ICONSTRUCTlliPONTWERP IBEREKENINGAFSCHUIFDRAAGVERMOGENprof.dr.irA.S.G.BruggelingDeze artikelenserie nadert zijn voltooiing. Een belangrijk onderwerp moet echternog worden besproken: het afschuifdraagvermogen. Eerst wordt in vereenvoudigevorm de theorie besproken, waarna aan de hand van een rekenvoorbeeld wordtduidelijk gemaakt hoe de bijdrage van de verschillende componenten aan hetafschuifdraagvermogen kan worden bepaald.Na deze aflevering volgen er nog twee waarin de constructieve mogelijkheden enhet model worden toegelicht.drukdiagonaalIn deze serie artikelen is tot nu toe?? voornamelijk ingegaan op het ge-drag van betonconstructies onderinvloed van buiging en normaalkracht(trek en druk). Uiteraard dient ook aanhet onderwerp dwarskracht aandacht teworden besteed. Nu is dwarskracht eenbegrip uit de mechanica. Wanneer menconstructies - en in het bijzonder be-tonconstructies - beschouwt, moet menvaststellen dat het belasten alleen opdwarskracht in feite onmogelijk is. Im-mers, dwarskracht is de afgeleide vanhet buigend moment. Ineen liggerdeel,waarin de buigende momenten over delengte in grootte veranderen, werkt ookeen dwarskracht. Zijn de buigende mo-mentenoverhetliggerdeelvan constan-te grootte, danwerktdaaringeendwars-kracht.Om dit samenspel in de aanduidingdaarvan totuitdrukking te latenkomen,is het woord afschuifdraagvermogen inge-voerd. In feite is het afschuifdraagver-mogen van een liggerdeel dus de maxi-maalopneembare moment-dwars-krachtcombinatie bij een, over het be-schouwde liggerdeel vari?rend, bui-gend moment.Alvorens een rekenvoorbeeld te behan-delen met betrekking tot het afschuif-draagvermogen van constructiefbeton,wordt hier eerst kort op dit onderwerpzelf ingegaan. Daarmee wordt echtereen vrij moeilijk onderwerp aangesne-den. Waarhet de bedoeling van deze ar-tikelenreeks is depraktijkop eenzo een-voudig mogelijke wijze voor te lichten,zal het afschuifdraagvermogen aan dehand van een eenvoudig model wordenbehandeld. Aan hen, die zich in dezematerie meer hebben verdiept, wordtdaarom begrip gevraagd voor de hier tegeven vereenvoudigde aanpak.Hetafschuifdraagvermogenvan constructiefbetonIn feite kan men, voor de maatgevendeliggerdelen, er van uitgaan dat het af-schuifdraagvermogen is opgebouwd uitde volgende componenten:1. de door de drukzone over te brengenschuifkracht;2. de door de beugels over de schuinescheuren heen te brengen verticalereactie;3. het door het gebogen (geknikte) ver-loop van de voorspankracht ten op-zichte van de liggers gedragen deelvan de belasting;4. de bijdrage van de, op het liggerdeelwerkende, normaal(voorspan)krachtaan het afschuifdraagvermogen.In het navolgende zullen deze compo-nenten kort en in vereenvoudigde vormzodanigworden behandeld, dat daarvanin het rekenvoorbeeld en dus ook in depraktijk gebruik kan worden gemaakt.De bijdrage van de drukzone en derol van de beugelsInfiguur 12.1 is vooreenliggerdeel nabijde oplegging schematisch hetktachten~spel in de grenstoestand bezwijkenweergegeven als er g??n kunstmatigebelasting door voorspanning is. D~schuine scheur AB wordt ge?nitieerddoor het ontstaan van een buigtrek-scheurinAbij het overschrijdenvan hetscheurmoment Mer in snede A.12 1 Kracht~nspe1 nabij de? op1eggmg zondervoorspanningCement 1988 nr. 