Tandoplegging berekend3201072TandopleggingberekendIn een eerder artikel in Cement is ingegaan op de berekeningswijze van een tandop-legging volgens NEN 6720 (VBC 1995) [1] en de achtergronden daarvan [2]. Uit devergelijking van diverse proefresultaten met de berekeningsresultaten bleek dat deberekeningsmethode volgens NEN 6720 bij adequate detaillering van de wapeningleidt tot een voldoend veilige tandoplegging. In dit artikel wordt het toegezegdeuitgewerkte voorbeeld van een tandoplegging beschreven.Berekening volgens NEN 6720 (VBC 1995)foto: Peter de KoningTandoplegging berekend 32010 738000680q-lastGegevenIn dit voorbeeld wordt een balk beschouwd met tandopleggin-gen (fig. 1).Balk:L = 8 mqd= 62,5 kN/mqrep= 48,0 kN/mBalkgeometrie:h = 680 mmb = 300 mmBeton: C 45/55Betonstaal: FeB 500Milieuklasse: XC1Oplegmateriaal: Vilt, 150 ? 250 mm2Berekening balkgebiedKrachtsverdeling:Mrep= qrepL2= ? 48,0 ? 82= 384 kNmMd= qdL2= ? 62,5 ? 82= 500 kNmVrep= ? qrepL = ? ? 48 ? 8 = 195 kNVd= ? qdL = ? ? 62,5 ? 8 = 250 kNBepaling van benodigde dekking:Milieuklasse XC1: c = 25 mmBepaling van nuttige hoogte:d = h ? c ? ?beugel? ?/2= 680 ? 25 ? 10 ? 25/2 = 632 mmBepaling benodigde hoeveelheid buigwapening:keuze wapening: 4?25 = 1964 mm2xu= 4/3 fsAs/(b f`b) = 4/3 ? 435 ? 1964/(300 ? 33) = 115 mmzu= d ? 7/18 xu= 632 ? 7/18 ? 115 = 587 mmMu= Asfszu= 1964 ? 435 ? 587 ? 10-6= 501 kNmMu MdDe gekozen hoeveelheid wapening is voldoende.Toets van de scheurvorming:b= Mrep/W= 6 ? 384 ? 106/ (300 ? 680?) = 16,6 N/mm2fbm= 3,8 N/mm2In het veld is sprake van een volledig ontwikkeld scheurenpa-troon:s fsMrep/Mu= 435 ? 384/501 = 333 N/mm2?km= 25 mms = b/n = 300/4 = 75 mmEis ten aanzien van scheurvorming:?km k1/s= 5000 ? 1/333 = 15 mmof:s 100(k2/s? 1,3) = 100(1000 ? 1/333 ? 1,3) = 170 mmDe staafafstand s is voldoende klein, aan de eis met betrekkingtot scheurvorming wordt voldaan.Noot: Vooralsnog wordt trek door verhindering verwaarloosd.Bepaling van benodigde hoeveelheid dwarskrachtwapening:d= Vd/(bd) = 250 ? 103/(300 ? 632) = 1,32 N/mm21= 0,4 fb= 0,4 ? 1,90 = 0,76 N/mm2s= d? 1= 1,32 ? 0,76 = 0,56 N/mm2Asv= sb /(0,9 fssin (cotg + cotg ))ir. Simon Wijte1)Adviesbureau ir. J.G. Hageman B.V.ir. Jan Gijsbers1)TNO Bouw en Ondergronddr.ir. Cor van der Veen1)TU Delft, fac. CiTGprof.ir. Cees KleinmanTU Eindhoven, fac. Bouwkunde1 Aanzicht van de beschouwde balk1) Deze auteurs zijn lid van TGB Betonconstructies / VC201Tandoplegging berekend3201074680335300150 150150Fbetondrukzonetrekspanning in ophangwapening2 Detail van de tandoplegging3 Vakwerkmodel4 Krachtsverdeling in ophangwapening bijgebruik van een grote spreidingslengte5 Detaillering van de ophangwapeningZoals in [2] is beschreven is de kracht in de ophangwapeninggebaseerd op het in figuur 3 geschetste vakwerkmodel.Overeenkomstig de inhoud van het artikel mogen deze beugelsworden uitgespreid over een lengte gelijk aan htandcotg . Voor mag een hoek tussen 30? en 60? worden gekozen. Bij eenhoek van 30? resulteert een lengte van 335 cotg 30? = 580 mm.Het verdelen van de ophangwapening over deze grote lengteheeft een aantal nadelen:? De