36 Comfort voet- gangersbruggen Trillingsberekening voor eenvoudige voetgangersbruggen op basis van huidige regelgeving Comfort voetgangersbruggen 3 2018 37 De gevoeligheid voor trillingen is een belangrijk, maar vaak onderbelicht thema bij het ontwerp van voetgangersbruggen. Ten gevolge van de ritmische aanstoting door voetgangers kan een brug in resonantie komen. Dit kan hinderlijk zijn voor andere aanwezigen op de brug. In het extreme geval voelen mensen zich onveilig, wordt de brug (tijdelijk) afgesloten voor onderzoek en volgen er mogelijk maatregelen. Vooral bij slanke bruggen met een lage eigenfrequentie ? de frequentie van voet - gangers kan dan in de buurt van de eigenfrequentie van de brug komen ? kan dit fenomeen optreden. Het is dus belangrijk bij het ontwerp van relatief lichte voetgangersbruggen reke - ning te houden met het comfort.   In dit artikel wordt een introductie gegeven op het onderwerp trillingen en de bijbehorende berekeningsmethode. De belang - rijkste eisen, belastingen en formules worden hierbij uitgelegd. De berekeningsmethode is beschreven in diverse documenten: ? Eurocode 1, NEN-EN 1991-2 [1] ? EUR 23984 EN: Design of Lightweight Footbridges for Human Induced Vibrations [2]   De meeste, genoemde formules zijn terug te vinden in de natio - nale bijlage van Eurocode 1 (hierna te noemen NEN-EN 1991-2/ NB). Formule 1, 6, 7 en 8 zijn alleen terug te vinden in EUR 23984 EN. Bij een aantal formules is er een vereenvoudiging toegepast, omdat er wordt uitgegaan van een lijnlast in plaats van een oppervlaktebelasting die in [1] en [2] wordt aangehouden.     Berekeningsmethode Het comfort van een voetgangersbrug wordt beschreven door de maximaal optredende versnellingen. Een eenvoudige en inzichtelijke manier om de versnellingen te berekenen, is door de constructie te schematiseren in één of meerdere één-massa- veersystemen (fig. 3). Elke eigenfrequentie die door voetgan - gers of joggers aangestoten kan worden, moet worden beoordeeld. Bij de in rekening te brengen belastingen geldt een reductieco - efficiënt ? (fig. 2). Deze coëfficiënt brengt de waarschijnlijk - heid in rekening dat de voetstapfrequentie in de buurt komt van de eigenfrequenties. Eigenfrequenties waarvoor geldt ? > 0  moeten worden geanalyseerd. Hierbij moet rekening worden gehouden met de richting van de trilvorm: lateraal, longitudi - naal of verticaal zoals weergegeven in figuur 4. Dit komt erop neer dat voor bruggen waarvan de eigenfrequentie buiten het gebied van de frequentie van aanstoting valt (fig. 2), het comfort niet beoordeeld hoeft te worden. Op de bepaling van 1 ir. Bas Wijnbeld ABT ing. Mustapha Attahiri MSEng RC Ingenieursbureau Gemeente Rotterdam Millennium Bridge in Londen Een brug waar het helemaal verkeerd ging met trillingen was de Millennium Bridge in Londen. Kort na opening werden flinke tril - lingen veroorzaakt door passerende mensen tijdens een liefda - digheidsloop. Hierdoor werd de brug drie dagen na opening in juni 2000 gesloten. Na analyse werd het probleem verholpen door 89 dempers aan te brengen. Na een testperiode werd de brug heropend op 22 februari 2002. 