A r c h i t e c t u u r & o n t w e r pDynam icacement 2006 120prof.ir. A.C.W.M. Vrouwenvelder en dr.ir. C.P.W. Geurts,TNO Bouw en OndergrondOnder invloed van belastingen worden in een constructiespanningen opgewekt en treden verplaatsingen op.Indien de belasting varieert in de tijd, zullen ook de span-ningen en verplaatsingen in de tijd vari?ren. Bij gebou-wen en andere civieltechnische constructies zijn dezevariaties in de regel langzaam of klein. In de berekeningkan dan worden volstaan met een (quasi-)statische ana-lyse. Soms komen echter ook op civieltechnische con-structies snel fluctuerende belastingen voor die aanlei-ding geven tot een vergroting van de spanningen en tothinderlijke of schadelijke trillingen. Wind is een van debelastingen waarbij dit kan spelen. Daarom wordt in devoorschriften naast een statische windberekening onderbepaalde omstandigheden ook een dynamische analysegevraagd. Deze bijdrage gaat in op de achtergronden bijeen dergelijke dynamische analyse.De kern van een dynamische analyse is dat de traag-heidstermen niet worden verwaarloosd. Het meestelementaire dynamische systeem dat we kunnenonderscheiden is het zogenoemde een-massa-veer-systeem (fig. 1). Een dergelijk systeem bestaat uiteen massa m die via een veer k en een demper c aande wereld is vastgemaakt. Op de massa werkt een inde tijd vari?rende uitwendige kracht F(t). Toepassingvan de wet van Newton op dit systeem levert:m? + cu + ku = F(t) (1)Een punt boven de verplaatsing u duidt op differen-tiatie naar de tijd: u is dus snelheid en ? de versnel-ling. In vergelijking met de statica is de term m?erbij gekomen; de term cu is ook in de staticabekend bij het uitvoeren van kruipberekeningen, alzullen de constanten in die berekeningen niet altijddezelfde waarde hebben als in de dynamica.Als uitwendige belasting beschouwen we eerst eenharmonische belasting:F = F0sin(t) (2)Hierin is F0de amplitude en de hoekfrequentiedie wordt uitgedrukt in rad/s. Vaak wordt ookgewerkt met de 'gewone' frequentie f = 1/T, waarbijT de periode van sin(t) voorstelt. De eenheid vanf is Hz = 1/s. Via T = 2 geldt f = /2. Bij eenharmonische belasting is de responsie eveneensharmonisch en wel met dezelfde frequentie ,maar ten opzichte van de belasting verschoven infase:u = u0sin(t - ) (3)Vergelijking (3) is de stationaire oplossing waarbijeventuele instelverschijnselen geacht worden tezijn uitgedempt. De waarde van u0volgt door invul-ling in vergelijking (1). In figuur 2 is voor de har-monische belasting de verhouding H = u0/F0uitge-zet als functie van de frequentie van de belasting.Functie H() wordt de overdrachtsfunctie genoemd.Voor lage frequenties reageert het systeem quasi-statisch: H() = 1/k. Bij frequenties in de buurt vane(de zogenoemde eigenfrequentie) treedt opslin-gering op. De maximale opslingering wordt door dedemping bepaald: H(e) = 1/(2kD), met D de rela-tieve demping. Bij zeer grote frequenties gaan debelastingsfluctuaties te snel en komt het systeemuiteindelijk helemaal niet meer in beweging:H() = 0.D e m p i n gIn de beschrijving van het dynamische model is dedempingsconstante c ge?ntroduceerd. In de praktijkDYNAMICA,WINDBELASTING ENVOORSCHRIFTENdemper c ku cuFcumassa mbelasting Fverplaatsing uveer k1 |Massa-demper-veersys-teemA r c h i t e c t u u r & o n t w e r pDynamicacement 2006 1 21wordt de demping meestal aangegeven met dedempingsmaat, als een percentage van de kritischedemping. Dit is de demping die nodig is om hetsysteem precies in 1 trillingstijd terug in evenwichtte brengen. De kritische demping is gedefinieerdals:ckr= 2k?m (4)Voor de dempingsmaat D geldt dus:(5)ckr 2 k m=Dc2 k m=1 