48? CEMENT 2 2024 RUBRIEK REKENEN IN DE PRAKTIJK Dit is de 25e aflevering in de Cement-rubriek 'Rekenen in de praktijk'. In deze rubriek staat telkens één rekenopgave uit de praktijk centraal. De rubriek wordt samengesteld door een werkgroep, bestaande uit: Willem van Heeswijk (Heijmans), Dennis Heijl (Heijmans), Friso Janssen (Kroes), Lonneke van Haalen (ABT), Matthijs de Hertog (Nobleo), Jorrit van Ingen (WSP), Jacques Linssen (redactie Cement) en Rick van Middelkoop (Witteveen+Bos). De artikelen in deze rubriek worden telkens opgesteld door één van de leden van deze werkgroep. Het wordt vervol- gens gereviewd door de andere leden en door minimaal één senior adviseur binnen het bedrijf van de opsteller. Ondanks deze zorgvuldigheid, is de gepresenteerde rekenme- thode de visie van een aantal individuen. In knopen is een juiste detaillering van de wapening essentieel. Die detaillering moet goed aansluiten bij de krachtswerking in de knoop. Voor een goed inzicht van die krachts- werking kan een staafwerkmodel uitkomst bieden. Aan de hand van een rekenvoorbeeld is de detaillering uitgewerkt. Daarbij is naast het vakwerkmodel ook gekeken naar de krachtswerking volgens Bernoulli. DICHTDRAAIENDE HOEK MET STAAFWERKMODEL Case Deze case richt zich op de krachtswerking van een dichtdraaiende hoek op basis van een staafwerkmodel. In de case is gebruikgemaakt van een constructie met geprefabriceerde liggers op een betonsloof met een in het werk gestorte monoliete verbinding (natte knoop). CEMENT 2 2024 ?49 rekenen in de praktijk (25) Beschrijving case In deze case wordt de wapening in een knoop beschouwd. Het betreft een discontinuïteit in de geom- etrie ('D-gebied') en wordt beschouwd op basis van het staafwerkmodel volgens NEN-EN 1992-1-1 Bijlage J, die voor civiele constructies in de nationale bijlage van NEN-EN 1992-2 normatief is verklaard. Bij de uitwerking is ook een vergelijking gemaakt indien de snedekrachten worden uitgelezen op de dag (waarbij het moment niet kleiner is dan 0,65 M max in het steun- punt), en op een afstand d volgens NEN-EN 1992-1-1 5.3.2.2 (3). Veelal wordt voor dit type knoop geen UITGANGS­ PUNTEN hoogte dek 800 mm werkende hoogte sloof 950 mm (totaal 1150 mm) milieuklasse XC4/XD3/XF4 toelaatbare scheurwijdte 0,20 mm (met c nom = 65 mm en k x = 1,0) betonsterkteklasse C35/45 Figuur 1 Principe van de bouwfasering staafwerkanalyse uitgevoerd, maar wordt de wapening bepaald op basis van Bernoulli. De hoofdkrachtswerking van de constructie is inzich- telijk gemaakt met een FEM-model waarin de bouw- fasering is opgenomen (fig. 1). Hierbij is rekening gehouden met statische en variabele belastingen, de bouwfasering en het 'kisteffect'. In dit voorbeeld wordt een enkele (vereenvoudigde) belastingcombinatie beschouwd die leidt tot een dichtdraaiend moment. Voor de uitwerking zijn sneden uitgelezen op de 'dag' en op een afstand z gezien vanuit het gekozen vakwerkmodel (fig. 2). Daarnaast is ter informatie Figuur 2 Specificatie van de sneden 50? CEMENT 2 2024 Bij berekening van de capaciteit en de staalspanning is de normaaldrukkracht volgens tabel 1 en 2 in rekening gebracht. De onderliggende doorsnedeberekeningen maken geen deel uit van dit artikel. Berekening volgens staafwerkmodel Op basis van een staafwerkmodel wordt de krachts- werking inzichtelijk (fig. 4). In