hefboomsarm voor het bepalen van het optredendemoment bij het dimensioneren van de trekband wordtvergroot als een grotere lengte wordt gehanteerd.? Bij toepassing van een grote spreidingslengte is het mogelijkdat er juist voor het bezwijken geen sprake is van een gelijk-matige verdeling van de kracht in de verschillende beugels,zodat, terwijl in de beugels dicht bij de tand de vloeispanningaanwezig is, de spanning in de beugels die verder van de tandaf liggen lager is (fig. 4). De capaciteit van de ophangwape-ning kan dan niet worden ontleend aan de sommatie van devolledige capaciteit van de afzonderlijke beugels.? In de bruikbaarheidsgrenstoestand zal bij toepassing van eengrote spreidingslengte eveneens geen sprake zijn van eengelijkmatige verdeling van de spanningen over de verschil-lende beugels. De spanning in de ophangwapening dicht bijde keel zal dan relatief groot zijn, zodat de scheurwijdte opMet = 45? en = 90? volgt:Asv= 0,56 ? 300/(0,9 ? 435) = 0,429 mm2/mmBeugelsafstand: s = 300mmAbeugel= Asvs = 0,429 ? 300 = 129 mm2beugels ?10, Abeugel= 157 mm2Ontwerp van de tandwapeningHet detail van de tandoplegging is weergegeven in figuur 2.Benodigde hoeveelheid ophangwapeningAls eerste wordt de ophangwapening in de balk ontworpen. Deophangwapening moet voldoen aan het gestelde in 9.11.7.2 vanNEN 6720. De ophangwapening moet in staat zijn de volledigedwarskracht in de balk te kunnen opnemen en deze, zoalsgesteld in 9.11.7.1, over de gehele hoogte te kunnen overbren-gen. Hiervoor is de volgende hoeveelheid wapening benodigd:As,o,ben= Vd/fs= 250 ? 103/435 = 575 mm2Dit kan worden opgenomen door vier beugels ?10: 4 ? 157 =628 mm2.2 34Tandoplegging berekend 32010 75FFdrukdiagonaalgoede verankeringophangwapening,boven in de liggergeen goede verankeringophangwapening,boven in de liggerdrukdiagonaaldrukdiagonaal entrekkracht in deophangwapening kunnengeen evenwicht makentrekkracht inophangwapening(a) (b)FFdrukdiagonaalgoede verankeringophangwapening,boven in de liggergeen goede verankeringophangwapening,boven in de liggerdrukdiagonaaldrukdiagonaal entrekkracht in deophangwapening kunnengeen evenwicht makentrekkracht inophangwapening(a) (b)Benodigde hoeveelheid trekbandwapeningDe trekbandwapening moet in staat zijn trekkrachten op tenemen die worden veroorzaakt door het moment ten gevolgevan de oplegreactie en de wrijving in het oplegmateriaal.Tandopleggingen worden veelal toegepast bij een dilatatie ineen constructie. Het is dan ook te verwachten dat ten gevolgevan opgelegde vervormingen, veroorzaakt door krimp en/oftemperatuursveranderingen, er een verschuiving tussen beideconstructiedelen bij de tand wil optreden. Afhankelijk van hettoegepaste oplegmateriaal zal hierbij een wrijvingskracht optre-den die mede afhankelijk is van de grootte van de oplegkracht.In wijzigingsblad A4 bij NEN 6720 zijn voor een aantal toepas-singen aanbevelingen voor de wrijvingsco?ffici?nt gegeven, zietabel 1. Geadviseerd wordt om voor de aan te houden wrij-vingsco?ffici?nt ook de productinformatie van het beoogdeoplegmateriaal te raadplegen. Daarbij dient ook de verwachteoplegdrukspanning te worden getoetst aan de toegestanewaarde. Een te hoge drukspanning kan namelijk leiden tot eenaanzienlijk hogere wrijvingsco?ffici?nt.In het beschouwde voorbeeld is oplegvilt toegepast. Op basisvan de gegeven wrijvingsco?ffici?nt resulteert dit in een wrij-vingskracht van Hd= 0,3 ? 