1 De Voldijkbrug waarbij dempers zijn toegepast om aan comforteisen te voldoen. Bron: DuraVermeer Comfort voetgangersbruggen 3 2018 38 2 Reductiecoëfficiënt ( ?) voor de in rekening te brengen dynamische belastin - gen3 Eén-massa-veersysteem; 'single-degree-of-freedom-system' (SDOF)4 Trillingsrichtingen Bij het opstellen van het één-massa-veersysteem zijn drie varia - belen van belang: de demping ( ?), de gegeneraliseerde massa (m* ) en gegeneraliseerde belasting ( p*) (ook wel modale massa/belasting). In het navolgende wordt uitgelegd hoe deze kunnen worden bepaald. Vervolgens wordt ingegaan op het onderwerp lateral lock-in en de mogelijke maatregelen die kunnen worden genomen om trillingen te voorkomen.   Na het bepalen van alle parameters kan de maximaal optre - dende versnelling eenvoudig worden berekend met de volgende formule:   [ Formule 1] ?? ?? * * formule1 ; 4 1 6 u i t 2 2m max p a ?? ?? ? [ Formule 2] ?? ? ? n' formule 2; 4-1 \f uit 2 , versim\beld pP? ? ?? [ Formule 3] ?? ? ? 1 10, 8 formule 3; 4-8 uit 2 , omgeschreven naar /m n n L ? ? ? ? ? [ Formule 4] ?? ? ? 1 1, 8 \f formule 4; 4-8 uit 2 , omgeschreven naar /m n n L ? ? ? [ Formule 5] ?? ?? ?? L * 0 formule \f; 4-18 uit 2 p p x dx?? ? [ Formule 5B] * 2 ? p pL? ?? [ Formule 6] ?? ?? ?? L 2 * 0 formule 6;4-19 uit 2 m x dx? ?? ? [ Formule 6B] * 1 2 mL ? ? ?? [ Formule 6C] ?? ?? * 8? formule 6; 4-21 uit 2 L mf N k? ? ?? ? [ Formule 7] ?? ? ? 2 0,1 0,1\f m / s formule 7 ; 4-24 uit 2 lateraal lock inaa ? ? ?? Deze versnelling moet vervolgens worden getoetst aan de comforteisen, zoals deze zijn opgegeven in Eurocode 0 (natio - nale bijlage van NEN-EN 1990, par. A2.4.3.2): ? alimiet = 0,7 m/s 2 (verticaal) ? alimiet = 0,2 m/s 2 (longitudinaal en lateraal)   Gegeneraliseerde belasting ( p*) In NEN-EN 1991-2/NB, par. 5.7 worden de volgende belastin - gen voorgeschreven: ? voetgangersverkeer met een dichtheid van 0,5 personen/m 2 (verkeersklasse TC3) ? 5 joggers ( L < 20 m) & 10 joggers ( L > 20 m)   Naast voorgaande eisen kan het nodig zijn een hogere verkeers - klasse voor te schrijven op locaties waar grote groepen mensen zijn te verwachten, bijvoorbeeld bij een treinstation, stadion of concertzaal.   De gegeneraliseerde belasting ( p*) (of modale belasting) wordt in een aantal stappen bepaald: 1 bepaal de belasting per voetganger/jogger in de beschouwde richting ( P); 2 bepaal de equivalente belasting ( p) voor een groep voetgan - gers/joggers; 3 vertaal de equivalente belasting naar een gegeneraliseerde belasting ( p*).   Stap 1: Belasting per voetganger/jogger ( P) Eén voetganger kan worden geschematiseerd met een harmo - nische belasting met de volgende amplituden (zie NEN-EN1991-2/NB, tabel 13): ? Pverticaal = 280 N ? Plongitudinaal = 140 N ? Plateraal     = 35 N   Bij joggers hoeft alleen de verticale richting te worden beschouwd, dit met een amplitude van: ? Pverticaal  = 1250 N de eigenfrequentie wordt in dit artikel verder niet ingegaan. Meer hierover staat in het artikel 'Versnelling voetgangersbrug' in de rubriek 'Rekenen in de praktijk', elders in dit nummer (pagina 42).   