Tandoplegging berekend 3 2 0 10 72 Tandoplegging berekend In een eerder artikel in Cement is ingegaan op de berekeningswijze van een tandop - legging volgens NEN 6720 (VBC 1995) [1] en de achtergronden daarvan [2]. Uit de vergelijking van diverse proefresultaten met de berekeningsresultaten bleek dat de berekeningsmethode volgens NEN 6720 bij adequate detaillering van de wapening leidt tot een voldoend veilige tandoplegging. In dit artikel wordt het toegezegde uitgewerkte voorbeeld van een tandoplegging beschreven. Berekening volgens NEN 6720 (VBC 1995) foto: Peter de Koning Tandoplegging berekend3 2 0 10 73 8000 680 q-last Gegeven In dit voorbeeld wordt een balk beschouwd met tandopleggin- gen (fig. 1). Balk: L = 8 m q d = 62,5 kN/m q rep = 48,0 kN/m Balkgeometrie: h = 680 mm b = 300 mm Beton: C 45/55 Betonstaal: FeB 500 Milieuklasse: XC1 Oplegmateriaal: Vilt, 150 × 250 mm 2 Berekening balkgebied Krachtsverdeling: M rep = ? q rep L2 = ? · 48,0 · 8 2 = 384 kNm M d = ? q d L2 = ? · 62,5 · 8 2 = 500 kNm V rep = ½ q rep L = ½ · 48 · 8 = 195 kN V d = ½ q d L = ½ · 62,5 · 8 = 250 kN Bepaling van benodigde dekking: Milieuklasse XC1: c = 25 mm Bepaling van nuttige hoogte: d = h ? c ? Ø beugel ? Ø/2 = 680 ? 25 ? 10 ? 25/2 = 632 mm Bepaling benodigde hoeveelheid buigwapening: keuze wapening: 4Ø25 = 1964 mm 2 xu = 4/3 f s As /(b f`b) = 4/3 · 435 · 1964/(300 · 33) = 115 mm z u = d ? 7/18 x u = 632 ? 7/18 · 115 = 587 mm M u = A s fs zu = 1964 · 435 · 587 · 10 -6 = 501 kNm M u ? M d De gekozen hoeveelheid wapening is voldoende. Toets van de scheurvorming: ? b = M rep/W = 6 · 384 · 10 6 / (300 · 680²) = 16,6 N/mm 2 fbm = 3,8 N/mm 2 In het veld is sprake van een volledig ontwikkeld scheurenpa- troon: ? s ? f s Mrep/M u = 435 · 384/501 = 333 N/mm 2 Økm = 25 mm s = b/n = 300/4 = 75 mm Eis ten aanzien van scheurvorming: Ø km ? k 1 ?/? s = 5000 · 1/333 = 15 mm of: s ? 100(k 2 ?/? s ? 1,3) = 100(1000 · 1/333 ? 1,3) = 170 mm De staafafstand s is voldoende klein, aan de eis met betrekking tot scheurvorming wordt voldaan. Noot: Vooralsnog wordt trek door verhindering verwaarloosd. Bepaling van benodigde hoeveelheid dwarskrachtwapening: ? d = V d/(bd ) = 250 · 103/(300 · 632) = 1,32 N/mm 2 ?1 = 0,4 f b = 0,4 · 1,90 = 0,76 N/mm 2 ?s = ? d ? ? 1 = 1,32 ? 0,76 = 0,56 N/mm 2 Asv = ? s b /(0,9 f s sin ?(cotg ? + cotg ?)) ir. Simon Wijte 1) Adviesbureau ir. J.G. Hageman B.V. ir. Jan Gijsbers 1) TNO Bouw en Ondergrond dr.ir. Cor van der Veen 1) TU Delft, fac. CiTG prof.ir. Cees Kleinman TU Eindhoven, fac. Bouwkunde 1 Aanzicht van de beschouwde balk 1) Deze auteurs zijn lid van TGB Betonconstructies / VC20 1 Tandoplegging berekend 3 2 0 10 74 680 335 300 150 150 150 F betondrukzone trekspanning in ophangwapening 2 Detail van de tandoplegging 3 Vakwerkmodel 4 Krachtsverdeling in ophangwapening bij gebruik van een grote spreidingslengte 5 Detaillering van de ophangwapening Zoals in [2] is beschreven is de kracht in de ophangwapening gebaseerd op het in figuur 3 geschetste vakwerkmodel. Overeenkomstig de inhoud van het artikel mogen deze beugels worden uitgespreid over een lengte gelijk aan h tand cotg ?. Voor ? mag een hoek tussen 30º en 60º worden gekozen. Bij een hoek van 30º resulteert een lengte van 335 cotg 