250 = 75 kN.Hierna wordt de trekkracht in de trekbandwapening tengevolge van het moment in de tand bepaald. Overeenkomstigwijzigingsblad A4 moet bij een tand het moment wordenbepaald ten opzichte van de resulterende kracht in de ophang-wapening. Het zwaartepunt van de ophangwapening tenopzichte van het einde van de hoge balk is 120 mm. De groottevan de variabele a volgt dan uit:a = 150 + 120 = 270 mmVoor het bepalen van de trekkracht moet worden nagegaan ofde tand gedrongen is. Volgens 8.1.4 is de tand gedrongen alsgeldt:2 a/h = 2 ? 270/335 = 1,61 2,0die plaats ook groter zal zijn dan wanneer de spreidingslengtevan de ophangwapening kleiner is.Daarom wordt geadviseerd de ophangwapening zo dicht moge-lijk bij de keel aan te brengen en de spreidingslengte waaroverde ophangwapening wordt verdeeld kleiner te kiezen dan eenafstand gelijk aan htand, oftewel groter dan 45?. In de hierbeschouwde situatie worden de vier beugels respectievelijk op75, 85, 135 en 185 mm vanaf het einde van de hoge balk aange-bracht (fig. 8). Het zwaartepunt van de ophangwapening iszodoende gelegen op 120 mm vanaf het einde van de hoge balk.Detaillering van de ophangwapeningZoals in [2] reeds is beschreven, is de wijze van detailleren vande ophangwapening van groot belang voor het gedrag van detandconstructie. Als er bij het ontwerp van de tand wordtuitgegaan van een vakwerkmodel waarbij een drukdiagonaal inde tand evenwicht moet maken met de trekkracht in deophangwapening, dan moet de ophangwapening zo zijn gede-tailleerd dat dit mogelijk is.Uit figuur 5a blijkt dat bij de toepassing van beugels een goedeknoop kan worden verkregen waarin de drukdiagonaal uit detand en de trekkracht in de ophangwapening, tezamen met eendrukkracht in de lengterichting van de ligger, evenwichtkunnen maken. Bij figuur 5b is dit niet het geval.Ook andere vormen van ophangwapening zijn mogelijk (fig. 6)Bijvoorbeeld ophangwapening die de tand in wordt gebogen,zoals beschreven in [3], of de toepassing van een combinatievan een schuine staaf en beugels. Op deze laatste mogelijkheidwordt later in dit artikel ingegaan.Tabel 1 Wrijvingsco?ffici?nten bij verschillende wijze van opleggingen(bron: wijzigingsblad A4 bij NEN 6720)wijze van opleggen wrijvingsco?ffici?ntmortel op beton 0,8oplegvilt 0,3oplegrubber 0,2glijdfolie 0,15Tandoplegging berekend3201076FF FFAB6 7De gekozen wapening van de tandconstructie is geschetst infiguur 8.Controle dwarskrachtcapaciteit van de tandBij de controle van de dwarskrachtcapaciteit in een gedrongenconstructie mag worden aangenomen dat d gelijk is aan h.Overeenkomstig wordt de volgende grootte van dbepaald:d= Vd/(b h) = 250 ? 103/(300 ? 