De verticale en longitudinale aanstoting door voetgangers komt overeen met de stapfrequentie (~2 Hz), terwijl de laterale aanstoting optreedt op de halve frequentie van de stapfrequen - tie (~1 Hz). Dit is te verklaren doordat voetgangers om en om naar links en rechts afzetten tijdens het lopen (schaatsbewe - ging). Joggers lopen in een frequentie van circa 2,5 Hz. Daarnaast is er in de norm voor gekozen ook een tweede harmonische belasting in rekening te brengen bij de verticale aanstoting door voetgangers. Hierdoor kunnen ook hogere frequenties, weliswaar in mindere mate, worden aangestoten. Als we alleen de eerste harmonische belasting zouden meereke - nen, zou alleen rekening worden gehouden met relatief lage eigenfrequenties. Door de grilligheid van de stootbelasting van voetgangers is er echter ook een kans dat hogere frequenties worden aangestoten. Overigens wordt in sommige richtlijnen zelfs ook nog de derde en vierde harmonische in rekening gebracht. Daar gaan we hier verder niet van uit. verticaal/longitudinaal: voetgangers, 1e harmonische verticaal/longitudinaal: voetgangers, 2e harmonische lateraal: voetgangers verticaal:joggers reductiecoëfficiënt [?] excitatiefrequentie [Hz] 1,00 0,75 0,50 0,25 0 0,5 1 1,5 2 \ 2,5 3 3,5 4 4,5 \ 5 0,7 1,25 1,7 2,1 2,3 \ 3,4 4,2 4,6 1,2 1,9 2,2 2,7 veerst ijfheid ( k) demping ( ? of ?) gegeneraliseerde massa ( m*) gegeneraliseerde belasting ( p*) als sinusvormige belasting K ? m* p* lateraal verticaal longitudinaal 2 3 4 Comfort voetgangersbruggen 3 2018 39   [ Formule 1] ?? ?? ** formule1 ; 4 1 6 u i t 2 2m max p a ?? ?? ? [ Formule 2] ?? ? ? n' formule 2; 4-1 \f uit 2 , versim\beld pP ? ? ?? [ Formule 3] ?? ? ? 1 10, 8 formule 3; 4-8 uit 2 , omgeschreven naar /m n n L ? ? ? ? ? [ Formule 4] ?? ? ? 1 1, 8 \f formule 4; 4-8 uit 2 , omgeschreven naar /m n n L ? ? ? [ Formule 5] ?? ?? ?? L * 0 formule \f; 4-18 uit 2 p p x dx?? ? [ Formule 5B] * 2 ? p pL? ?? [ Formule 6] ?? ?? ?? L 2 * 0 formule 6;4-19 uit 2 m x dx? ?? ? [ Formule 6B] * 1 2 mL ? ? ?? [ Formule 6C] ?? ?? * 8? formule 6; 4-21 uit 2 L mf N k? ? ?? ? [ Formule 7] ?? ? ? 2 0,1 0,1\f m / s formule 7 ; 4-24 uit 2 lateraal lock inaa ? ? ?? . Bij liggers op meerdere steunpunten kan de gegeneraliseerde belasting worden ingeschat als de som van de afzonderlijke delen, waarbij rekening wordt gehouden met de maximale uitbuiging per overspanning.  In figuur 5 en 6 zijn twee voorbeelden uitgewerkt.     Gegeneraliseerde massa ( m* ) De gegeneraliseerde massa (of modale massa) moet worden bepaald op basis van een realistische belasting in de beschouwde situatie. Onder deze realistische belasting wordt verstaan het eigen gewicht inclusief rustende belasting en een toeslag ten gevolge van de aanwezige personen. De statische massa ten gevolge van joggers zal in veel gevallen een te verwaarlozen invloed hebben op de berekening. Bij lichte constructies kunnen de verkeersstromen echter wel significante invloed hebben. Voor de gemiddelde massa per persoon wordt veelal een waarde aangehouden van 70 kg. De extra massa ten gevolge van verkeersklasse TC3 (0,5 P/m 2) is hierdoor gelijk aan 35 kg/m 2 en voor TC4 (1,0 P/m 2) gelijk aan 70 kg/m 2. Dit is dus significant minder belasting dan in rekening wordt gebracht bij de frequente of karakteristieke belastingscombina - ties.   [ Formule 1] ?? ?? * * formule1 ; 4 1 6 u i t 2 2m max p a ?? ?? ? [ Formule 2] ?? ? ? n' formule 2; 4-1 \f uit 2 , versim\beld pP ? ? ?? [ Formule 3] ?? ? ? 1 10, 8 formule 3; 4-8 uit 2 , omgeschreven naar /m n n L ? ? ? ? ? [ Formule 4] ?? ? ? 1 1, 8 \f formule 4; 4-8 uit 2 , omgeschreven naar /m n n L ? ? ? [ Formule 5] ?? ?? ?? L * 0 formule \f; 4-18 uit 2 p p x dx?? ? [ Formule 5B] * 2 ? p pL? ?? [ Formule 6] ?? ?? ?? L 2 * 0 formule 6;4-19 uit 2 m x dx ? ??? [ Formule 6B] * 1 2 mL ? ? ?? [ Formule 6C] ?? ?? * 8? formule 6; 4-21 uit 2 L mf N k? ? ?? ? [ Formule 7] ?? ? ? 2 0,1 0,1\f m / s formule 7 ; 4-24 uit 2 lateraal lock inaa ? ? ?? met: ? is massa per lengte-eenheid (bijv.: kg/m 1) ? x is gehomogeniseerde vervorming op punt x bij de beschouwde trilvorm   Stap 2: Belasting per groep voetgangers/joggers ( p) Bij een groep mensen zal de kracht worden overschat als we deze krachten vermenigvuldigen met het aantal voetgangers ( n). Dit zou namelijk veronderstellen dat zij als groep geheel synchroon lopen. Bij de berekening mag daarom worden uitgegaan van een equivalent aantal voetgangers bepaald volgens formule 3 of 4.   De equivalente belasting ( p) voor een groep personen wordt bepaald met: [ Formule 1] ?? ?? * * formule1 ; 4 1 6 u i t 2 2m max p a ?? ?? ? [ Formule 2] ?? ? ? n' formule 2; 4-1 \f uit 2 , versim\beld pP ? ? ?? [ Formule 3] ?? ? ? 1 10, 8 formule 3; 4-8 uit 2 , omgeschreven naar /m n n L ? ? ? ? ? [ Formule 4] ?? ? ? 1 1, 8 \f formule 4; 4-8 uit 2 , omgeschreven naar /m n n L ? ? ? [ Formule 5] ?? ?? ?? L * 0 formule \f; 4-18 uit 2 p p x dx?? ? [ Formule 5B] * 2 ? p pL? ?? [ Formule 6] ?? ?? ?? L 2 * 0 formule 6;4-19 uit 2 m x dx? ?? ? [ Formule 6B] * 1 2 mL ? ? ?? [ Formule 6C] ?? ?? * 8? formule 6; 4-21 uit 2 L mf N k? ? ?? ? [ Formule 7] ?? ? ? 2 0,1 0,1\f m / s formule 7 ; 4-24 uit 2 lateraal lock inaa ? ? ?? met: P is kracht per voetganger in de beschouwde richting (Pverticaal , Plongitudinaal of Plateraal ) n' is equivalent aantal voetgangers volgens formule 3 of 4 ? is reductiecoëfficiënt afgelezen uit figuur 2   Voor verkeersklasse TC1 t/m TC3 kan het equivalent aantal voetgangers worden beschreven met de volgende formule:   [ Formule 1] ?? ?? * * formule1 ; 4 1 6 u i t 2 2m max p a ?? ?? ? [ Formule 2] ?? ? ? n' formule 2; 4-1 \f uit 2 , versim\beld pP ? ? ?? [ Formule 3] ?? ? ? 1 10, 8 formule 3; 4-8 uit 2 , omgeschreven naar /m n n L ? ? ? ? ? [ Formule 4] ?? ? ? 1 1, 8 \f formule 4; 4-8 uit 2 , omgeschreven naar /m n n L ? ? ? [ Formule 5] ?? ?? ?? L * 0 formule \f; 4-18 uit 2 p p x dx?? ? [ Formule 5B] * 2 ? p pL? ?? [ Formule 6] ?? ?? ?? L 2 * 0 formule 6;4-19 uit 2 m x dx? ?? ? [ Formule 6B] * 1 2 mL ? ? ?? [ Formule 6C] ?? ?? * 8? formule 6; 4-21 uit 2 L mf N k? ? ?? ? [ Formule 7] ?? ? ? 