2 23ICONSTRUCTIEFONTWERP IBEREKENINGDereductievandeverticalereactiein eensne-de tengevolge van.deinvloed van de verticalereactie van de voorspanbelastingBij gebogen voorspanelementen is dezetegengestelde belasting per eenheid vanlengte P/R als Pdegrootte van de trek-kracht van de voorspanelementen is enR de kromtestraal. Bij een geknikt be-loop van voorspanelementen worden~vereenkomstige tegengestelde belas-tmgen opgewekt.De invloed van de normaalkracht tengevolgevan de voorspanningDe invloed van de normaalkracht kanworden beschreven als 'het meer naarhet midden van de overspanning ver-plaatsenvandezone,waarinzich,vanuitbuigtrekscheuren schuin verlopendescheuren ontwikkelen'. Door de voor-odie de scheur maakt met de liggeras.Voor deze hoek kan men veilig aanhou-den eenwaarde van 40?. Hierbij dient de'verschuiving' van de momentenlijnaande gekozenhellingshoekteworden aan-gepast!De rol van .de kunstmatige belas-ting door voorspanningWordt nu een ligger kunstmatig - doormiddel van voorspanning - voorbelast,dan zijn de twee invloeden ten gevolgevan de voorspanbelasting, namelijk deopwaartse c.q. neerwaarte belasting ende normaalkracht, ook van belang voorhet afschuifdraagvermogen. Voor eenuitvoerige behandeling van dit onder-werp zie [5].Bijdrage van de drnkzoneNa uitwerking komt men tot de in fi-guur 12.2 gegeven uitdrukking voor degrootte van de schuifkracht, zoals dezeeerst door Rafla is gegeven. Het betreftde karakteristieke waarde van de lange-duur-schuifkracht bij gelijkmatig ver-deelde belasting. Voor nadere informa-tie over dit onderwerp zie [1] en [2].Hierin is 'tm de grootte van de gemid-delde schuifkracht over de zone Be. Defactor c die groter is dan 1, houdtrekening met het feit dat ook een deelvan de trekzone nog meewerkt aan hetoverbrengen van schuifkrachten(fig. 12.2).Wanneer men deze factoren in rekeningbrengt, komt men, volgens Pruijssers[2], tot de uitdrukking:Degroottevan dedoorde beugelsoverte bren-gen trekkrachtErwordtvanuit gegaandat dewapeningvan de beugels in het bezwijkstadiumvloeit. De over te brengen trekkrachtvolgt dus uit het aantal beugels dat descheur kruist en dus uit de hellingshoekgrootte van de schuifkracht wordt be-paald door:- de grootte van de, op het vlak BCwerkende, drukkracht;- de hoogte hx van de drukzone en dusook van de hoeveelheid (onder)lang-swapening;- de betonkwaliteit.Merk op dat de trekkracht N, dichter bijde oplegging aangrijpt dan de druk-kracht Ne. Hierligtde grondslagvoor de ,.....~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~---,aanpak van de 'verschoven momenten- 12 2~~ .Beschouwd wordt nu de overdrachtvande combinatie moment-dwarskrachtrussen het linker- en rechterliggerdeelvan figuur 12.1, welke delen gescheidenzijn door de schuin verlopende scheurAB. De twee delen zijn met elkaar ver-bonden via:- de doorlopende drukzone BC;- de beugels,dieindezoneAC de schui-ne scheur passeren;- de door de scheurlopende langswape-ning.Het buigend moment wordt door desnede ABC overgebracht via detrekkracht N, in de (onder)langswape-ning, die op een afstand z evenwijdigloopt aan de drukkracht N,; in de druk-zone:In de figuur is hetkrachtenspel rondomde schuine scheur teruggebracht tot datvan drukregels en -diagnonalen mettrekbanden en -verticalen. In