z( )zH---- =x t( ) xk t( ) xk kt k+( )sink 1=N= =xk 2SFF k( )k=Suu ( ) HuF u( )2SFF ( )=p ~~w12v2--- v v+( )2 12v21 2vv+ = = 12v2z( ) 1 2 3 5v z( )v z( ),+ 12v2z( ) 1 7I z( )+[ ]=^^In NEN 6702 [1] zijn enkele indicaties gegeven voorde dempingsmaat. Voor staalconstructies is daarD = 1% gegeven, voor betonconstructies 2% en voorhoutconstructies 5%.In de nieuwe Eurocode Windbelastingen, EN 1991-1-4 [2], wordt in plaats van de dempingsmaat hetzogenoemde logaritmisch decrement gebruikt,waarvoor bij lichtgedempte systemen, zoals hogegebouwen, geldt = 2D. Het spreekt vanzelf dathet van belang is goed te beseffen welke definitiewordt gebruikt in de berekening. EN 1991-1-4 geefteen uitgebreide tabel van dempingswaarden voorverschillende constructiematerialen, onder meerook afhankelijk van het type verbinding dat isgebruikt.E i g e n f r e q u e n t i eBij de bepaling van de respons op een dynamischebelasting zijn de eigenfrequenties van de construc-tie van belang. Bij hoge gebouwen spelen door-gaans twee of drie eigenfrequenties een rol: deeigenfrequenties horend bij buiging in de tweehoofdrichtingen, en torsie. De eigenfrequentieshangen af van de stijfheid en de massa van de con-structie. Een schatting voor de eerste eigenfrequen-tie voor hoge gebouwen is 46/H, in Hz. Voor eengebouw van 100 m hoog is een eerste afschattingvan de eigenfrequentie dus in de orde van 0,46 Hz.Meer nauwkeurige bepalingen zijn mogelijk aan dehand van eindige-elementenberekeningen.T r i l l i n g s v o r m e nDe vorm waarin een constructie trilt bij een eigen-frequentie, heet de trillingsvorm. De trillingsvormbepaalt hoe de respons, in termen van verplaatsin-gen, snelheden of versnellingen, zich verdeelt overde constructie. EN 1991-1-4 geeft voor de eerste tril-lingsvorm voor buiging 1(z) voor gebouwen, torensen schoorstenen de volgende uitdrukking als func-tie van de hoogte z (fig. 3):(6)ckr 2 k m=Dc2 k m=1 z( )zH---- =Nmet: = 0,6 voor slanke gebouwen, met een skeletvor-mige constructie, zonder constructieve wandenof gevels; = 1,0 voor gebouwen met een centrale kern enkolommen, dit is de lineaire trillingsvorm; = 1,5 voor slanke gebouwen, en gebouwen meteen gewapend-betonnen kern; = 2,0 voor torens en schoorstenen; = 2,5 voor stalen torens.S t o c h a s t i s c h e b e l a s t i n g e nDe belasting door wind is een continu proces, overde gehele tijdas, zonder dat een bepaald patroonzich eenmaal exact herhaalt. Dit is het kenmerk vaneen stationair stochastische belasting. Stochastischeprocessen kunnen worden gemodelleerd als een(oneindige) som van sinussen. Elke sinus heeftdaarbij zijn eigen amplitude xk, zijn eigen fasehoekken frequentie k. Het stochastische karakter vandeze belastingen wordt gemodelleerd door de fase-hoek kvoor iedere sinus stochastisch te nemen:(7)456789ckr 2 k m=Dc2 k m=1 z( )zH---- =x t( ) xk t( ) xk kt k+( )sink 1=N= =xk 2SFF k( )k=^^waarinkis de stochastische fasehoek, die elke waardetussen 0 en 2 met evenveel kans kan aanne-men (uniforme verdeling).HH=1ke22e2?( )24D22eee2+=12kD1ku0F0Dc2 km=2 k/m=100 0,5z/h11(z) = 2,5 = 1,5 = 1,0 = 0,6 = 2,02 |Responsie op harmoni-sche belasting3 |Trillingsvorm voor bui-ging voor gebouwen,torens en schoorstenenA r c h i t e c t u u r & o n t w e r pDynam icacement 2006 122De waarden van x^kvolgen uit het zogeheten varian-tiespectrum SFF() van de belasting via (zie fig. 4):(8)ckr 2 k m=Dc2 k m=1 z( )zH---- =x t( ) xk t( ) xk kt k+( )sink 1=N= =xk 2SFF k( )k=Suu ( ) HuF u( )2SFF ( )=p ~~w12v2--- v v+( )2 12v21 2vv+ = = pw12v2z( ) 1 2 3 5v z( )v z( ),+ 12v2z( ) 1 7I z( )+[ ]= =^^De waarden van kmoeten zodanig worden geko-zen dat een voor het doel