335) = 2,49 N/mm2De controle van de dwarskrachtcapaciteit van de tand wordtuitgevoerd volgens 8.2.3 van NEN 6720. Eerst worden dedwarskrachtslankheid en de bijbehorende co?ffici?nt kbepaald. De waarde van kkan alleen groter zijn dan 1 als deophangwapening zodanig is gedimensioneerd en gedetailleerddat in de tand een drukdiagonaal kan ontstaan.v= Md/(h Vd) = a/h = 270/335 = 0,81g= 1 + v2= 1 + 0,812= 1,65Voor de bepaling van kis de grootte van het oplegvlak vanbelang. Een tandconstructie met ophangwapening heeft feite-lijk twee oplegvlakken. Ten eerste het oplegvlak ter plaatse vande oplegging waarbij in dit geval de afmetingen van het opleg-vilt gelijk zijn aan 150?250 mm?. Het tweede oplegvlak wordtgevormd door het door de ophangwapening omsloten opper-vlak van de knoop waarin de drukdiagonaal en de trekkracht inde ophangwapening elkaar ontmoeten. De afstand tussen deeerste en laatste beugel van de ophangwapening is gelijk aan185 ? 75 + 10 = 120 mm. Uitgaande van een dekking van 25mm is de breedte van de beugel gelijk aan 300 ? 2 ? 25 = 250mm. Het oplegvlak ter plaatste van de ophangwapening isdaarom aan te nemen op 120?250 mm?.Ao= 120 ? 250 = 30000 mm2k= 12/g[Ao/(bh)]1/3= 12/1,65 [30000/(300 ? 335)]1/3= 4,86kh= 1,6 ? h = 1,6 ? 0,335 = 1,27o= As,t/(bh) 100% = 942/(300 ? 335) ? 100% = 0,94%fb= 1,9 N/mm?Aan de voorwaarde wordt voldaan, de tand moet als gedrongenworden beschouwd. De grootte van de inwendige hefbooms-arm z volgt dan uit:z = 0,4 a + 0,4 h = 0,4 ? 270 + 0,4 ? 335 = 242 mm 1,6a = 1,6 ? 270 = 432 mmz = 242 mmDe benodigde wapening ten gevolge van het moment dat wordtveroorzaakt door de oplegkracht en de horizontale kracht volgtdan uit:Md= a Fd+ (z + c + ?bgl+ ?/2) Hd= 0,27 ? 250 + (0,242 + 0,025 + 0,01 + 0,01)75 = 89,0 kNmFs,t= Md/z= 89,0/0,242 = 368 kNAs,t,ben= Fs,t/fs= 368 ? 103/435 = 845 mm?Gekozen wordt om 3?20 (942 mm2) als trekbandwapening toete passen.Detaillering van de trekbandwapeningUitgaande van het in figuur 7 geschetste vakwerkmodel, datook de basis is voor het ontwerp van de ophangwapening, moetde trekbandwapening ten minste worden doorgezet tot voorbijpunt A. De trekkracht in de trekband is nagenoeg constant totpunt A. Pas vanaf dit punt kan de wapening worden verankerd.In het vakwerk dat in figuur 7 is gegeven, is bij punt A ooksprake van een verticale trekstaaf. De hiervoor benodigde capa-citeit kan worden geleverd door de in de balk toe te passendwarskrachtwapening. Hierbij wordt, zoals bij een betonnenligger gebruikelijk is, door middel van de afschuifsterkte 1eendeel van de capaciteit ontleend aan de betontrekstekte van deligger. Een voorwaarde voor het op deze wijze dimensionerenvan de bewuste trekstaaf is dat met het aanbrengen van dedwarskrachtwapening niet te ver vanaf de ophangwapeningwordt begonnen. De over een lengte d benodigde hoeveelheiddwarskrachtwapening moet aanwezig zijn in een denkbeeldigescheur die onder 45? vanuit de ophangwapening, bij punt B,omhoog loopt.Tandoplegging berekend 32010 77680335300150 150 75851851353 204 25ophangwapening4bgls 10regulieredwarskrachtwapeningbgls 10-300(A)150 300 3002bgls 10geadviseerdespreidingslengtelv25HdFdah;schuinav;schuinzs,oFs,oFs,tZs,t8 96 Andere mogelijke vormen van ophangwa-pening, een in