feite zalelke drukkracht zich, vanaf de knoop-punten meer over de breedte en hoogtevan de betonconstructie spreiden.Daar-uit resulteren onderandere in een rich-ting loodrecht op de drukdiagonaal,trekkrachten. Trekkrachten in wape-ning die scheuren passeren, zullen zichin de zones achter de scheuren ook overde betondoorsnede spreiden. De figuurgeeft dus een sterke vereenvoudigingvan de werkelijkheid weer!De schuifkracht die in het bezwijkstadiumdoor de drukzone (snede .Be) wordt ove';ge-brachtIn de VB 1974/1984 art. E-S04.2.1wordt, zonder deze als zodanig aan teduiden, de grootte van deze schuif-krachtv",fl meegenomenbij de bepalingvan de dwarskrachtwapening.In relatie met art. E-S04.1 kan menschrijven dat:? ? ? ? Iowaarin: 'ti ~ O,S.fbImmers de schuifspanning 'td waarmeede doorsnede van deze wapening wordt RAFLAbepaald mag verminderd worden met'tI'V :: 06 lid _ d-O,25 rc:::-1Wd )( 100' bede.fl . l/d-25 cernN en mrnIn feite kan de grootte van v",fl niet zoeenvoudig worden benaderd als in hetbetonvoorschrift is gedaan. Immers de2f;:: (" B .. + [. ) N/mmcem24 Cement 1988 nr. 2dIn figuur 12.5 is een waterreservoirafgebeeld dat, vanwege plaatsgebrekboven een andere ruimte moet wordengesitueerd. In dit geval is gekozen vooreen draagconstructie bestaande uitribben h.o.h. 1,20 m, die met de bodem-plaat van het reservoir als T-balkenwerken. De doorsnede van dezeT-balken is dezelfde als die uit vorigevoorbeelden in deze serie. Deoverspanning van de balken is nu 10meter.RekenvoorbeeldDe drukkracht in de drukregel en dusook in BC wordt mede bepaald door degrootte van de voorspankracht P",. Dedrukzone kan dus hoger worden enmeer schuifkracht overbrengen. In deVB 1974/1984 art.F-S04.2 is dit effectverdisconteerd met de waarde 0,15 P",.In de hier gegeven opzet is daarmee re-kening gehouden via de, hiervoor be-handelde, bijdrage V::e,xaanhet afschuif-draagvermogen;3. het verplaatsen van de maatgevendezone ABC in de richtingvanhet mid-den van de overspanning.Hierboven is in het bijzonder ingegaanop het afschuifdraagvermogen van eenvrij opgelegde ligger. Uiteraard geldtdeze aanpakvan deberekeningookvoorstatisch onbepaalde liggers. In deze ge-vallen kunnen de liggerdelen tussen demomentennulpunten aan dezelfde be-rekeningsprocedure worden onder-worpen.Vu __-t X ~o12 4 Kracht~nspel nabij de? opleggmg - ll1etvoorspanningFiguur 12.4 laat zich goed vergelijkenmet figuur 12.1, omdat deze laatste fi-guur het krachtenspel in een kunstma~tig doorvoorspanning belaste ligger laatzien. Inbeidefiguren is de scheurhellinggelijk gehouden, alhoewel die in hetlaatste geval wel geringer zal zijn (350_40?). Men ziet uit de figuren dat hetkrachtenspel rondom de scheur ABC inbeide gevallen nagenoeg gelijk is. Hetverschil tussen beide gevallen bestaatuit:1. het tevens afdragen van belastingdoor de schuin verlopende voorspan-elementen;2. een ander verloop van de druklijnenlinks van de scheur.Men onderscheidt daarin:- drukdiagonaaltjes naar de veranke-ri.ngszone van de onderlangswape-mng;- drukboog naar de oplegging;-drukboog ~aar de verankering van devoorspanmng.Gegevens:Sterkteklasse: B 35Betonstaal: FeB 500,hoofdwapening 0 k 20, beugels 0 k IQ.,--__-~--~~~~-~---,Belastingen:eigen gewicht 10 kN/mwaterbelasting per ligger 50 x 1,2 ~60kN/mIn figuur 12.3 is het verloop van de beu-gelspanningen in de maatgevendeschuine scheur aangegeven voor:- een niet kunstmatig door voorspan-ning voorbelaste ligger;- een kunstmatig door voorspanningvoorbelaste ligger.Men ziet uit deze figuur dat na hetontstaan van de buigtreks~heur de beu-gels eerst onder (trek)belasting komen.Omdat voor ??n bepaald geval de door-snede van de (onder)langswapening, bijtoenemen van de kunstmatige voorbe-lasting door voorspanning, afneemt,wordt de trekband slapper.Dit betekent dat de beugelspanningensterker toenemen per eenheid toene-mend buigend moment (hoek y groter)bij opvoeren van deze kunstmatigevoorbelasting, dat wil zeggen bij toene-men van het ontspanmoment M20(streeplijnen in figuur 12.3).Bij een goe-de dimensionering bereiken de beugelsbij bezwijken de vloeispanning en is de-ze hoek y niet relevant voor de groottevan de bezwijkbelasting.spanning is immers het oorspronkelijkescheurmoment Mer verhoogd met degrootte van het, voor die doorsnede,werkzame ontspanmoment M20?Onder ontspanmoment wordt het(door de nuttige belasting opgewekte)buigend moment verstaan waarbij in deuiterste getrokken vezel van een door-snede de betonspanningjuist nul is.Om nu een buigtrekscheur te initi?ren,is een groter buigend moment nodigdan bij afwezigheid van voorspanning.Ervan uitgaande dat de bezwijkbelas-ting op een niet-voorgespannen en een t-----------~-~-~voorgespannen ligger gelijk is, zullen 12 3 Verloop van dedus bii het opvoerenvan de belasting tot ? beugelspanning als functie:J van het buigend ll1Oll1entbezwijken in de niet-voorgespannen 1. Zonder voorspanningligger dichterbij de oplegging scheuren 2. Met hoge voorspanningontstaan dan in de voorgespannen lig-ger. Dit betekentdus ookdat de voor af-schuiving maatgevende schuine scheu-ren in hetlaatste geval bij eenhogere be-lasting ontstaan.Eris in diezone door devoorspanning als het ware een 'voorbe~lasting' ge?ntroduceerd, waarmee hetafschuifdraagvermogen wordt vergrootten opzichte van het geval zonder voor-spanning.Wordt een snede A op een afstand x uitde oplegging beschouwd, dan is de bijdie 'voorbelasting' behorende, extra op-neembare, dwarskracht V::e,x gelijk aande dwarskrachtin die doorsnede als daarhet buigend moment gelijk is aan M20het zogenaamde ontspanmoment.Men moet nu de maatgevende snede Abepalen wanneer dus een volledig totontwikkeling komende .afschuifscheurzo dicht mogelijk bij de oplegging kanontstaan.Cement 1988 nr. 2 25~ ICONSTRUCTIEFONTWERP IBEREKENINGSm~ 00---k-_---,A----l0:..:.m---_~--...../v ~ 595 - 179 ~ 416 kNS,v. Nodig is, 832 mmz, d.w.z. 5,3 beugel0 k lOindien de hoek ewordt.iangenomenop40?, d?n is de horizontale projectie vanAB (tot de bovenflens) groot:(700 - 175).cotg 40? ~ 625 mmNodig is dus 8,5 beugel per m.Dus beugels Ok 10-120Men ziet dat beugels nodig zijn.yolgens de VB 1974/1984, art.E-504.2.11S:Teneinde een breukzekerheid van 1,7van de ligger te garanderen, is naast devoorspanning in de lniddendoorsnedeook nog 6 Ok 20 nodig.Hiervan worden 4 staven tot op hetsteunpunt doorgevoerd.Men moet nu als volgt te werk gaan.Voor verschillende sneden, op een af-stand x van de oplegging, moeten ach-tereenvolgens worden bepaald:1. Het ontspanmomentMzo en de daarbij be-horende dwarskracht ~c,xVoor een gelijkmatig verdeelde belas-ting qis op een afstand xuitde oplegginghet buigend moment:0,5qlx - 0,5 q:x2v",fl ~ 0,6 . 