Temperatuur betonwand Eenvoudige methode voor de berekening van optredende temperaturen in een betonwand 1 Dive-under bij Herfte, een project van Volkerwessels i.o.v. Zwolse Alliantie (ProRail), foto: Jochem van Bokhorst 1 50? CEMENT 3 20 22 Tijdens de bouwfase zorgt de vrijkomende hydratiewarmte in eerste instantie voor opwarming van beton, gevolgd door afkoeling. Ook in de gebruiksfase treden temperatuur- veranderingen op. Al deze temperatuurver- anderingen veroorzaken vervormingen, die bij verhindering spanningen en onder be- paalde omstandigheden ook scheurvorming tot gevolg hebben. Bij verhindering van opgelegde vervorming kunnen worden onderscheiden: a Externe v erhindering van de opgelegde vervorming, bijvoorbeeld van de gestorte wand door een eerder aangebrachte funde- ringsplaat. b Interne v erhindering van opgelegde vervor- mingen, bijvoorbeeld in de doorsnede van de wand. De onder a. genoemde verhindering veroor- zaakt trek in de wand en druk in de funde- ringsplaat. In het aansluitvlak tussen wand en funderingsplaat (de stortnaad) ontstaan hierdoor grote schuifkrachten (fig. 2). Het be- treft hier complexe materie die uitvoerig is onderzocht door Martin Nilsson [1]. De mate van externe verhindering wordt uitgedrukt in de zogenoemde verhin- deringsgraad ?R. In de beschouwing in dit artikel wordt ervan uitgegaan dan de opge- legde vervormingen in de betonwand volle- dig worden verhinderd ( ?R = 1). Bij de opwarming en afkoeling van be- ton is de betontemperatuur in de kern van de wand vrijwel altijd ongelijk aan de tempera - tuur aan het betonoppervlak. De hierdoor veroorzaakte niet-lineaire rekken in de beton - doorsnede worden altijd volledig verhinderd omdat vlakke doorsneden per definitie vlak blijven. Deze niet-lineaire vervormingen ver- oorzaken (constructieve) eigenspanningen, zowel horizontaal als verticaal. Spanningen door hydratatie- warmte In geval van volledige uitwendige verhinde- ring ( ?R = 1) is er een lineaire relatie tussen de temperatuurverandering en de opgewekte spanning. Het proces van opwarmen van het beton na storten, veroorzaakt door de verhinderingsdruk in het beton, gevolgd trek door het afkoelen. Dit proces is sche- matisch weergegeven in figuur 3. Na het verdichten van het beton volgt er een rusttijd of dormante periode (fase I in fig. 3). In fase II start de binding. Aan het ein - de van fase II gaat de binding over in sterkte- ontwikkeling (begin fase III). Bij de start van fase III is het beton nog spanningsloos en heeft het beton de 'eerste nulspanningstem - peratuur' T 01. In fase III begint het beton stijf - heid en sterkte te ontwikkelen. Onder invloed van de hydratatiewarmte ontstaat er aanvan - kelijk een drukspanning in het beton die bij afkoeling overgaat in trek. Bij het bereiken van de treksterkte van het beton ontstaat hierbij scheurvorming. De op deze manier berekende span- ningsverdeling in de wand ( ?k 0) kan ver- DR.IR. GUSTAAF BOUQUETauteur Door afkoeling van een betonwand, in bijvoorbeeld een kelder of een tunnel, kan er onder bepaalde omstandigheden scheurvorming optreden. Om die scheurvorming te voorspellen is het nodig de optredende temperaturen in het beton te kennen. Met de afkoelwet van Newton kunnen deze temperaturen