de tand gebogen ophang-wapening (links) en een combinatie vanbeugels en een schuine staaf (rechts)7 Vakwerkmodel8 Gekozen wapening voor de tandconstructie9 Beoordeling momentcapaciteit bij het ont-staan van een schuine scheurde drukdiagonaal in het beton. Uitgaande van een helling van45? van de drukdiagonaal is de trekkracht in de onderwapeninggelijk aan de trekkracht in de ophangwapening. Om dit moge-lijk te maken moet de onderwapening na punt B voldoendeverankerd zijn.In de hier beschouwde situatie is de trekkracht in de onderwa-pening die moet worden verankerd, gelijk aan 250 kN. Deverankeringslengte van de staven ?25 volgt uit:1= 0,40(1 ? 0,1 c/?k) = 0,40(1 ? 0,1 ? 25/25) = 0,36lv= lvo= a1?kfsf`b-0,5= 0,36 ? 25 ? 435 ? 33-0,5= 681 mmBij de toegepaste wapening 4?25 komt dit neer op een span-ning 250 ? 103/1964 = 127 N/mm2zodat de gereduceerde veran-keringslengte gelijk is aan:lvr= sd/fslv= 127/435 ? 681 = 199 mmSchuine scheurNaar aanleiding van hetgeen gesteld is in 8.1.1 moet ook de situ-atie met een verschoven momentenlijn worden beschouwd. Ditkomt overeen met het beschouwen van het inwendige evenwichtna het ontstaan van een schuine scheur. Deze schuine scheur istevens beschreven in de toelichting bij 9.11.7.2 waarin ook wordtgesproken over het verschuiven van de momentenlijn.Hierbij moet het uitwendige moment, hier uitgedrukt tenopzichte van het aangrijpingspunt van de betondrukkrachtboven in de ligger, kleiner zijn dan de momentcapaciteit van degescheurde doorsnede. Deze momentcapaciteit is de som vande momentcapaciteit van de trekbandwapening en de moment-capaciteit van de ophangwapening (fig. 9).1= 0,4 fbkkh?o= 0,4 ? 1,9 ? 4,83 ? 1,27 ? ?0,93= 4,55 N/mm? 0,4 fb= 0,76 N/mm21= 4,55 N/mm2Vanwege de horizontale trekkracht in de tand, veroorzaaktdoor de wrijving in het oplegvlak, moet de grootte van 1nogworden verminderd:1= 1? 0,5 Hd/(bh) = 4,55 ? 0,5 ? 75 ? 103/(300 ? 335)= 4,18 N/mm2De waarde van 1is groter dan die van d. Hieruit kan wordengeconcludeerd dat de dwarskrachtcapaciteit van de tandvoldoende groot is en dat in de tand geen dwarskrachtwape-ning noodzakelijk is. In een situatie dat wel dwarskrachtwape-ning benodigd is, moet deze overeenkomstig artikel 8.2.4,afhankelijk van de gedrongenheid van de tandconstructie, ookin horizontale richting worden aangebracht. Opgemerkt wordtdat bij relatief hoge waarden van dook de waarde van 2moetworden getoetst.In aanvulling op het voorgaande wordt geadviseerd om ? ookals geen berekende dwarskrachtwapening nodig is ? enkelepraktisch verticale beugels en/of een of meer horizontale haar-spelden aan te brengen zodat de knopen van het vakwerk,waarin relatief hoge drukspanningen optreden, goed zijn inge-pakt. Het beton van de tand moet echter nog wel goed kunnenworden aangebracht.Detaillering buigwapening in de balkDe trekkracht in de ophangwapening moet in punt B (fig. 7)evenwicht maken met de trekkracht in de onderwapening enTandoplegging berekend3201078BsHdFu1Fu210 Twee vakwerkmodellen bij toepassingvan een combinatie van verticale ophang-wapening en een schuine staafAls een schuine staaf op