geschikte benaderingontstaat. Het is moeilijk daarvoor algemene regelste geven. In figuur 4 is een voorbeeld gegeven metN = 10.De responsie op een som van sinussen is eenvou-dig te bepalen door eerst de responsie op de afzon-derlijke sinussen te bepalen en deze daarna weer opte tellen. Bewezen kan worden dat voor het spec-trum van de responsie u dan resulteert:(9)ckr 2 k m=Dc2 k m=1 z( )zH---- =x t( ) xk t( ) xk kt k+( )sink 1=N= =xk 2SFF k( )k=Suu ( ) HuF u( )2SFF ( )=p ~~w12v2--- v v+( )2 12v21 2vv+ = = pw12v2z( ) 1 2 3 5v z( )v z( ),+ 12v2z( ) 1 7I z( )+[ ]= =^^Hierbij is HUF() de overdrachtsfunctie volgensfiguur 2. Uiteraard kan dit alleen bij lineaire syste-men. De berekening volgens (9) staat bekend als despectraalanalyse.Een stationair stochastisch proces in de strikte zinvan het woord komt natuurlijk niet voor. In de mees-te gevallen is sprake van processen waarvan de statis-tische eigenschappen langzaam in de tijd veranderen.Meestal worden die processen gemodelleerd als eenopeenvolging van stationaire blokken (fig. 5). In elkblok kunnen dan dus de statistische eigenschappen,met name het spectrum, verschillen.W i n d b e l a s t i n gDe windbelasting is voor sommige constructies ofconstructie-onderdelen als een dynamische belas-ting te beschouwen; dit wordt bepaald door deeigenfrequentie van de constructie. De windbelas-ting zelf is te modelleren als een bloksgewijs sto-chastisch proces.De windstuwdruk kan worden gesplitst in eengemiddelde belasting en in een vlaagbelasting.(10)891011x t( ) xk t( ) xk kt k+( )sink 1=N= =xk 2SFF k( )k=Suu ( ) HuF u( )2SFF ( )=p ~~w12v2--- v v+( )2 12v21 2vv+ = = pw12v2z( ) 1 2 3 5v z( )v z( ),+ 12v2z( ) 1 7I z( )+[ ]= =^^Hierin is de term (v~ /v)2verwaarloosd ten opzichtevan de overige termen. De waarde van v~ die eensper uur wordt overschreden is ongeveer gelijk aan3,5 maal de standaardafwijking van de windsnel-heid. Voor de extreme windstuwdruk volgt dus:7891011x t( ) xk t( ) xk kt k+( )sink 1=N= =xk 2SFF k( )k=Suu ( ) HuF u( )2SFF ( )=p ~~w12v2--- v v+( )2 12v21 2vv+ = = pw12v2z( ) 1 2 3 5v z( )v z( ),+ 12v2z( ) 1 7I z( )+[ ]= =^^(11)78910111 z( )zH---- =x t( ) xk t( ) xk kt k+( )sink 1=N= =xk 2SFF k( )k=Suu ( ) HuF u( )2SFF ( )=p ~~w12v2--- v v+( )2 12v21 2vv+ = = pw12v2z( ) 1 2 3 5v z( )v z( ),+ 12v2z( ) 1 7I z( )+[ ]= =^^waarin:I(z) is de turbulentie-intensiteit, een maat voor devlagerigheid van de wind. Hiervoor geldt:I z( )vv1z d?( )z0ln= =v z( ) 2 5uz d?z0 ln,=x stat,FkCtAvvk= =x res,1kfeSFF fe( )4D=waarin:z0is een maat voor de ruwheid van het terrein, dezogenoemde ruwheidslengte;d is een maat voor de nulpuntsverschuiving vanhet windprofiel, de zogenoemde verplaatsings-hoogte;enI z( )vv1z d?( )z0ln= =v z( ) 2 5uz d?z0 ln,=x stat,FkCtAvvk= =1 feSFF fe( )waarin:u* is een referentie-windsnelheid, die de wrijvings-snelheid wordt genoemd.Met deze betrekkingen is de stuwdruk pwinNEN 6702 bepaald.SiSiai = 25irandomgeneratory ai it i+( )sini 1=N=804000 10 20 30 40 50s-40-804 |Model voor randombelasting, voorbeeldN = 10tF5 |Bloksgewijs stationairrandom procesA r c h i t e c t u u r & o n t w e r pDynamicacement 2006 1 23De windvlagen bevatten een groot aantal frequen-ties. De verdeling van de grootte van de windvlagenover de frequenties wordt gegeven met het varian-tiespectrum. Aan het spectrum kunnen we duszien hoe de windsnelheidsfluctuaties over de fre-quenties zijn verdeeld.Bij het berekenen van de dynamische responsie vangebouwen ten gevolge van de wind is alleen detweede term in de stuwdruk, het fluctuerende deel,van belang: p~w= vv~De fluctuerende belasting op een gebouw is hetproduct van stuwdruk, aangeblazen oppervlak A ende windvormfactor Ct: F~ = CtAvv~Als een constructie quasi-statisch op de windbelas-ting reageert, is de standaardafwijking van de res-ponsie:I z( )vv1z d?