op een betrekkelijk eenvoudige manier worden berekend. In dit artikel wordt deze overigens al lang bestaande methode, nog eens nader toegelicht. CEMENT 3 2022 ?51 Figuur 2. Schematische weergave van \fe optre\fen\fe schuif\brachten in \fe verbin\fing (stortnaa\f) tussen \fe betonwan\f en \fe fun\feringsplaat on\fer invloe\f van \fe af\boeling van \fe betonwan\f Wand Fundament Afkoeling WF WF fund volgens worden uitgesplitst in een normaal- spanning ( ?N,k), een buigspanning ( ?M,k) en een eigenspanning ?e,k) (fig. 4). Voor het be- rekenen van deze verschillende spannings- onderdelen uit de totale spanningsverdeling wordt verwezen naar [4]. De buigspanning ( ?M,k) treedt op als de luchttemperatuur (T e) aan beide zijden van de wand ongelijk is, bijvoorbeeld bij zonbe- straling. Voor de eenvoud wordt in deze be- schouwing uitgegaan van een gelijke afkoeling of opwarming aan beide betonoppervlakken. In dit artikel wordt verder uitsluitend ingegaan op de berekening van de optredende temperaturen in een betonwand. De hieruit volgende betontrekspanningen en eventuele scheurvorming blijven buiten beschouwing. Eendimensionale temperatuur- berekening ? FLM Voor het berekenen van de temperatuur- verdeling in betonconstructies wordt door- gaans gebruikgemaakt van de differentiaal- vergelijking (DV) van Fourier. In geval van een plaatvormig bouwdeel, zoals een beton- wand, kan worden volstaan met het bereke- nen van de verdeling van de temperatuur over de dikte van de wand, in de veronder- stelling dat de warmtestromen voornamelijk in één richting, loodrecht op de zijvlakken van de wand, plaats zullen vinden, dus een- dimensionaal. Afhankelijk van het soort constructie, bijvoorbeeld een plaat op palen, kan het nodig zijn om de temperatuurverde- ling in meerdere richtingen, twee- of driedi- mensionaal, nader te beschouwen. Bij de eendimensionale beschouwing wordt de dikte van de betonwand verdeeld in een eindig aantal lagen (?x). Met de finite layer method (FLM) kan met numerieke me- thoden (bijvoorbeeld de forward differences method) de betontemperatuur in elke laag ?x op opeenvolgende tijdstippen worden berekend [3]. Vereenvoudigde temperatuur- berekening - SLM De betontemperatuur kan ook worden bere- kend met de afkoelingswet van Newton. Bij deze aanpak wordt de betonwand als een enkele laag beschouwd, daarom heet deze aanpak de single layer method (SLM). Het 2 Schematische weergave van de optredende schuifkrachten in de verbinding (stortnaad) tussen de betonwand en de funderingsplaat onder invloed van de afkoeling van de betonwand 3 Temperatuur- en spanningsverloop in jong beton bij verhinderde vervorming [2] 2 3 52? CEMENT 3 20 22 Figuur 3. Temperatuur en spanningsverloop in \fong beton bi\f verhinderde vervorming \b2] \bHallauer, O. (2000)] Figuur 4. Bij de eendimensionale finite layer method (F\fM) word\b de be\bondoorsnede verdeeld in n laagjes me\b dik\be ? x, elk zo nodig me\b een eigen breed\be b k en eigen elas\bici\bei\bsmodulus E k [5] [Bouque\b, G.Chr. (2019)] x k =1 xk N,k M,k e,k k = n bk, E k resultaat van deze berekening is het verloop van de gemiddelde betontemperatuur (T c,m) als functie van de tijd. De afkoelingswet van Newton stelt dat de warmtestroom van een voorwerp (de betonwand) naar de omgeving recht evenredig is met het temperatuurverschil tussen het voorwerp (de betonwand) en de omgeving [6]: () c,m c c,m e fw w se fw 0 ,78 se w 4 a,i+1 a,i a,i 1 a,i i1 i c,m,i+1 c,m,i e,i 1e,i 1 c c 11 25, 6 10 1 1 ex\f 22 4 dT C \bA T T dt d R \b v A \bb TT TT tt TT T T C \bA \bb Z \bb + + ++ = = == + = ?? ?? ?? + ?? ?? ?? ?? ?? ?? ? ? ?? = + ++ ?? ? ? ?? ? ? = = + (1) w aarin: C c = warmtecapaciteit beton [J/m³K]; C c = ? c cc ? c = volumieke massa beton [kg/m³]; ? c = 2400 kg/m³ c c = soortelijke warmte beton [J/kgK]; c c = 1100 J/kgK T c,m = gemiddelde betontemperatuur [K] T e = omgevingstemperatuur (environment) [K] k = warmtedoorgangscoëfficiënt [J/m²hK]; A = opperv lak onderhevig aan afkoeling [m²]. De warmtedoorgangscoëfficiënt is de reci- proke waarde van de warmteweerstand: () c,m c c,m e fw w se fw 0 ,78 se w 4 a,i+1 a,i a,i 1 a,i i1 i c,m,i+1 c,m,i e,i 1e,i 1 c c 11 25, 610 1 1 ex\f 22 4 dT C \bA T T dt d R \b v A \bb TT TT tt TT T T C \bA \bb Z \bb + + ++ = = == + = ?? ?? ?? + ?? ?? ?? ?? ?? ?? ? ? ?? = + ++ ?? ? ? ?? ? ? = = + waarin: k = warmtedoorgangscoëfficiënt [J/m²hK] (ook vaak uitgedrukt als U-waarde) ? se = warmte-overgangscoëfficiënt [J/m²hK] d fw = dikte bekisting [m] ? fw = warmtegeleidingscoëfficiënt bekisting [J/mhK] Voor de warmte-overgangscoëfficiënt geldt, gebruikmakend van [7]: () c,m c c,m e fw w se fw 0 ,78 se w 4 a,i+1 a,i a,i 1 a,i i1 i c,m,i+1 c,m,i e,i 1e,i 1 c c 11 25, 6 10 1 1 ex\f 22 4 dT C \bA T T dt d R \b v A \bb TT TT tt TT T T C \bA \bb Z \bb + + ++ = = == + = ?? ?? ?? + ?? ?? ?? ?? ?? ?? ? ? ?? = + ++ ?? ? ? ?? ? ? = = + [kJ/m²hK] v oor v w> 5 m/s waarin: v w = de gemiddelde windsnelheid [m/s] Om de gemiddelde betontemperatuur vol- gens de SLM zo goed mogelijk de tempera- tuur volgens de FLM te laten benaderen, is het van belang de grootte van het afkoelop- pervlak A goed in te schatten. In het kader van deze beschouwing is een parameterstu- die uitgevoerd, met als resultaat de volgende relatie die geldig is voor wanden met een dikte tot maximaal circa 1 m: () c,m c c,m e fw w se fw 0 ,78 se w 4 a,i+1 a,i a,i 1 a,i i1 i c,m,i+1 c,m,i e,i 1e,i 1 c c 11 25, 6 10 1 1 ex\f 22 4 dT C \bA T T dt d R \b v A \bb TT TT tt TT T T C \bA \bb Z \bb + + ++ = = == + = ?? ?? ?? + ?? ?? ?? ?? ?? ?? ? ? ?? = + ++ ?? ? ? ?? ? ? = = + (2) w aarin: A = opperv lak onderhevig aan afkoeling [m²] k = warmtedoorgangscoëfficiënt [J/m²hK] b = dikte betonwand [m] M et de oplossing van vergelijking 1 kan de gemiddelde betontemperatuur (T c,m), onder invloed van de temperatuur van de adiabati - sche temperatuurontwikkeling (T a) en de omgevingstemperatuur (T e), incrementeel worden berekend met [7]: () c,m c c,m e fw w se fw 0 ,78 se w 4 a,i+1 a,i a,i 1 a,i i1 i c,m,i+1 c,m,ie,i 1 e,i 1 c c 11 25, 6 10 1 1 ex\f 22 4 dT C \bA T T dt d R \b v A \bb TT TT tt TT T T C \bA \bb Z \bb + + ++ = = == + = ?? ?? ?? + ?? ?? ?? ?? ?? ?? ? ? ?? = + ++ ?? ?? ?? ?? = = + (3) () c,m c c,m e fw w se fw 0 ,78 se w 4 a,i+1 a,i a,i 1 a,i i1 i c,m,i+1 c,m,ie,i 1 e,i 1 c c 11 25, 6 10 1 1 ex\f 22 4 dT C \bA T T dt d R \b v A \bb TT TT tt TT T T C \bA \bb Z \bb + + ++ = = == + = ?? ?? ?? + ?? ?? ?? ?? ?? ?? ? ? ?? = + ++ ¨¸ ¨¸ ©¹ ©¹ = = + met de karakteristieke