30º = 580 mm. Het verdelen van de ophangwapening over deze grote lengte heeft een aantal nadelen: ? De hefboomsarm voor het bepalen van het optredende moment bij het dimensioneren van de trekband wordt vergroot als een grotere lengte wordt gehanteerd. ? Bij toepassing van een grote spreidingslengte is het mogelijk dat er juist voor het bezwijken geen sprake is van een gelijk- matige verdeling van de kracht in de verschillende beugels, zodat, terwijl in de beugels dicht bij de tand de vloeispanning aanwezig is, de spanning in de beugels die verder van de tand af liggen lager is (fig. 4). De capaciteit van de ophangwape- ning kan dan niet worden ontleend aan de sommatie van de volledige capaciteit van de afzonderlijke beugels. ? In de bruikbaarheidsgrenstoestand zal bij toepassing van een grote spreidingslengte eveneens geen sprake zijn van een gelijkmatige verdeling van de spanningen over de verschil- lende beugels. De spanning in de ophangwapening dicht bij de keel zal dan relatief groot zijn, zodat de scheurwijdte op Met ? = 45º en ? = 90º volgt: A sv = 0,56 · 300/(0,9 · 435) = 0,429 mm 2/mm Beugelsafstand: s = 300mm A beugel = A sv s = 0,429 · 300 = 129 mm 2 beugels Ø10, A beugel = 157 mm 2 Ontwerp van de tandwapening Het detail van de tandoplegging is weergegeven in figuur 2. Benodigde hoeveelheid ophangwapening Als eerste wordt de ophangwapening in de balk ontworpen. De ophangwapening moet voldoen aan het gestelde in 9.11.7.2 van NEN 6720. De ophangwapening moet in staat zijn de volledige dwarskracht in de balk te kunnen opnemen en deze, zoals gesteld in 9.11.7.1, over de gehele hoogte te kunnen overbren- gen. Hiervoor is de volgende hoeveelheid wapening benodigd: A s,o,ben = V d/fs = 250 · 10 3/435 = 575 mm 2 Dit kan worden opgenomen door vier beugels Ø10: 4 × 157 = 628 mm 2. 2 3 4 Tandoplegging berekend3 2 0 10 75 F F drukdiagonaalgoede verankering ophangwapening, boven in de ligger geen goede verankering ophangwapening, boven in de ligger drukdiagonaal drukdiagonaal en trekkracht in de ophangwapening kunnen geen evenwicht maken trekkracht in ophangwapening (a) (b) F F drukdiagonaalgoede verankering ophangwapening, boven in de ligger geen goede verankering ophangwapening, boven in de ligger drukdiagonaal drukdiagonaal en trekkracht in de ophangwapening kunnen geen evenwicht maken trekkracht in ophangwapening (a) (b) Benodigde hoeveelheid trekbandwapening De trekbandwapening moet in staat zijn trekkrachten op te nemen die worden veroorzaakt door het moment ten gevolge van de oplegreactie en de wrijving in het oplegmateriaal. Tandopleggingen worden veelal toegepast bij een dilatatie in een constructie. Het is dan ook te verwachten dat ten gevolge van opgelegde vervormingen, veroorzaakt door krimp en/of temperatuursveranderingen, er een verschuiving tussen beide constructiedelen bij de tand wil optreden. Afhankelijk van het toegepaste oplegmateriaal zal hierbij een wrijvingskracht optre- den die mede afhankelijk is van de grootte van de oplegkracht. In wijzigingsblad A4 bij NEN 6720 zijn voor een aantal toepas- singen aanbevelingen voor de wrijvingscoëfficiënt gegeven, zie tabel 1. Geadviseerd wordt om voor de aan te houden wrij- vingscoëfficiënt ook de productinformatie van het