( )z0ln= =v z( ) 2 5uz d?z0 ln,=x stat,FkCtAvvk= =x res,1kfeSFF fe( )4D=x dyn, x stat,2x res,2+=x 3 5x dyn,,+=De dynamische responsie doet zich vooral voor bijde eigenfrequentie van de constructie. Het varian-tiespectrum van de windbelasting volgt uit hetspectrum van de windsnelheid:SFF( f ) = (CtAv)2Svv( f )a2( f )In figuur 6 is het variantiespectrum van de wind-snelheid weergegeven. Figuur 7 geeft een voorbeeldvan de a?rodynamische overdrachtsfunctie a( f );deze functie geeft aan in welke mate de windsnel-heidsfluctuaties de constructie als geheel belasten;voor hoge frequenties, dat wil zeggen kleine wind-vlagen, geldt dat in het algemeen veel minder danvoor lage frequenties, dus de grote windvlagen.Vermenigvuldigen we het variantiespectrum metde a?rodynamische admittantie en met het kwa-draat van de frequentie-responsiefunctie van deconstructie, dan levert dit het variantiespectrumvan de responsie (fig. 8, 9 en 10). De oppervlakteonder dit spectrum vormt de variantie van de res-ponsie (verplaatsing) van de constructie ten gevolgevan de windbelasting. Ten opzichte van een con-structie die volledig statisch reageert is in het spec-trum de resonantiepiek toegevoegd.Als benadering kan het resonantiedeel van de res-ponsie op het windspectrum worden beschrevenmet de volgende formule, die de responsie op eenzogenoemd witte-ruisspectrum berekent:I z( )vv1z d?( )z0ln= =v z( ) 2 5uz d?z0 ln,=x stat,FkCtAvvk= =x res,1kfeSFF fe( )4D=x dyn, x stat,2x res,2+=1x 3 5x dyn,,+x 3 5x stat,,+=Omdat de windvlagen zonder onderling verbandoptreden, is de fase van de dynamische belasting endus ook de fase van de responsie niet van belang.De totale fluctuerende responsie wordt geschrevenals de som van de quasi-statische en resonantie-component:10 | Spectrum van de dyna-mische respons; a is hetzogenoemde achter-gronddeel, b is hetdynamische respons-deel0,001 0,01 0,1 1 10frequentie (Hz)windsnelheidspectrum0,001 0,01 0,1 1 10frequentie (Hz)a?rodynamischeadmittantie0,001 0,01 0,1 1 10frequentie (Hz)windbelastingspectrum0,001 0,01 0,1 1 10frequentie (Hz)mechanischeadmittantie0,001 0,01 0,1 1 10frequentie (Hz)responsspectrum0,001 0,01 0,1 1 10frequentie (Hz)windsnelheidspectrum0,001 0,01 0,1 1 10frequentie (Hz)a?rodynamischeadmittantie0,001 0,01 0,1 1 10frequentie (Hz)windbelastingspectrum0,001 0,01 0,1 1 10frequentie (Hz)mechanischeadmittantie0,001 0,01 0,1 1 10frequentie (Hz)responsspectrum6 |Typisch variantiespec-trum van de windsnel-heid7 |A?rodynamische admit-tantie8 |Spectrum van de wind-belasting9 |Dynamische overdrachts-functieabA r c h i t e c t u u r & o n t w e r pDynam icacement 2006 124x res,1kfeSFF fe( )4D=x dyn, x stat,2x res,2+=1x 3 5x dyn,,+x 3 5x stat,,+=De dynamische vergrotingsfactor in NEN 6702 isnu gedefinieerd als de verhouding van de maximaleresponsie, inclusief de responsie bij de eersteeigenfrequentie, ten opzichte van de maximale res-ponsie zonder dynamische effecten:x res,1kfeSFF fe( )4D=x dyn, x stat,2x res,2+=1x 3 5x dyn,,+x 3 5x stat,,+=De dynamische vergrotingsfactor voor de windbe-lasting wordt sterk bepaald door de eigenfrequen-tie, demping en afmeting van de constructie. Dedemping speelt een belangrijke rol, aangezien dezede grootte van de responsie bij de eigenfrequentiein belangrijke mate bepaalt. De hoogte van de con-structie speelt een rol, omdat op grotere hoogten devlagerigheid relatief afneemt en omdat bij aange-blazen oppervlakken de kleine windvlagen wordenuitgemiddeld, waardoor deze niet