afkoeltijd ? [h]: () c,m c c,m e fw w se fw 0 ,78 se w 4 a,i+1 a,i a,i 1 a,i i1 i c,m,i+1 c,m,i e,i 1e,i 1 c c 11 25, 6 10 1 1 ex\f 22 4 dT C \bA T T dt d R \b v A \bb TT TT tt TT T T C \bA \bb Z \bb + + ++ = = == + = ?? ?? ?? + ?? ?? ?? ?? ?? ?? ? ? ?? = + ++ ?? ? ? ?? ? ? = = + (4) M et het zogenoemde BIOT-getal, dat een verhouding geeft tussen de temperatuur in de kern van de wand en aan het oppervlak, kan worden afgeleid dat voor de beton - temper atuur aan het betonoppervlak (T c,s) geldt [7]: Bij een eendimensionale temperatuurbe- rekening wordt de dikte van de betonwand verdeeld in een eindig aantal lagen, daarom wordt het ook wel de finite layer method (FLM) genoemd 4 Bij de eendimensionale finite layer method (FLM) wordt de betondoorsnede verdeeld in n laagjes met dikte ?x, elk zo nodig met een eigen breedte b k en eigen elasticiteitsmodulus E k [5] 4 CEMENT 3 2022 ?53 5 6 5 Temperatuurontwikkeling in beton door hydratatiewarmte onder adiabatische randvoorwaarden 6 Variatie van de luchttemperatuur (mei 2020) met een gemiddelde etmaaltemperatuur T e,m = 12,5°C en een maximaal temperatuurverschil. ?T e = 13 °C. Maximum temperatuur om 15.00 uur en een minimum om 3.00 uur (bron: www.weerstatistieken.nl) Tabel 1?Uitgangspunten voor de temperatuurberekeningen Algemene parameters Symbool Waarde Temperatuur betonspecie bij storten T c,0 291 K (18°C) Warmtegeleidingscoëfficiënt beton ? c 6,8 kJ/mhK Tijdstip aanvang sterkteontwikkeling t 0 10 h Warmte-overgangscoëfficiënt (v w = 5,1 m/s) ? se 90 kJ/m²hK Dikte contactbekisting betonplex d fw 18 mm Warmtegeleidingscoëfficiënt betonplex ? fw 370 J/mhK Warmtedoorgangscoëfficiënt met bekisting k16,73 kJ/m²hK Warmtedoorgangscoëfficiënt zonder bekisting k100 kJ/m²hK Opmerking: k-waarde wordt ook aangeduid als U -waarde { } c,me c,s 1, 5 1 1, 5 0 , 5T Z TZ T Z + = (5) met de hulppar ameter Z (waarin het BIOT- getal is verwerkt): () c,m c c,m e fw w se fw 0 ,78 se w 4 a,i+1 a,i a,i 1 a,i i1 i c,m,i+1 c,m,i e,i 1e,i 1 c c 11 25, 6 10 1 1 ex\f 22 4 dT C \bA T T dt d R \b v A \bb TT TT tt TT T T C \bA \bb Z \bb + + ++ = = == + = ?? ?? ?? + ?? ?? ?? ?? ?? ?? ? ? ?? = + ++ ?? ? ? ?? ? ? = = + (6) w aarin: ? c = warmtegeleidingscoëfficiënt beton [ J/mhK] k = warmtedoorgangscoëfficiënt [J/m²hK] b = dik te betonwand [m] Zo g eldt ook voor de temperatuur in de kern van de wand (T c,k): T c,k = T c,s +1,5 (T c,m - T c,s) (7) Berekening betontemperaturen met FLM en SLM Om de betontemperaturen volgens de me- thoden FLM en SLM te kunnen vergelijken, wordt een voorbeeld beschouwd. Hierin is het verloop van de betontemperatuur aan het betonoppervlak (T c,s) en de betontempe- ratuur in de kern van de wand (T c,k) berekend, met als uitgangspunten: dikte wand: b = 0,80 m storten betonspecie voltooid om 10 uur in de morgen ontkisten betonwand na drie dagen De belangrijkste parameters in de be- rekeningen zijn samengevat in tabel 1. In de berekeningen is uitgegaan van de temperatuurontwikkeling in het beton onder adiabatische omstandigheden zoals weerge- geven in figuur 5. 