2 0,1 0,1\f m / s formule 7 ; 4-24 uit 2 lateraal lock inaa ? ? ??   met: n is aantal voetgangers [-] L is lengte van de brug [m] ? is dempingswaarde (zie onder kopje 'Demping') [-]   Voor verkeersklasse TC4 en TC5 (? 1 persoon per m 2) zullen mensen door de beperkte bewegingsvrijheid meer gaan synchroniseren waardoor het equivalent aantal voetgangers aanzienlijk zal toenemen. In dat geval geldt:   [ Formule 1] ?? ?? * * formule1 ; 4 1 6 u i t 2 2m max p a ?? ?? ? [ Formule 2] ?? ? ? n' formule 2; 4-1 \f uit 2 , versim\beld pP ? ? ?? [ Formule 3] ?? ? ? 1 10, 8 formule 3; 4-8 uit 2 , omgeschreven naar /m n n L ? ? ? ? ? [ Formule 4] ?? ? ? 1 1, 8 \f formule 4; 4-8 uit 2 , omgeschreven naar /m n n L ? ? ? [ Formule 5] ?? ?? ?? L * 0 formule \f; 4-18 uit 2 p p x dx?? ? [ Formule 5B] * 2 ? p pL? ?? [ Formule 6] ?? ?? ?? L 2 * 0 formule 6;4-19 uit 2 m x dx? ?? ? [ Formule 6B] * 1 2 mL ? ? ?? [ Formule 6C] ?? ?? * 8? formule 6; 4-21 uit 2 L mf N k? ? ?? ? [ Formule 7] ?? ? ? 2 0,1 0,1\f m / s formule 7 ; 4-24 uit 2 lateraal lock inaa ? ? ?? Voor joggers wordt de zeer conservatieve aanname voorge - schreven dat n' = n .   Stap 3: Gegeneraliseerde belasting ( p*) De gegeneraliseerde belasting kan worden benaderd met de volgende formule:   [ Formule 1] ?? ?? * * formule1 ; 4 1 6 u i t 2 2m max p a ?? ?? ? [ Formule 2] ?? ? ? n' formule 2; 4-1 \f uit 2 , versim\beld pP ? ? ?? [ Formule 3] ?? ? ? 1 10, 8 formule 3; 4-8 uit 2 , omgeschreven naar /m n n L ? ? ? ? ? [ Formule 4] ?? ? ? 1 1, 8 \f formule 4; 4-8 uit 2 , omgeschreven naar /m n n L ? ? ? [ Formule 5] ?? ?? ?? L * 0 formule \f; 4-18 uit 2 p p x dx ?? ? [ Formule 5B] * 2 ? p pL? ?? [ Formule 6] ?? ?? ?? L 2 * 0 formule 6;4-19 uit 2 m x dx? ?? ? [ Formule 6B] * 1 2 mL ? ? ?? [ Formule 6C] ?? ?? * 8? formule 6; 4-21 uit 2 L mf N k? ? ?? ? [ Formule 7] ?? ? ? 2 0,1 0,1\f m / s formule 7 ; 4-24 uit 2 lateraal lock inaa ? ? ?? met: ? x is vervorming over de lengte van de brug behorende bij de beschouwde trilvorm L is lengte van de brug [m 1] p is equivalente belasting per lengte-eenheid volgens formule 2   De maximale vervorming wordt gelijkgesteld aan een waarde van 100%. Voor een eenvoudig opgelegde ligger op twee steun - punten volgt uit formule 5: p = 500 N/m 1 8 m 12 m p* = p1* + p2* = 1655 + 3812 = 5467 N ?= 65% p2* = 100% ? 2/ ? ? 500 ? 12 = 3812 N p1* = 65% ? 2/ ? ? 500 ? 8 = 1655 N 5 Voorbeeld 1: berekening gegeneraliseerde belasting op basis van een gegeven trilvorm6 Voorbeeld 2: berekening gegeneraliseerde belasting op basis van een gegeven trilvorm p = 500 N/m 1 10 m 10 m p* = p1* + p2* = 3183 + 3183 = 6366 N ?= 100% p2* = 100% ? 2/ ? ? 500 ? 10 = 3183 N p1* = 100% ? 2/ ? ? 500 ? 