het vakwerk zijn de trekbanden gekozen op 100 mm van de rand van het beton. Dit is enigszins conservatief, maar biedt naast de dekking nog ruimte voor dwarswapening. De druk - staven worden in eerste instantie gekozen met een hoogte van 100 mm, met het hart op 50 mm vanaf de rand van het beton. Het gaat hier om aannamen. (ten behoeve van de dwarskracht) een snede op een afstand d van de dag gegeven. Een uitsnede van de knoop uit het model is weergegeven in figuur 3. De gehanteerde snedekrachten volgen uit het FEM-model en zijn weergegeven in tabel 1 en 2. Berekening volgens 'Bernoulli' Op basis van de doorsnedeberekening wordt de beno- digde wapening bepaald. Hierbij is uitgegaan van de snedekrachten op de dag (conform NEN-EN 1992-1-1 5.3.2.2 (3)). Hieruit volgt de wapeningsconfiguratie zoals weergegeven in tabel 3, waarbij de ligging van de staven gelijk is gekozen aan het staafwerkmodel op y = 100 mm (y = h ? d; d dek = 700 mm, d sloof = 850 mm. Figuur 3 Uitsneden van de knoop Tabel 1?Snedekrachten UGT - per meter snede moment M [kNm/m]dwarskracht V [kN/m]normaalkracht N [kN/m] dek - dag 626493 ?380 dek - d 359450 dek - z 386456 sloof - dag 630356 ? 600 sloof - d 351308 sloof - z 381315 Tabel 2?Snedekrachten BGT - per meter snede moment M [kNm/m]dwarskracht V [kN/m]normaalkracht N [kN/m] dek - dag 416335 ? 266 dek - d 189305 dek - z 220309 sloof - dag 416251 ? 414 sloof - d 217217 sloof - z 239222 CEMENT 2 2024 ?51 rekenen in de praktijk (25) Aan het eind van de berekening moet worden gecon- troleerd of dit inpasbaar is of dat hier juist nog enige optimalisatie mogelijk is. Merk op dat de staafwerkmodellen, zoals getekend in NEN-EN 1992-1-1 Bijlage J.2 geen dwarskracht af kunnen dragen. Op basis van de snedekrachten, ditmaal uitgelezen op snede z, zijn de staafkrachten berekend (fig. 4). Voor de trekband zijn in de figuur ook de BGT-waarden gegeven. De hoogte van de drukstaven en de wape- ningsconfiguratie zijn weergegeven in respectievelijk tabel 4 en 5. Er is in dit artikel niet expliciet getoetst aan NEN-EN 1992-1-1 artikelen 6.5.2 en 6.5.3. Figuur 4 Staafwerkmodel met knoop en staafnummering (links) en staafkrachten (rechts). Merk op dat ten gevolge van de bouwfasering de verticale drukdiagonaal (d) naar achteren ligt ten opzichte van de voorzijde van de sloof Tabel 3?Wapening en resultaten volgens Bernoulli snede buigwapening M Rd [kNm]? s bij M Ed [MPa]u.c. UGT BGT ? s Mrep [MPa]scheurwijdte dek - dag Ø32-300 + Ø25-300 ? 13501900,461320,20 sloof - dag Ø25-150 ? 14001580,441050,17 Tabel 4?Hoogte drukstaven (berekend volgens NEN-EN1991-1-1 vergelijking 6.60 t/m 6.62) staaf N [kN] knoop nk n [-]h drukstaaf [mm]knoop j k j [-]h drukstaaf [mm] a 675 I0,7544,9VII1,0033,6 b 769 VI0,8545,1VII1,0038,3 c 1130 III0,7575,1VII1,0056,3 d 897 VIII0,8552,6VII1,0044,7 e 483 V0,7532,1VII1,0024,1 Tabel 5?Wapening en resultaten op basis van staafwerkmodel snede buigwapening N Rd [kN]? s bij M Ed [MPa]u.c. UGT BGT ? s Mrep [MPa]scheurwijdte dek (staaf 1) Ø32-300 + Ø25-300 18782010,461200,20 sloof (staaf 3) Ø25-150 14242110,491270,21 1) 1) Uit de berekening van de drukstaven blijkt dat de eerder gekozen hoogte vrij ruim is. De spanningen ten gevolge van het moment kunnen worden gereduceerd met circa 1 - 650/670 = 3,0%. Daarnaast is de factor k x nog niet in rekening gebracht. Dit is voldoende