beoogde oplegmateriaal te raadplegen. Daarbij dient ook de verwachte oplegdrukspanning te worden getoetst aan de toegestane waarde. Een te hoge drukspanning kan namelijk leiden tot een aanzienlijk hogere wrijvingscoëfficiënt. In het beschouwde voorbeeld is oplegvilt toegepast. Op basis van de gegeven wrijvingscoëfficiënt resulteert dit in een wrij- vingskracht van H d = 0,3 · 250 = 75 kN. Hierna wordt de trekkracht in de trekbandwapening ten gevolge van het moment in de tand bepaald. Overeenkomstig wijzigingsblad A4 moet bij een tand het moment worden bepaald ten opzichte van de resulterende kracht in de ophang- wapening. Het zwaartepunt van de ophangwapening ten opzichte van het einde van de hoge balk is 120 mm. De grootte van de variabele a volgt dan uit: a = 150 + 120 = 270 mm Voor het bepalen van de trekkracht moet worden nagegaan of de tand gedrongen is. Volgens 8.1.4 is de tand gedrongen als geldt: 2 a/h = 2 · 270/335 = 1,61 ? 2,0 die plaats ook groter zal zijn dan wanneer de spreidingslengte van de ophangwapening kleiner is. Daarom wordt geadviseerd de ophangwapening zo dicht moge- lijk bij de keel aan te brengen en de spreidingslengte waarover de ophangwapening wordt verdeeld kleiner te kiezen dan een afstand gelijk aan h tand, oftewel ? groter dan 45º. In de hier beschouwde situatie worden de vier beugels respectievelijk op 75, 85, 135 en 185 mm vanaf het einde van de hoge balk aange- bracht (fig. 8). Het zwaartepunt van de ophangwapening is zodoende gelegen op 120 mm vanaf het einde van de hoge balk. Detaillering van de ophangwapening Zoals in [2] reeds is beschreven, is de wijze van detailleren van de ophangwapening van groot belang voor het gedrag van de tandconstructie. Als er bij het ontwerp van de tand wordt uitgegaan van een vakwerkmodel waarbij een drukdiagonaal in de tand evenwicht moet maken met de trekkracht in de ophangwapening, dan moet de ophangwapening zo zijn gede- tailleerd dat dit mogelijk is. Uit figuur 5a blijkt dat bij de toepassing van beugels een goede knoop kan worden verkregen waarin de drukdiagonaal uit de tand en de trekkracht in de ophangwapening, tezamen met een drukkracht in de lengterichting van de ligger, evenwicht kunnen maken. Bij figuur 5b is dit niet het geval. Ook andere vormen van ophangwapening zijn mogelijk (fig. 6) Bijvoorbeeld ophangwapening die de tand in wordt gebogen, zoals beschreven in [3], of de toepassing van een combinatie van een schuine staaf en beugels. Op deze laatste mogelijkheid wordt later in dit artikel ingegaan. Tabel 1 Wrijvingscoëfficiënten bij verschillende wijze van opleggingen (bron: wijzigingsblad A4 bij NEN 6720) wijze van opleggen wrijvingscoëfficiënt mortel op beton 0,8 oplegvilt 0,3 oplegrubber 0,2 glijdfolie 0,1 5 Tandoplegging berekend 3 2 0 10 76 F F F F A B 6 7 De gekozen wapening van de tandconstructie is geschetst in figuur 8. Controle dwarskrachtcapaciteit van de tand Bij de controle van de dwarskrachtcapaciteit in een gedrongen constructie mag worden aangenomen dat d gelijk is aan h. Overeenkomstig wordt de volgende grootte van ? d bepaald: ? d = V d/(b h) = 250 · 10 3/(300 · 335) = 2,49 N/mm 2 De controle van de dwarskrachtcapaciteit van de tand wordt uitgevoerd volgens 8.2.3 van NEN 6720. Eerst