02 = 3183 N 5 6 Comfort voetgangersbruggen 3 2018 40 7 Voorbeeld 1: berekening gegeneraliseerde massa op basis van gegeven trilvorm8 Voorbeeld 2: berekening gegeneraliseerde massa op basis van gegeven trilvorm9 Moreelsebrug. Foto: Joris Louwes dempingsverhouding gegeven en in NEN-EN 1991-1-4 het logaritmische decrement. Het verschil tussen beide waarden bedraagt 2?. In tabel 1 zijn enkele waarden uit de literatuur met elkaar vergeleken. Tabel 1 Dempingsverhoudingen voor verschillende materialen type constructie dempingsverhoudingen HIVOSS/JRC:EUR 23984 EN NEN-EN1991-1-4 minimaal gemiddeld gewapend beton 0,8% 1,3% 1,60% (gescheurd) voorgespannen beton 0,5% 1% 0,65% (ongescheurd) composiet staal-beton 0,3% 0,6% - staal 0,2% 0,4% 0,30% (gelast) 0,80% (gebout) hout 1% 1,5% 0,95-1,90%     Lateral lock-in De term lateral lock-in wordt gebruikt voor de laterale synchro - nisatie van voetgangers door een initiële uitbuiging. Doordat de synchronisatie van voetgangers verder toeneemt als de beweging groter wordt, is dit een zelfversterkend fenomeen. Hierdoor is de overschrijding van de versnelling vaak erg groot. De problemen bij de opening van de Millenniumbrug (zie kader 'Millennium Bridge in Londen') zijn hieraan toe te schrijven. In [2] zijn er twee mogelijke criteria opgesteld waarmee het probleem van lateral lock-in kan worden voorkomen. Bij het eerste criterium wordt het aantal voetgangers (N L) bepaald waarbij laterale synchronisatie kan optreden, bij het tweede crite - rium wordt een maximale laterale versnelling voorgeschreven.   Criterium 1   [ Formule 1] ?? ?? ** formule1 ; 4 1 6 u i t 2 2m max p a ?? ?? ? [ Formule 2] ?? ? ? n' formule 2; 4-1 \f uit 2 , versim\beld pP ? ? ?? [ Formule 3] ?? ? ? 1 10, 8 formule 3; 4-8 uit 2 , omgeschreven naar /m n n L ? ? ? ? ? [ Formule 4] ?? ? ? 1 1, 8 \f formule 4; 4-8 uit 2 , omgeschreven naar /m n n L ? ? ? [ Formule 5] ?? ?? ?? L * 0 formule \f; 4-18 uit 2 p p x dx?? ? [ Formule 5B] * 2 ? p pL? ?? [ Formule 6] ?? ?? ?? L 2 * 0 formule 6;4-19 uit 2 m x dx? ?? ? [ Formule 6B] * 1 2 mL ? ? ?? [ Formule 6C] ?? ?? * 8? formule 6; 4-21 uit 2 L mf N k ? ? ?? ? [ Formule 7] ?? ? ? 2 0,1 0,1\f m / s formule 7 ; 4-24 uit 2 lateraal lock inaa ? ? ?? met: ? is frequentie [Hz] k is constante bepaald op basis van onderzoek bij de Millen - niumbrug is 300 Ns/m   Criterium 2 [ Formule 1] ?? ?? * * formule1 ; 4 1 6 u i t 2 2m max p a ?? ?? ? [ Formule 2] ?? ? ? n' formule 2; 4-1 \f uit 2 , versim\beld pP ? ? ?? [ Formule 3] ?? ? ? 1 10, 8 formule 3; 4-8 uit 2 , omgeschreven naar /m n n L ? ? ? ? ? [ Formule 4] ?? ? ? 1 1, 8 \f formule 4; 4-8 uit 2 , omgeschreven naar /m n n L ? ? ? [ Formule 5] ?? ?? ?? L * 0 formule \f; 4-18 uit 2 p p x dx?? ? [ Formule 5B] * 2 ? p pL? ?? [ Formule 6] ?? ?? ?? L 2 * 0 formule 6;4-19 uit 2 m x dx? ?? ? [ Formule 6B] * 1 2 mL ? ? ?? [ Formule 6C] ?? ?? * 8? formule 6; 4-21 uit 2 L mf N k? ? ?? ? [ Formule 7] ?? ? ? 2 0,1 0,1\f m / s formule 7 ; 4-24 uit 2 lateraal lock inaa ? ? ?? Maatregelen Indien de voetgangersbrug niet voldoet aan de comforteisen, zijn er drie mogelijke maatregelen: 1 toevoegen van massa; 2 verhogen van de stijfheid om buiten het gevoelige gebied te vallen; 3 verhogen van de demping. Voor een eenvoudig opgelegde ligger op twee steunpunten volgt hieruit   [ Formule 1] ?? ?? * * formule1 ; 4 1 6 u i t 2 2m max p a ?? ?? ? [ Formule 2] ?? ? ? n' formule 2; 4-1 \f uit 2 , versim\beld pP ? ? ?? [ Formule 3] ?? ? ? 