1,2 . 0,195 . 6,245 . 0,84. 210? 1Q3 N. v",fl ~ 0,74 . 210 . 103 N ~ 155 kNDe dwarskracht is daar q(0,5 1- x).Dit betekentdus dat bij gelijkmatigver-deelde belasting, geldt:1-2 xV ~---'Mcc,x x(l- x) zo2. De bijdrage Vp,v ten gevolge van deopwaarts gerichte belasting door de voor-spanningProVp,v~ R (0,5 1- x)Hierin is Pro aangehouden op:518" 1177 N ~ 610 kN4. De doorde beugelsoverte brengen vertica-le reactie V;,vHieruit volgt:ProR~20,5kN/m3. De door de drukzone over te brengen af-schuifkrachtVc,flOmdat de doorsnede van de langswa-pening nu kleiner is dan in de liggerzonder voorspanning, is nu:dus:102/8' 0,42 ~ 29,8 m.1: 1 ~ 0,85 N/mm2Hieruit volgt dus:lylen ziet dat hier juist dezefde waardeals met behulp van de Rafla-formulewordt gevonden. Het zal duidelijk zijndat men in andere gevallen ook groteverschillen tussen beide methoden kanvinden! Ditblijktinhetbijzonderte gel-den voor liggers door puntlasten belast.v",fl ~ 0,85 . 700 . 300 . 10-3 ~ 179 kNLigger kunstmatig belast doormiddel van voorspanningIn dit geval is gekozen voor dezelfdevoorspanning als toegepast in het voor-beeld [4], dus ??n voorspanelement op-gebouwd uit 7 strengen van 7 draadjesOp 3,6, staaldoorsnede 518 mm2?In deze lniddendoorsnede ligt dit voor-spanelement op 100 mm uit de onder-zijde van de ligger en boven de onder-steuning op 520 mmo De kromtestraal Ris dus:Tabel 1doorsnede A-A12 5 Waterrese~oir op een? ondersteunmg;rekenvoorbeeldb ~ 300mml?'u ~ 1,7 . 70 . 5 ~ 595 kNd ~700mmMaximum afschuifkracht l?'u in het be-zwijkstadium nabij de oplegging:~ 10? 103mmLigger in gewapend betonHier wordt niet ingegaan op de bereke-ning van de wapening in de maatgeven-de lniddendoorsnede: de wapening is 12o k 20. Er wordt vanuit gegaan dat dehelft van deze staven tot over de opleg-ging wordt doorgevoerd.De groottevan ~,fl wordtberekendmetbehulp van de formule van Rafla (fig.12.2), alhoewel deze in feite niet geldtvoor T-balken.In de formule (zie figuur 12.2) is:f ~ 35 + 4 ~ 39 N/mmzJeem . .Voor B 35 is volgens [3]:f-'-~--------~-------Ifi,.~ 1,7 N/mmzX Mzo v;,c,x Vpv v;"fl v.,v L l?'uv",fl ~ {0,6 . 1,2 . 0,195 . 6,25 . 0,97 }(m) (kNm) (kN) (kN) (kN) (kN) (kN) (kN). 210 . 1Q3 0,5 121,3 230 92 155 196 637 5360,75 143,7 176 87 155 196 614 506v",fl ~ 0,85 . 210 . 1Q3 N ~ 179 kN 1,00 164,9 147 82 155 196 580 4761,25 184,7 127 77 155 196 555 446De beugels over AB moeten een 1,50 203,3 112 72 155 196 535 417krachtv.,v leveren, groot:26 Cement 1988 ur. 2Wordt uitgegaan Van een praktischewapening, bestaande uit beugels Ok10-300 en een hellingshoek van descheur van 35", dan is bij het berei-ken van de vloeispanning in de beu-gels:V;,v~0,75' 524' 500, 1O~3~196 kNIn tabel 1 is in de berekening uitgegaanVanverschillende waardenvan x. Tevensis aangegeven de som van de vier com-ponenten van de afschuifkracht, alsme-de dedwarskrachtindeheschouwdezo-ne bij 1,7-voudige belasting, namelijk:1,7 . 70(0,5 1- x)Men ziet uit de tabel dat in alle snedende grootteL van de over te brengen af-schuifkracht in het bezwijkstadiumgroter is dan de daar werkende dwars-krachtv.,. Tenslotte moet mende sterk-te van de drukdiagonaal controleren.Men mag aannemen dat deze sterk ge~noeg is indienv., < 0,25 fcJd (art. F-504.1.).In dit geval is dus:536 < 0,25 . 