worden de dwarskrachtslankheid en de bijbehorende coëfficiënt k ? bepaald. De waarde van k ? kan alleen groter zijn dan 1 als de ophangwapening zodanig is gedimensioneerd en gedetailleerd dat in de tand een drukdiagonaal kan ontstaan. ? v = M d /(h V d) = a/h = 270/335 = 0,81 g ? = 1 + ? v 2 = 1 + 0,81 2 = 1,65 Voor de bepaling van k ? is de grootte van het oplegvlak van belang. Een tandconstructie met ophangwapening heeft feite- lijk twee oplegvlakken. Ten eerste het oplegvlak ter plaatse van de oplegging waarbij in dit geval de afmetingen van het opleg- vilt gelijk zijn aan 150×250 mm². Het tweede oplegvlak wordt gevormd door het door de ophangwapening omsloten opper - vlak van de knoop waarin de drukdiagonaal en de trekkracht in de ophangwapening elkaar ontmoeten. De afstand tussen de eerste en laatste beugel van de ophangwapening is gelijk aan 185 ? 75 + 10 = 120 mm. Uitgaande van een dekking van 25 mm is de breedte van de beugel gelijk aan 300 ? 2 · 25 = 250 mm. Het oplegvlak ter plaatste van de ophangwapening is daarom aan te nemen op 120×250 mm². A o = 120 · 250 = 30000 mm 2 k? = 12/g ? [A o/(bh )] 1/3 = 12/1,65 [30000/(300 · 335)] 1/3 = 4,86 k h = 1,6 ? h = 1,6 ? 0,335 = 1,27 ? o = A s,t/(bh ) 100% = 942/(300 · 335) · 100% = 0,94% f b = 1,9 N/mm² Aan de voorwaarde wordt voldaan, de tand moet als gedrongen worden beschouwd. De grootte van de inwendige hefbooms- arm z volgt dan uit: z = 0,4 a + 0,4 h = 0,4 · 270 + 0,4 · 335 = 242 mm ? 1,6a = 1,6 · 270 = 432 mm z = 242 mm De benodigde wapening ten gevolge van het moment dat wordt veroorzaakt door de oplegkracht en de horizontale kracht volgt dan uit: M d = a F d + (z + c + Ø bgl + Ø/2) H d = 0,27 · 250 + (0,242 + 0,025 + 0,01 + 0,01)75 = 89,0 kNm F s,t = M d / z = 89,0/0,242 = 368 kN A s,t,ben = F s,t/fs = 368 · 10 3/435 = 845 mm² Gekozen wordt om 3Ø20 (942 mm 2) als trekbandwapening toe te passen. Detaillering van de trekbandwapening Uitgaande van het in figuur 7 geschetste vakwerkmodel, dat ook de basis is voor het ontwerp van de ophangwapening, moet de trekbandwapening ten minste worden doorgezet tot voorbij punt A. De trekkracht in de trekband is nagenoeg constant tot punt A. Pas vanaf dit punt kan de wapening worden verankerd. In het vakwerk dat in figuur 7 is gegeven, is bij punt A ook sprake van een verticale trekstaaf. De hiervoor benodigde capa- citeit kan worden geleverd door de in de balk toe te passen dwarskrachtwapening. Hierbij wordt, zoals bij een betonnen ligger gebruikelijk is, door middel van de afschuifsterkte ? 1 een deel van de capaciteit ontleend aan de betontrekstekte van de ligger. Een voorwaarde voor het op deze wijze dimensioneren van de bewuste trekstaaf is dat met het aanbrengen van de dwarskrachtwapening niet te ver vanaf de ophangwapening wordt begonnen. De over een lengte d benodigde hoeveelheid dwarskrachtwapening moet aanwezig zijn in een denkbeeldige scheur die onder 45º vanuit de ophangwapening, bij punt B, omhoog loopt. Tandoplegging berekend3 2 0 10 77 680 335 300 150 150 75 85 185 135 320 425 ophangw apening 4bgls10 reguliere dw arskr achtw apening bgls10-300 (A) 150 300 300 2bgls10 geadviseerde spreidingslengte lv25 H d Fd ah;schuin av;schuin zs,o Fs,o Fs,t Zs,t 8 9 6 Andere mogelijke