Minimumwapening8200984Minimum-wapeningOm scheurwijdte te beperken en brosse breuk te voorkomen, is een mini-male hoeveelheid wapening nodig. Dit artikel gaat in op de eisen voordeze minimumwapening volgens Eurocode 2. Het is de negende afleveringin de serie met rekenvoorbeelden, waarin de diverse onderdelen van deEurocode 2 worden toegelicht 1).Rekenvoorbeelden bij Eurocode 2 (9)afstand (tabel 7.3N) een scheurwijdtetoets kan worden uitge-voerd. Bij scheurvorming in hoofdzaak veroorzaakt door belem-merde vervorming moet tabel 7.2N worden toegepast. Het is dusmogelijk uit deze tabel (op basis van een toegestane maximalescheurwijdte en een verwachte staafdiameter) een toelaatbarestaalspanning af te leiden.Rekenvoorbeeld (EC2, par. 7.3.2)Een voorbeeld wordt behandeld waarin de minimumwapeningwordt berekend van een kokerligger belast op zuivere buigingof op buiging en normaaldruk.Bereken de minimumwapening vereist in de ligger met koker-vormige dwarsdoorsnede (fig. 1).UitgangspuntenGeometrie:totale hoogte doorsnede: h = 1800 mmoppervlakte van de betondoorsnede: Ac= 1,825 106mm2afstand van het zwaartepunt van de doorsnede tot de bovenstevezel: yG= 809 mmafstand van het zwaartepunt van de doorsnede tot de bovenstevezel van de onderflens:a = 1500 - yG= 691 mmtraagheidsmoment doorsnede: Ic= 71,81010mm4In NEN-EN 1992-1-1 wordt in 7.3.2 vermeld dat een minimalehoeveelheid hechtende wapening vereist is om de scheurwijdtete beheersen in gebieden waar trekspanningen te verwachtenzijn. De bijbehorende toetsingsregel (vgl. (7.1)) is anders dandie opgenomen in 9.2.1.1 (vgl. (9.1N)) waar de minimum-wapeningsdoorsnede voor balken is gegeven.Toepassingsregel 9.2.1.1 geeft de minimumwapening benodigdom, bij een opgelegde belasting die leidt tot zuivere buiging, brosbezwijken van de doorsnede te voorkomen. Toepassingsregel7.3.2 heeft een verder strekkende toepassing en geeft aan hoeveelwapening benodigd is om te kunnen spreken van scheurwijdte-beheersing. De toepassingsregel heeft betrekking op alle gebiedenwaar trekspanningen te verwachten zijn. Deze kunnen ook zijnveroorzaakt door (gedeeltelijk) verhinderde opgelegde vervor-mingen. In de toepassingsregel wordt een maximaal toelaatbarestaalspanning ge?ntroduceerd. Voor het vaststellen van de grootteervan wordt verwezen naar 7.3.3 (2), waarin door middel vantabellen voor de toelaatbare staafdiameter (tabel 7.2N) en staaf-Minimumwapening 82009 85weerstandsmoment onderkant doorsnede: Wc, onder= 7,25108mm3kernstraal: i = (Ic/Ac)0,5= 627 mmBetonsterkteklasse C45/55.Maximaal toelaatbare spanning in de wapening onmiddellijkna het ontstaan van een scheur: s= 200 N/mm2.(De maximaal toelaatbare spanning in de wapening onmiddel-lijk na het ontstaan van een scheur wordt in dit rekenvoorbeeldbeperkt tot 200 N/mm2. Deze waarde is ontleend aan EC2 tabel7.2N uitgaande van een maximale scheurwijdte wmax= 0,2 mmen een verwachte staafdiameter ? = 16 mm.)Bereken de minimumwapening voor twee situaties:1 De doorsnede wordt alleen belast door het scheurmomentMcr(trek aan de onderkant van de doorsnede)2 De doorsnede wordt belast door een normaaldrukkracht N =-6000 kN aangrijpend in het punt P (gelegen 250 mm bovende onderkant van de doorsnede; excentriciteit eN(fig. 1)) incombinatie met een moment dat scheurvorming veroorzaakt.De diktes van lijven (0,30 m) en flenzen (0,25 m en 0,30 m) zijnkleiner dan of gelijk aan 0,30 m. Niet-gelijkmatige eigenspan-ningen die zorgen voor een reductie van de krachten veroor-zaakt door verhinderde vervormingen, zijn dus niet vantoepassing: k = 1,0 (EC2; 7.3.2(2)).Situatie 1Als alleen het scheurmoment op de doorsnede wordt aange-bracht, wordt het gedeelte van de doorsnede gelegen onderpunt G aan trekspanningen