0,8 . 35 . 300 . 800 . 10-3?Bij smalle ribben moet men vooral ooknagaan ofdevoorspankanalen geenern~stigeverzwakking van de doorsnede ge-ven. Dit is hier niet het geval.Opmerking:De grootte vanhet ontspanmomentMzokan worden bepaald uit de som van:- de groote van de gemiddelde druk-spanning Gcm in de beschouwde door-RectificatieIn het artikel 'Kan herscheurgedrag vancirkelvormige constructies wordenvoorspeld?', geschreven door ir. K. vanBreugel, en verschenen in Cement 1988nr. 1, staat in de paragraaf Discussie enslot op blz. 51 een vervelende fout.In de tweede alinea van de rechter ko-lom staat dat temperatuurspanningeneen ondergeschikte rol spelen in dun-wandige constructies. Dit is - zoals ookuit het artikel blijkt - niet het geval. Erhad dan ook moeten staan:Temperatuur-eigenspanningen spelenin dunwandige constructies een onder~geschikte rol. In dikwandige cilinderskunnen zij een dominante invloed uit-oefenen op het scheurgedrag.Cement 1988 nr. 2snede en het daaruit v?lgend buigendmoment Gcm w"z;- de grootte van de opwaartse belastingvan de voorspanning en het daaruitvolgend buigend moment in de be-schouwde doorsnede, groot:Pro- R (0,5 1.x - 0,5 x2)Voorbeeld:x~ 1 meter.610? W3Gcm ~ - 410. to3 ~ ~ 1,5 N/mm2M ~ - 1,5 . 48,8 . W? . 10-6 ~-72,6kNmProR ~20,5kN/mR~29,8mM ~ - 20,5(5 - 0,5) ~ - 92,3 kNmHet ontspanmoment is dus groot:72,6 + 92,3 ~ 164,9 kNm.ConclusieIn dit artikel is ingegaanop het afschuif~draagvermogen van constructiefbeton.De vier componenten die het afschuif-draagvermogen bepalen zijn, via een-voudige modellen, zodanig behandelddatze voor de praktijk toegankelijk zijn.Aan de hand van een rekenvoorbeeld isduidelijk gemaakt hoe een en andermoet worden aangepakt.Vooral voor zwaar belaste betoncon-structies met relatief kleine overspan-ning geeft kunstmatige voorbelastingdoor middel van voorspanning goedemogelijkheden om het afschuifdraag-vermogen te verzekeren.Men zal zich uiteraard van geval tot ge-val moeten afvragen waar de meest eco-nomische oplossing ligt. Zo kunnen, bijkorte liggers de kosten van de veranke-ringen en de voorspanelementen dus-danig hoog worden, dat voorspanningeconomisch in het nadeel komt. Maarookdan geeft de hier gegeven aanpak demogelijkheid om tot een afweging tekomen.Uiteraard is hier slechts ??n geval vanvoorspanbelasting uitgewerkt. Tech-nisch gezien is het interessant om devoorspanbelasting ten opzichte van hethier gegeven voorbeeld belangrijk tevergroten (bijvoorbeeld tot een 2~voudige waarde).Het afschuifprobleem speelt dan geenrol meer omdat - onder bezwijkbelas-ting - de door buigtrekspanningen ge-scheurde zonevan de liggereen beperk-te lengte heeft. .LiteratuUl'1. AS.G.Bruggeling m.m.v. W.A de Bruijn,Theorie en praktijk van het gewapend beton;Professor Bakkerfonds2. A.F.Pruijssers, Shear resistance ofbeams ba-sed on the effectiveshear depth; Report 5-86-1,Stevin Laboratory, Delft. Zie ook[1], pag. 1297e.v.3. CUR, Nieuwe sterkteklassen, Consequentiesvoor de YB 1974/1984; Cement 1987 nr. 114. AS.G.Bruggeling, Constructief beton XI;Cement, 1988 nr. 15. AS.G.Bruggeling, Theorie en praktijk vanhet voorgespannen beton; Professor Bakker-fonds27