gegeven om de scheurwijdte te bepalen. Van Breugel maakt onderscheid tussen dikwandige constructies en niet-dikwandige construc- ties. Om te bepalen of de constructie dikwandig is, is echter de scheurwijdte wmo en de staalspanning ? s,cr benodigd. In feite moet dus een iteratieve berekening worden uitgevoerd. In dit rekenvoorbeeld zal daarom in eerste instantie worden uitgegaan van een constructie die niet dikwandig is, oftewel h eff = 0,5 ? h = 0,5 ? 500 mm = 250 mm. Dit uitgangspunt zal achteraf worden gecontroleerd.   De gemiddelde scheurwijdte wordt berekend met formule 4.19b van [1]: () 0 ,85 ,, , 0, 4 2 (4.19b) mo s cr s cr e cr cm cube sw fE ?? ??    ?? ?? ??    waarin: f cm, cube = gemiddelde kubusdruksterkte Ø = staafdiameter E s = elasticiteitsmodulus staal ? e = E s/Ec = ratio van E-moduli ?cr = trekspanning in het beton op het moment van scheu - ren ?cr = 0,6 ? f ctm = 0,6 ? 2,9 = 1,74 N/mm 2 (langeduurtreksterkte) ? = 3142 / (250 ? 1000) = 0,0126 (constructie niet dikwandig) ? e = 6,06 ? s,cr = ? cr ? (1/? + ? e) = 1,74 ? (1/0,0126 + 6,06)  = 148,6 N/mm 2 fcm,cube  = f ck,cube + 8 = 37 + 8 = 45 N/mm 2   w mo = 2 ? ((0,4 ? Ø hor / (f cm,cube ? E s) ? ? s,cr ? (? s,cr ? ? e ? ? cr))0,85 = 2 ? ((0,4 ? 20 / (45 ? 200.000) ? 148,6 ? (148,6 ?\ 6,06 ? 1,74))0,85 = 0,0665 mm   Controle h eff: l st = 1,2 ? w mo ? E s / ? s,cr = 1,2 ? 0,0665 ? 200.000 / 148,6 = 107 mm h eff = c + 2 ? Ø hor +1,2 ? l st = 70 + 2 ? 20 + 1,2 ? 107 = 239 mm < 250 mm Rekenen in de praktijk 59   De berekende effectieve hoogte is kleiner dan de halve constructiehoogte, wat betekent dat de constructie dikwandig is. Het wapeningspercentage in de berekening moet worden aangepast.   ? = 3142 / (239 ? 1000) = 0,0132   Hiermee kan opnieuw de gemiddelde scheurwijdte w mo worden berekend. Door een aantal keer te itereren, wat eenvoudig te doen is met behulp van een spreadsheet, wordt uiteindelijk een gemiddelde scheurwijdte gevonden van w mo = 0,0598 mm bij een effectieve hoogte h eff van 233 mm.   Om de maximaal optredende scheurwijdte te berekenen, wordt gebruikgemaakt van een spreidingsfactor en een langeduur-/ wisselbelastingsfactor conform paragraaf 4.5 van [1]:   ? s = 1,30 (spreidingsfactor) ? ? = 1,30 (langeduurfactor) w max = ? s ? ? ? ? w mo = 1,3 ? 1,3 ? 0,0598 = 0,10 mm   Noot In het rekenvoorbeeld zijn notaties overgenomen uit de Engels- talige versie van het boek van Van Breugel [2], die zo veel mogelijk aansluiten op die uit de Eurocode. De Nederlandse uitgave [1] wijkt af van de Eurocode-notaties.     Verschillen Een belangrijk verschil tussen de methode M.3 en de methode M.1 is dat de scheurwijdte bij methode M.3 zal toenemen of afnemen met respectievelijk toenemende of afnemende opge - legde vervorming, terwijl de scheurwijdte bij de methode M.1 constant blijft. Ook in de methode van Van Breugel blijft de scheurwijdte constant zolang de opgelegde vervorming binnen een bepaalde bandbreedte blijft.   In tabel 1 zijn de antwoorden van dit rekenvoorbeeld samenge- vat. Daarnaast is weergegeven wat de scheurwijdte doet bij toenemende of afnemende opgelegde vervorming.   De maximale scheurwijdte die wordt berekend, is dus sterk afhankelijk van de gekozen methode. Met behulp van de methode van Van Breugel wordt een scheurwijdte gevonden die een factor 0,37 lager ligt dan de gevonden scheurwijdte met behulp van formule M.1 uit NEN-EN 1992-3. Voor de uitkomst van formule M.3 is de bepaling van de juiste hoeveelheid opge- legde vervorming en de mate van verhindering erg belangrijk. Daarover in een volgend artikel meer.     Tot slot Dit rekenvoorbeeld laat de verschillen zien die optreden bij het berekenen van scheurwijdten ten gevolge van opgelegde vervorming. De verschillen van meer dan 50% roepen de vraag op welke methoden wel en niet geschikt zijn voor het bereke- nen van scheurwijdten. Het antwoord op deze vraag kunnen we hier niet geven, een analyse van de verschillende methoden gaat te ver voor deze rekenrubriek. Een commissie 'Scheurwijd- teberekeningen van betonconstructies' van CROW houdt zich momenteel met dezelfde vraag bezig en kan hier in de toekomst wellicht meer duidelijkheid over geven. Daarnaast wordt gewerkt aan een nieuwe versie van NEN-EN 1992, waarin de berekening van de scheurvorming waarschijnlijk op een aantal punten zal wijzigen. De commissie van CROW probeert hierbij aan te sluiten. De verwachting is dat de commissie in het najaar van 2018 een rapport zal publiceren met aanbevelingen. ?     ? LITERATUUR 1 Breugel, K. van, Betonconstructies onder temperatuur- en krimpvervormingen, Theorie en praktijk, Stichting BetonPrisma, 's-Hertogenbosch 1996. 2 Breugel, K. van, Concrete Structures under Imposed Thermal and Shrinkage Deformations, Theory and Practice, English Edition, Delft, June 2013. Inventarisatie scheurwijdteberekeningen Om een beeld te krijgen van hoe er in de praktijk met het onder - werp scheurvorming wordt omgegaan, heeft een de commissie 'Scheurwijdteberekeningen van betonconstructies' van SBRCUR- net/CROW een oproep gedaan een casus uit te werken. De resul- taten bleken opvallend sterk uiteen te lopen. Meer hierover staat in het Cement-artikel 'Berekenen scheurvorming in de praktijk', verschenen in Cement 2017/7. Tabel 1 Maximale scheurwijdte bij verschillende methoden en opgelegde vervormingen opgelegde vervorming M.1M.2 (grafiek) M.3Van Breugel ? = 0,20 ? 0,280,27 0,100,10 ? = 0,30 ? 0,280,27 0,160,10 ? = 0,40 ? 0,280,27 0,210,10 Rekenen in de praktijk 4 2018