vormen van ophangwa- pening, een in de tand gebogen ophang- wapening (links) en een combinatie van beugels en een schuine staaf (rechts) 7 Vakwerkmodel 8 Gekozen wapening voor de tandconstructie 9 Beoordeling momentcapaciteit bij het ont - staan van een schuine scheur de drukdiagonaal in het beton. Uitgaande van een helling van 45º van de drukdiagonaal is de trekkracht in de onderwapening gelijk aan de trekkracht in de ophangwapening. Om dit moge- lijk te maken moet de onderwapening na punt B voldoende verankerd zijn. In de hier beschouwde situatie is de trekkracht in de onderwa- pening die moet worden verankerd, gelijk aan 250 kN. De verankeringslengte van de staven Ø25 volgt uit: ? 1 = 0,40(1 ? 0,1 c/Ø k) = 0,40(1 ? 0,1 · 25/25) = 0,36 l v = l vo = a 1 Øk fs f`b -0,5 = 0,36 · 25 · 435 · 33 -0,5 = 681 mm Bij de toegepaste wapening 4Ø25 komt dit neer op een span- ning 250 · 10 3/1964 = 127 N/mm 2 zodat de gereduceerde veran- keringslengte gelijk is aan: l vr = ? sd/fs lv = 127/435 · 681 = 199 mm Schuine scheur Naar aanleiding van hetgeen gesteld is in 8.1.1 moet ook de situ- atie met een verschoven momentenlijn worden beschouwd. Dit komt overeen met het beschouwen van het inwendige evenwicht na het ontstaan van een schuine scheur. Deze schuine scheur is tevens beschreven in de toelichting bij 9.11.7.2 waarin ook wordt gesproken over het verschuiven van de momentenlijn. Hierbij moet het uitwendige moment, hier uitgedrukt ten opzichte van het aangrijpingspunt van de betondrukkracht boven in de ligger, kleiner zijn dan de momentcapaciteit van de gescheurde doorsnede. Deze momentcapaciteit is de som van de momentcapaciteit van de trekbandwapening en de moment- capaciteit van de ophangwapening (fig. 9). ? 1 = 0,4 f b k? kh ³?? o = 0,4 · 1,9 · 4,83 · 1,27 · ³?0,93 = 4,55 N/mm² ? 0,4 f b = 0,76 N/mm 2 ?1 = 4,55 N/mm 2 Vanwege de horizontale trekkracht in de tand, veroorzaakt door de wrijving in het oplegvlak, moet de grootte van ? 1 nog worden verminderd: ? 1 = ? 1 ? 0,5 H d/(bh ) = 4,55 ? 0,5 · 75 · 10 3/(300 · 335) = 4,18 N/mm 2 De waarde van ? 1 is groter dan die van ? d. Hieruit kan worden geconcludeerd dat de dwarskrachtcapaciteit van de tand voldoende groot is en dat in de tand geen dwarskrachtwape- ning noodzakelijk is. In een situatie dat wel dwarskrachtwape- ning benodigd is, moet deze overeenkomstig artikel 8.2.4, afhankelijk van de gedrongenheid van de tandconstructie, ook in horizontale richting worden aangebracht. Opgemerkt wordt dat bij relatief hoge waarden van ? d ook de waarde van ? 2 moet worden getoetst. In aanvulling op het voorgaande wordt geadviseerd om ? ook als geen berekende dwarskrachtwapening nodig is ? enkele praktisch verticale beugels en/of een of meer horizontale haar - spelden aan te brengen zodat de knopen van het vakwerk, waarin relatief hoge drukspanningen optreden, goed zijn inge- pakt. Het beton van de tand moet echter nog wel goed kunnen worden aangebracht. Detaillering buigwapening in de balk De trekkracht in de ophangwapening moet in punt B (fig. 7) evenwicht maken met de trekkracht in de onderwapening en Tandoplegging berekend 3 2 0 10 78 B s Hd Fu1 Fu2 10 Twee vakwerkmodellen bij toepassing van een combinatie van verticale ophang- wapening en