bijdragen aan dedynamische respons.De dynamische vergroting van de uitbuiging vaneen constructie in de wind laat zich direct vertalenin een hogere belasting op de draagconstructie. Dedynamische responsie kan ook voelbaar zijn. Uithet oogpunt van de bruikbaarheid van gebouwen ishet van belang het resonantiedeel van de responsiezo beperkt mogelijk te houden. Bij de lage eigenfre-quenties van slanke hoge gebouwen is de mensvooral gevoelig voor de versnelling. NEN 6702 geefteen grenswaarde voor de maximale horizontaleversnelling aan. Die versnelling kan worden geschatuit het resonantiedeel van de responsie. Voor demaximale versnelling geldt:x?max= gx?,res= g(2fe)2x,resVoor de toetsing wordt uitgegaan van een referen-tieperiode van 1 jaar. In NEN 6702 wordt de maxi-male versnelling berekend met een dynamischevergrotingsfactor 2.D y n a m i s c h e r e s p o n s i n E u r o c o d eIn de nabije toekomst zullen de nationale normenuit de NEN 6700-serie worden vervangen door deEurocodes. In EN 1991-1-4 wordt de windbelastingop gebouwen aangegeven. Dit normblad geeft tweeprocedures om de dynamische vergroting te bepa-len. De achtergrond van deze procedures is gelijk,en is gebaseerd op het hierboven beschreven model.In tegenstelling tot NEN 6702 is de procedure nietuitgewerkt in een simpele benaderingsformule,maar wordt de gebruiker gevraagd een groot aantalstappen te doorlopen. De uitkomsten zijn ondermeer afhankelijk van de terreinomstandigheden,en ook de schematisering van de constructie speelteen rol. De modellen uit NEN 6702 geven hier geennadere invulling voor.In EN 1991-1-4 wordt de co?ffici?nt cscdge?ntrodu-ceerd. Dit is een combinatie van cs(equivalent vanCdimin NEN 6702) en cd(equivalent van 1in NEN6702). Deze is van belang voor de beoordeling vande uiterste-grenstoestand.Voor de invoer in de Eurocode moeten de eigenfre-quentie, demping (, niet D), terreinruwheid, en dewindstatistiekeigenschappen worden ingevoerd. InNEN 6702 was ervoor gekozen de invloed van ter-rein en windsnelheid vast te leggen op windgebiedII, onbebouwd. Als voorbeeld kan een gebouw meteen hoogte van 100 m worden beschouwd, met eenstalen constructie.Voorbeeld (zie tabel)Gebouw 100 m hoog; plattegrond 20 x 40 m2.Aanname: fe= 0,46 Hz, D = 0,008 ( = 0,05), basis-windsnelheid 27 m/s (windgebied II in Nederland).De uitkomsten van de twee modellen verschillennauwelijks van elkaar en zijn vergelijkbaar met deuitkomst van NEN 6702. Ook de verschillen in uit-komst voor verschillende ruwheden zijn klein.Opgemerkt moet worden dat de gehanteerde dem-ping lager is dan de waarde die zou zijn gekozen opbasis van NEN 6702. Dit betekent dat de waardevolgens NEN 6702 nu aan de hoge kant is. Eendemping van 1% levert een 2% lagere waarde op.Bovenstaand voorbeeld is gebaseerd op een toet-sing van de sterkte (uiterste-grenstoestand) van deconstructie. Toetsing van de bruikbaarheidstoe-stand betekent het vergelijken van de maximaaloptredende versnelling met grenzen die hieraanzijn gesteld. EN 1991-1-4 geeft een procedure omdeze versnellingen te bepalen, echter een criteriumvoor de versnellingen is niet gegeven. nL i t e r a t u u r1. NEN 6702:2001, Belastingen en vervormingen,TGB 1990. NNI, december 2001.2. EN 1991-1-4, Eurocode 1: Belastingen op con-structies - Deel 1-4: Algemene belastingen -Windbelasting. 2005.NEN 6702 EN 1991-1-4 EN 1991-1-4 EN 1991-1-4terrein categorie 2 terrein categorie 3 terrein categorie 4z0= 0,05 m z0= 0,3 m z0= 1,0 mmodel 1 model 2 model 1 model 2 model 1 model 2cd1= 1,13 1,13 1,20 1,11 1,18 1,08 1,16csCdim= 0,87 0,87 0,85 0,85 0,83 0,82 0,82cscdCdim1= 0,99 0,98 1,02 0,94 0,98 0,89 0,95
Reacties