onderworpen. In de berekeningwordt de minimumwapening voor de diverse onderdelen apartberekend; eerst voor de lijven, daarna voor de onderflens.LijfAfmetingen:hoogte lijf = 1800 mmbreedte lijf = 300 mmBereken eerst de gemiddelde spanning in het beschouwde deelvan de doorsnede, c(EC2; vgl. (7.4)). Gebruik wordt gemaaktvan figuur 2 die het verloop van de betonspanningen over dehoogte van de doorsnede weergeeft. In de uiterste trekvezelwordt de treksterkte op het tijdstip waarop scheuren wordenverwacht, bereikt: fct,eff. Als uitgangspunt wordt gekozen:fct,eff= fctmmet fctm= 3,8 N/mm2voor C45/55 (EC2; tabel 3.1)).Omdat het spanningsverloop lineair is en het lijf een constantebreedte heeft, volgt ceenvoudig uit de spanningen aan deonder- en bovenkant van het lijf:onderkant lijf:onder = fct,effbovenkant lijf:boven = ? (1500 ? a_______a + 300)fct,effDe spanning cis:c =1__2(onder + boven)Bij zuivere buiging is voor lijven van kokervormige doorsneden(EC2; vgl. (7.2)):kc = 0,4[1 ?c________k1h__h*fct,eff] 1Omdat onder> |boven| is het beschouwde lijf onderworpen aaneen resulterende trekkracht. Dan geldt voor de co?ffici?nt diede effecten van normaalkrachten op de spanningsverdeling inrekening brengt:k1 =2h*___3hDan is:kc = 0,4[1 ?c_____2__3fct,eff] 11 Dwarsdoorsnede van de kokerligger.2 Betonspanningen over de hoogte van deligger (zuivere buiging).1) De artikelenserie is vertaald en bewerkt door dr.ir.drs. Ren? Braam (TU Delft, fac.CiTG / Adviesbureau ir. J.G. Hageman BV) en afgestemd met Voorschriftencom-missie 20.AfkortingenEC2 = NEN-EN 1992-1-1NB = Nationale Bijlage2500OyyGeNaxGP180012502503002501500900300 3002500OyyGaxG180012502503001500900300 300-+lijffct,eff12Minimumwapening8200986onderkant flens:boven = fct,effDe trekkracht binnen de flens is:Fct =1__2(fct,eff +a_______a + 300fct,eff)bflenshflens =(a + 150_______a + 300)fct,eff ActDan is:kc = 0,9 (a + 150_______a + 300)= 0,76De minimumwapening is (EC2; vgl. (7.1)):As,min =kckfct,effAct________s=0,76 1,0 3,8 900 300_____________________200= 3899 mm2Deze hoeveelheid betonstaal moet gelijkmatig worden verdeeld overde flensbreedte, bijvoorbeeld 20?16 = 4021 mm2(fig. 3).Situatie 2Een uitwendige normaaldrukkracht N = -6000 kN grijpt aan in puntP, gelegen 250 mm boven de onderkant van de onderflens (fig. 1).De excentriciteit ten opzichte van de zwaartelijn van de doorsnede iseN= 1800 ? yG? 250 = 741 mm. Het scheurmoment is:Mcr = [?N___Ac(1 + eNAc______Wc,onder)+ fct,eff ]Mcr = [?6000 103_________1,825 106 (1 + 741 1,825 106_________7,25 108 )+ 3,8]7,25 106= 9585 106NmmDe combinatie van de uitwendige normaalkracht N en het scheur-moment Mcrkomt overeen met het belasten van de doorsnede dooreen normaalkracht N die aangrijpt op een afstand e boven de zwaar-telijn van de doorsnede gelegen:In deze uitdrukking voor kcis cpositief als sprake is van eendrukkracht. Omdat in dit rekenvoorbeeld sprake is van eenresulterende trekkracht wordt een min-teken toegevoegd.Aldus is:kc = 0,4[1 ??(onder + boven)_____________4__3fct,eff] 1kc = 0,4 [1 +3__4(2a ? 1200)__________(a + 300) ] 1Voor a = 691 mm is kc= 0,46.De oppervlakte van het beton binnen de trekzone, ofwel hetdeel van het lijf dat juist v??r het ontstaan van de eerste scheuronder trek staat, is:Act= 300 (a + 300)De minimumwapening is (EC2; vgl. (7.1)):As,min =kckfct,effAct________s=0,46 1,0 3,8 300 991____________________200= 2598 mm2Deze hoeveelheid wapening moet worden aangebracht in hetgedeelte van het lijf waarin scheurvorming optreedt. De wape-ning moet voornamelijk worden aangebracht nabij de meestgetrokken vezel. Echter, voldoende wapening moet in de restvan het lijf aanwezig zijn om daar de scheurwijdte te beheersen.In het gescheurde stadium is de drukzonehoogte x = 346 mm.Dan is h ? x = 1800 ? 