basis van de uitgevoerde berekeningvoor het verkrijgen van voldoende sterkte niet noodzakelijk is,kan door de ontwerper toch worden gekozen om deze staaf toete passen. Op die wijze wordt namelijk de grootte van de wijdtevan een eventuele scheur, die ontstaat in de keel, beperkt.ScheurvormingBij toepassing van tandconstructies in milieuklassen andersdan XC1 kan scheurvorming met een relatief grote scheur-wijdte aanleiding geven tot duurzaamheidproblemen in debetonconstructie. NEN 6720 geeft geen directe aanwijzingenhoe de scheurwijdte kan worden berekend bij de trekband ineen gedrongen tandconstructie en ophangwapening.De volgende maatregelen kunnen worden genomen om degrootte van de scheurwijdte te beperken:? het verzorgen van een goed glijdend oplegvlak om zo deeffecten van opgelegde vervormingen te verkleinen;? het verlagen van de staalspanning in zowel de horizontaletrekband als in de ophangwapening;? het toepassen van wapening met kleine diameters;? het geconcentreerd, dicht bij de keel, aanbrengen van deophangwapening.In een volgend nummer zal een voorbeeld worden uitgewerktvan de berekening van een tandconstructie volgens NEN-EN1992-1-1.Md MuFdah;schuin+ Hdav;schuin Fs,tzs,t+ Fs,ozs,oDe capaciteit van de tand bij het beoordelen van de schuinescheur is niet maatgevend ten opzichte van de twee afzonderlijkbeschouwde situaties voor de ophangwapening en de trekband-wapening als voldaan is aan de volgende voorwaarden:? de capaciteit van de ophangwapening is ten minste gelijk aande oplegreactie;? de hefboomsarm bij het bepalen van de benodigde hoeveel-heid trekbandwapening is niet groter dan de hefboomsarmvoor de trekbandwapening bij het beoordelen van de schuinescheur.Schuine staafDe capaciteit van de tandconstructie bij de toepassing van eenschuine staaf in combinatie met verticale ophangwapening (fig.6, rechts), kan worden beschouwd door middel van superposi-tie van de twee in figuur 10 geschetste vakwerkmodellen.De capaciteit van het linker model volgt uit de hiervoorbeschreven rekenmethoden. De capaciteit van het rechtermodel is eenvoudig af te leiden uit de capaciteit van de schuinestaaf. Uitgangspunt hierbij is wel dat de schuine staaf doorloopttot recht boven het aangrijpingspunt van de belasting en dat bijde beoordeling van de capaciteit van de schuine staaf rekeningwordt gehouden met de capaciteit van de verankering van destaaf na het punt B:Fu2= As,sfssin swaarin:As,sis de oppervlakte van de doorsnede van de schuine staaf;sis de hoek tussen de schuine staaf en de liggeras.Aanbevolen wordt om, overeenkomstig [4], Fu,2niet groter dan70 % van de totale capaciteit te laten zijn.10 Literatuur1 NEN 6720, TGB 1990 ? Voorschriften Beton ?Constructieve eisen en rekenmethoden (VBC 1995)inclusief wijzigingsblad A4: 2007; NEN 1995.2 Gijsbers, F.B.J., van der Veen, C., en Wijte, S., Tandopleg-gingen volgens NEN 6720. Cement 2009/1.3 De Bruijn, W.A., Slenders, B.M.A. en Kleinman, C.S.,Gezonde tanden (3) ? Beproevingen in het VanMusschenbroek Laboratorium. Cement 2009/1.4 Schlaich, J. en Schafer, K., Konstruieren im Stahlbeton-bau. BK 89; Teil II.