1 10, 8 formule 3; 4-8 uit 2 , omgeschreven naar /m n n L ? ? ? ? ? [ Formule 4] ?? ? ? 1 1, 8 \f formule 4; 4-8 uit 2 , omgeschreven naar /m n n L ? ? ? [ Formule 5] ?? ?? ?? L * 0 formule \f; 4-18 uit 2 p p x dx?? ? [ Formule 5B] * 2 ? p pL? ?? [ Formule 6] ?? ?? ?? L 2 * 0 formule 6;4-19 uit 2 m x dx? ?? ? [ Formule 6B] * 1 2 mL ? ? ?? [ Formule 6C] ?? ?? * 8? formule 6; 4-21 uit 2 L mf N k? ? ?? ? [ Formule 7] ?? ? ? 2 0,1 0,1\f m / s formule 7 ; 4-24 uit 2 lateraal lock inaa ? ? ?? . Voor andere constructies kan net als bij de gegeneraliseerde belasting de massa ook worden ingeschat door te verschalen op basis van de maximale uitbuiging van de betreffende overspanning. De verschaling gaat echter kwadra - tisch (formule 6). In figuur 7 en 8 zijn twee voorbeelden gegeven.   De gegeneraliseerde massa ( m* ) kan ook worden afgeleid van de modale massa die in veel rekensoftware beschikbaar is na het uitvoeren van een modale analyse. Aandachtspunt hierbij is de correcte verschaling. Veelal wordt de maximale vervorming van een trilvorm gelijkgesteld aan 1 m. Als deze maximale vervorming niet optreedt in het wegdek, maar bijvoorbeeld in de tuien, zal de berekende modale massa veel lager uitvallen dan verwacht. Vergelijk de computerresultaten dus altijd met een handberekening.     Demping ( ?) Als laatste moet de demping worden bepaald. Tijdens het ontwerp moet dit gebeuren op basis van kengetallen uit de lite - ratuur. Betrouwbare dempingswaarden zijn echter pas te verkrijgen uit een trillingsmeting aan de werkelijke constructie nadat deze compleet is afgebouwd. In de Eurocode zijn dempingswaarden gegeven in tabel F.2 uit NEN-EN 1991-1-4 (wind), maar er worden ook waarden gegeven in de EUR 23984 EN [2]. Bij het bepalen van de demping moeten het logaritmi - sche decrement ( ?) en de dempingsverhouding ( ?) niet door elkaar worden gehaald. In de EUR 23984 EN wordt de 10 m m1* = (1.00) 2 ? 1/2 ? 1000 ? 10 = 5000 kg 10 m 100% 100% ? = 1000 kg/ m1 m2* = (1.00) 2 ? 1/2 ? 1000 ? 10 = 5000 kg ? = 1000 kg/ m1 8 m 12 m 100% 65% m1* = (0.65) 2 ? 1/2 ? 1000 ? 8 = 1690 kg m2* = (1.00) 2 ? 1/2 ? 1000 ? 12 = 6000 kg m* = m1* + m2* = 1690 + 6000 = 7690 kg 7 8 Comfort voetgangersbruggen 3 2018 41 uit te voeren, zodat de engineering en productie van de TMD's het openen van de brug niet vertragen.     Conclusies en opmerkingen Met de in dit artikel beschreven berekeningsmethode is het mogelijk het comfort van eenvoudige voetgangersbruggen te controleren op basis van de huidige regelgeving. Hierbij moet worden gemeld dat de zeer zware joggersbelasting ter discussie staat en vrijwel zeker naar beneden wordt bijgesteld in de volgende versie van de Eurocode. Het op dit moment voorge - schreven aantal joggers (5 of 10) is erg zwaar in verhouding tot bijvoorbeeld de eisen uit de 'British Standard' waarbij het aantal joggers varieert tussen de 0 en 4 afhankelijk van de situe - ring van de brug. Naast de comfortberekening moet er ook worden gecontro - leerd op bezwijken door het moedwillig aanstoten van de eigenfrequentie door een groep personen (vandalismebelas - ting). In een later te verschijnen artikel in de rubriek 'Rekenen in de praktijk' zal hier verder op worden ingegaan. ?    ? LITERATUUR 1 NEN-EN 1991-2+C1 ? Eurocode 1: Belastingen op constructies ? Deel 2: Verkeersbelasting op bruggen + nationale bijlage NB. 2 EUR 23984 EN: Design of Lightweight Footbridges for Human Induced Vibrations. Verhogen massa Het toevoegen van massa kan eigenlijk niet worden gezien als een reële oplossing, maar het kan wel een reden zijn om vroeg in het ontwerpproces te kiezen voor bijvoorbeeld beton in plaats van staal of composiet.   Verhogen stijfheid Het verhogen van de stijfheid om buiten het gevoelige frequen - tiegebied te vallen, is in veel gevallen alleen effectief als de constructieve hoogte ook wordt vergroot. Het opdikken van platen in een stalen brug, zonder hierbij de constructieve hoogte te vergroten, zal vaak geen economische oplossing zijn voor het probleem. De eigenfrequentie zal minimaal toenemen doordat zowel de massa als de stijfheid slechts lineair toenemen. Wel effectief is het vergroten van de constructieve hoogte of het wijzigen van het statische systeem, door bijvoorbeeld een inklemming te realiseren bij de landhoofden van de loopbrug of de overspanning(en) te verkleinen.   Verhogen demping Een laatste mogelijkheid is het verhogen van de demping, vaak door de toepassing van tuned mass dampers (TMD's). Dit is een massa (2-5% van de gegeneraliseerde massa) die met behulp van veren en viskeuze dempers wordt bevestigd aan de brug. De eigenfrequentie van de massa is afgestemd op de eigenfre - quentie die moet worden gedempt. Daarnaast moet voor een maximale efficiëntie de TMD op de maximale uitbuiging van de eigenfrequentie worden geplaatst. Voorbeelden van projec - ten waar TMD's zijn toegevoegd zijn de Dafne Schippersbrug, de Moreelsebrug (foto 9) en de Voldijkbrug (foto 1). Om te voorkomen dat foutieve of overbodige TMD's worden toegepast, is het noodzakelijk het uiteindelijke advies met betrekking tot de te nemen maatregelen te baseren op resulta - ten van een trillingsmeting uitgevoerd op een volledig afge - bouwde constructie. Het is belangrijk dit tijdig voor oplevering Rekenvoorbeeld Het berekenen van het comfort van voetgangersbruggen is uitgewerkt aan de hand van een voorbeeld in het Cement - artikel 'Versnelling voetgangersbrug' uit de rubriek 'Rekenen in de praktijk', elders in dit nummer. Kritische Demping Met de dempingsverhouding ( ?) wordt de verhouding t.o.v. de kritische demping bedoeld. Dus bij ? = 1 (100%) is de constructie kritisch gedempt en zal deze terugkeren naar een evenwichtspositie op de snelst mogelijke manier en zonder trilling. Bij ? > 1 zal de constructie ook zonder trillen terugkeren in de evenwichtspositie, maar langer dan bij ? = 1. Bij ? < 1 zal de constructie middels een gedempte tril - ling terugkeren in de evenwichtspositie. Dit laatste is waar voetgangersconstructies mee te maken hebben aangezien ? veelal niet groter is dan ~1,5% = 0,015. 9 Comfort voetgangersbruggen 3 2018