een schuine staaf Als een schuine staaf op basis van de uitgevoerde berekening voor het verkrijgen van voldoende sterkte niet noodzakelijk is, kan door de ontwerper toch worden gekozen om deze staaf toe te passen. Op die wijze wordt namelijk de grootte van de wijdte van een eventuele scheur, die ontstaat in de keel, beperkt. Scheurvorming Bij toepassing van tandconstructies in milieuklassen anders dan XC1 kan scheurvorming met een relatief grote scheur - wijdte aanleiding geven tot duurzaamheidproblemen in de betonconstructie. NEN 6720 geeft geen directe aanwijzingen hoe de scheurwijdte kan worden berekend bij de trekband in een gedrongen tandconstructie en ophangwapening. De volgende maatregelen kunnen worden genomen om de grootte van de scheurwijdte te beperken: ? het verzorgen van een goed glijdend oplegvlak om zo de effecten van opgelegde vervormingen te verkleinen; ? het verlagen van de staalspanning in zowel de horizontale trekband als in de ophangwapening; ? het toepassen van wapening met kleine diameters; ? het geconcentreerd, dicht bij de keel, aanbrengen van de ophangwapening. In een volgend nummer zal een voorbeeld worden uitgewerkt van de berekening van een tandconstructie volgens NEN-EN 1992-1-1. M d ? M u Fd ah;schuin + H d av;schuin ? F s,t zs,t + F s,o zs,o De capaciteit van de tand bij het beoordelen van de schuine scheur is niet maatgevend ten opzichte van de twee afzonderlijk beschouwde situaties voor de ophangwapening en de trekband- wapening als voldaan is aan de volgende voorwaarden: ? de capaciteit van de ophangwapening is ten minste gelijk aan de oplegreactie; ? de hefboomsarm bij het bepalen van de benodigde hoeveel- heid trekbandwapening is niet groter dan de hefboomsarm voor de trekbandwapening bij het beoordelen van de schuine scheur. Schuine staaf De capaciteit van de tandconstructie bij de toepassing van een schuine staaf in combinatie met verticale ophangwapening (fig. 6, rechts), kan worden beschouwd door middel van superposi- tie van de twee in figuur 10 geschetste vakwerkmodellen. De capaciteit van het linker model volgt uit de hiervoor beschreven rekenmethoden. De capaciteit van het rechter model is eenvoudig af te leiden uit de capaciteit van de schuine staaf. Uitgangspunt hierbij is wel dat de schuine staaf doorloopt tot recht boven het aangrijpingspunt van de belasting en dat bij de beoordeling van de capaciteit van de schuine staaf rekening wordt gehouden met de capaciteit van de verankering van de staaf na het punt B: F u2 = A s,s fs sin ? s waarin: A s,s is de oppervlakte van de doorsnede van de schuine staaf; ? s is de hoek tussen de schuine staaf en de liggeras. Aanbevolen wordt om, overeenkomstig [4], F u,2 niet groter dan 70 % van de totale capaciteit te laten zijn. 10 ? Literatuur 1 NEN 6720, TGB 1990 ? Voorschriften Beton ? Constructieve eisen en rekenmethoden ( VBC 1995) inclusief wijzigingsblad A4: 2007; NEN 1995. 2 Gijsbers, F.B.J., van der Veen, C., en Wijte, S., Tandopleg- gingen volgens NEN 6720. Cement 2009/1. 3 De Bruijn, W.A., Slenders, B.M.A. en Kleinman, C.S., Gezonde tanden (3) ? Beproevingen in het Van Musschenbroek Laboratorium. Cement 2009/1. 4 Schlaich, J. en Schafer, K., Konstruieren im Stahlbeton- bau. BK 89; Teil II.