346 = 1454 mm. Volgens CEB-bulletin158-E moet bij een vereiste wk= 0,2 mm wapening wordenaangebracht over een hoogte van 800 mm, gemeten vanaf deondervezel. Gekozen kan worden voor 6?16 in de onderste300 mm van het lijf (de onderflensdikte); 5?16 h.o.h. 100 mmter weerszijden van het lijf over 500 mm boven de bovenvezelvan de onderflens.OnderflensVoor de onderflens (breedte 900 mm, hoogte 300 mm) is(EC2; vgl. (7.3)):kc = 0,9Fct______Acr fct,eff 0,5De trekkracht Fctbinnen de flens onmiddellijk voor het scheu-ren ten gevolge van het scheurmoment wordt berekend met degemiddelde trekspanning in de flens (fig. 2):bovenkant flens:boven =a_______a + 300fct,eff691500(5+5) ?16 (5+5) ?166 ?1620 ?162500OyyGaxG18001250233lijf2503001500900300 300-+eNP250fct,eff34Minimumwapening 82009 873 Situatie 1 (alleen buigend moment): Minimumwapeningin lijven en onderflens4 Betonspanningen over de hoogte van de ligger (normaal-drukkracht en buiging)5 Situatie 2 (normaaldrukkracht en buigend moment):Minimumwapening in lijven en onderflensDe spanning cis positief als sprake is van een drukkracht. Inde hier beschouwde situatie 2 is hiervan sprake. Dan is:kc = 0,4 [1 ?0,69 3,8___________1,5 1,8 3,8]= 0,30 1De oppervlakte van het beton binnen de trekzone juist v??r hetontstaan van de eerste scheur is:Act= 300 (233 + 300) mm2De minimumwapening is (EC2; vgl. (7.1)):As,min =kckfct,effAct________s=0,30 1,0 3,8 300 533____________________200= 911 mm2Een mogelijke wapening is 5?16 = 1005 mm2(fig. 5).In het gescheurde stadium is x = 745 mm. Bij h ? x = 1800 ? 745= 1055 mm volgt met CEB-bulletin 158-E bij wk= 0,2 mm datwapening vereist is tot 300 mm vanaf de ondervezel. Dat is overeen afstand die gelijk is aan de flensdikte.OnderflensVoor de onderflens (breedte 900 mm, hoogte 300 mm) is(EC2; vgl. (7.3)):kc = 0,9Fct______Act fct,eff 0,5De trekkracht Fctwordt berekend met de gemiddelde trekspan-ning in de flens (fig. 4):bovenkant flens:boven =233_________233 + 300fct,effonderkant flens:boven = fct,effDe trekkracht binnen de flens is:Fct =1__2(fct,eff +233_________233 + 300fct,eff)bflenshflens = 0,72 fct,eff ActDan is:kc = 0,9 0,72 = 0,65De minimumwapening is (EC2; vgl. (7.1)):As,min =kckfct,effAct________s=0,65 1,0 3,8 900 300_____________________200= 3335 mm2Deze wapening, bijvoorbeeld 18?16 = 3619 mm2(fig. 5), moetgelijkmatig verdeeld over de flensbreedte worden aangebracht. e =Mcr___N? eN =9585 106________6000 103? 741 = 1598 ? 741 = 857 mmDe doorsnede is spanningsloos op een afstand y van de zwaarte-lijn:N___Ac+(Mcr + NeN)y___________Ic=?6000 103_________1,825 106+(9585 ? 6 741) 106y__________________71,82 1010= 0y = 458 mmDit betekent dat de lijven over een hoogte a + 300 - y = 691 +300 - 458 = 533 mm aan trekspanningen zijn onderworpen.Het lineaire spanningsverloop over de hoogte van de door-snede is weergegeven in figuur 4.Ook nu wordt de minimumwapening voor de diverse onderdelenapart berekend; eerst voor de lijven, daarna voor de onderflens.LijfDe totale hoogte van de doorsnede is h = 1800 mm. Omdat h >1,0 m is dan h* = 1,0 m en is h / h* = 1,8.De gemiddelde spanning in het beschouwde deel van de door-snede, c(EC2; vgl. (7.4)) volgt uit figuur 4:onderkant lijf:onder = fct,effbovenkant lijf:boven = ?(1800 - 533_________533)fct,eff = ?2,38 fct,effDe spanning cis:c =1__2(onder + boven) = ?0,69 fct,effBij buiging gecombineerd met normaalkracht is voor lijven vankokervormige doorsneden (EC2; vgl. (7.2)):kc = 0,4[1 ?c________k1h__h*fct,eff] 1Omdat c< 0 is het lijf onderworpen aan een resulterendedrukkracht. Dan is de co?ffici?nt die de effecten van normaal-krachten op de spanningsverdeling in rekening brengt k1= 1,5.2315 ?165 ?1618 ?165