54? CEMENT 3 20 22 7 Voor de dagelijkse amplitude van de lucht- temperatuur (T e,max ? T e,min ) is uitgegaan van de maximale waarde, gemeten in de periode 2019-2021 (fig. 6). De evolutie van de betontemperatuur aan het betonoppervlak T c,s en in de kern van de wand Tc,k is berekend gedurende de eerste zeven dagen van verharding. In figuur 7 zijn deze temperaturen weergegeven in zwart (FLM) en rood (SLM). De betontemperaturen aan het beton- oppervlak volgens FLM (zwarte lijn) en SLM (rode lijn) zijn vrijwel identiek. Dit is belang - rijk omdat daardoor ook de berekende span - ningen volgens de beide methoden vrijwel identiek zullen zijn. Het verloop van de beton- temperatuur in de kern van de wand volgens beide methoden is weergegeven met de stip- pellijnen. Wat hierbij opvalt is dat in de eerste dagen na het ontkisten de kerntemperatuur SLM sterker wordt beïnvloedt door de fluctu - erende luchttemperatuur in vergelijking tot de betontemperatuur FLM. Conclusie In dit artikel is de toepasbaarheid beschreven van de betrekkelijk eenvoudige analytische methode (SLM) voor het berekenen van de optredende betontemperaturen in een be- tonwand. Met de vergelijkingen 2, 3 en 4, kan eenvou - dig de gemiddelde betontemperatuur T c,m op opeenvolgende tijdstippen worden berekend. Met deze gemiddelde betontemperatuur kunnen vervolgens de temperaturen aan het betonoppervlak T c,s (vgl. 5) en in de kern van de wand T c,k (vgl. 7) worden berekend. Met de ontwikkelde vergelijking voor het oppervlak onderhevig aan afkoeling A (vgl. 2) is het mogelijk om met de methode SLM een goede inschatting te maken van de evolutie van T c,s en T c,k onder invloed van hydratatie- warmte en veranderlijke luchttemperaturen. De SLM kan bijvoorbeeld worden ge- bruikt voor het bepalen van een gunstig tijd - stip van ontkisten, het berekenen van de invloed van de isolatiewaarde van de kist (be- tonplex of staal) op de temperatuurvariaties en het berekenen wanneer scheurvorming zal gaan optreden. De temperatuur- verdeling kan ook worden berekend met de afkoelingswet van Newton, ook wel de single layer method (SLM) genoemd 7 Temperatuur betonoppervlak T c,s volgens FLM (zwarte lijn) en SLM (rode lijn) en de betontemperaturen in de kern van de wand T c,k volgens FLM (zwarte stippellijn) en SLM (rode stippellijn). Na drie dagen is ontkist LITERATUUR 1?Nilsson, M. (2003), Restraint Factors and Partial Coefficients for Crack Risk Analyses of Early Age Concrete Structures, Proefschrift Lulea University of Technology, p. 170. 2?Hallauer, O. (2000), Hochofenzement im wasserbau, Beton-Informationen, 4-2000, Verlag Dusseldorf. 3?Rostásy, F.S.; Henning, W. (1990), Zwang und Rissbildung in Wanden auf Fundamenten, DAfStb ? Heft 407, Beuth Verlag GmbH, Berlin, p. 145. 4?Emborg, M. (1998), Models and Methods for Computation of Thermal Stresses, Chapter 7, pp. 178-230 in RILEM Report 15 "Prevention of Thermal Cracking in Concrete at Early Ages", edited by R. Springenschmid, E&FN Spon, London, p. 348. 5?Bouquet, G.Chr. (2019), Effect of relaxation on eigenstresses and microcracking in concrete under imposed deformation. Proefschrift TU Delft, 2019, p. 135. 6?Smith, J.M.M.; Stammers, E. (1975), Fysische Transportverschijnselen I, Delftse Universitaire Uitgevers Maatschappij, Delft, p. 77-130. 7?Röhling, S. (2005), Zwangsspannungen infolge Hydratationswarme, Verlag Bau+Technik GmbH, Düsseldorf, p. 308. CEMENT 3 2022 ?55