om uit te komen een acceptabele scheurwijdte. I II 1 a c b d e 2 III 3 4 IV V VIIIVII VI 52? CEMENT 2 2024 Wapeningsschets en bepaling van de overlappingslas Op basis van het staafwerkmodel is de wapenings- schets opgesteld (fig. 5). Aan de hand van deze schets worden ook de randvoorwaarden voor de te plaatsen wapening en de overlappingslas duidelijk. Hieruit volgt onder andere dat maar een beperkte lengte beschik - baar is voor de overlapping. De overlapping is deels verticaal, waarbij altijd mag worden gerekend met goede aanhechting, en deels horizontaal en ligt in de zone met 'slechte' aanhech- ting. (Er kan daarnaast overwogen worden beide delen separaat te beoordelen op capaciteit.) Om zeker te zijn van voldoende overlappingslengte, is hier gerekend met 'slechte' omstandigheden. Daarnaast is de spanning in de staven Ø25 bepaald op basis van de kracht in staaf (2), omdat de overlapping en wisseling van de wapeningsconfiguratie over zowel staaf (2) als (3) loopt (voor nummering zie figuur 4). De overlapping is dus berekend op de een staafkracht van 867 kN. Voor staven Ø25 en Ø32 zijn de parameters in tabel 5 van toepassing volgens NEN-EN1992-1-1 8.4.4 en 8.7.3. De overlappingslengten zijn berekend in tabel 7, uit- gaande van de ?-parameters in tabel 6. De overlappingen moeten zijn voorzien van dwars- wapening volgens NEN-EN 1992-2 8.7.4.1, aangevuld met VARCE 11, vraag 38 [1]. In dit geval zijn de staven ? 20 mm, overlapt 100% van de staven en is de tussen- afstand van de staven kleiner dan 10Ø. De dwarswa- pening behoort daarom te zijn gevormd door beugels of haarspelden die in de kern van de doorsnede zijn verankerd. Figuur 5 Schets hoofdtrekwapening Tabel 6?? -parameters parameter aanduidingwaardetoelichting vorm van de staaf ? 1 1,0 Formules Rekenen in de prak?jk (25) Lopende tekst 22 st 32 / 2 402 mm 4 A = = 0 d 1060 355 mm 33 l l == = = 22 s;ops 4 )Ø(12:\f 4 12 452 mm h.o.h. c\b 115 mm 4 A s 32 65 12 93 mm 2 y = ++ = In tabel 6 + > = < > ? d 32 25 150 2 Ø 3 25 61 75 2 3 c = = d Ø 60 3 25 1 0, 15 1 0, 15 1, 6 1, 00 Ø3 25 c In tabel 7 =3 2 867 10 265 N/mm 3272 =3 2 867 10 201 N/mm 4317 = sd b,rqd bd Ø 4 l f 25 265 702 mm 4 2, 36 betondekking ? 2 1,0 Formules Rekenen in de prak?jk (25) Lopende tekst 22 st 32 / 2 402 mm 4 A = = 0 d 1060 355 mm 33 l l == = = 22 s;ops 4 )Ø(12:\f 4 12 452 mm h.o.h. c\b 115 mm 4 A s 32 65 12 93 mm 2 y = ++ = In tabel 6 + > = < > ? d 32 25 150 2 Ø 3 25 61 75 2 3 c = = d Ø 60 3 25 1 0, 15 1 0, 15 1, 6 1, 00 Ø3 25 c In tabel 7 =3 2 867 10 265 N/mm 3272 =3 2 867 10 201 N/mm 4317 = sd b,rqd bd Ø 4 l f 25 265 702 mm 4 2, 36 opsluiting door dwarswapening ? 3 1,0door keuze van de wapening in de tweede laag is het wel mogelijk hier een gunstig effect te realiseren opsluiting door dwarsdruk ? 5 1,0geen (significante) dwarsdruk aanwezig overlappingspercentage ? 6 1,5100% overlapping 2 3 CEMENT 2 2024 ?53 rekenen in de praktijk (25) De benodigde dwarswapening per zijde bedraagt: Formules Rekenen in de prak?jk (25) Lopende tekst 22 st 32 / 2 402 mm 4 A = = 0 d 1060 355 mm 33 l l == = = 22 s;ops 4 )Ø(12:\f 4 12 452 mm h.o.h. c\b 115 mm 4 A s 32 65 12 93 mm 2 y = ++ = In tabel 6 + > = < > ? d 32 25 150 2 Ø 3 25 61 75 2 3 c = = d Ø 60 3 25 1 0, 15 1 0, 15 1, 6 1, 00 Ø3 25 c In tabel 7 = 3 2 867 10 265 N/mm 3272 = 3 2 867 10 201 N/mm 4317 = sd b,rqd bd Ø 4 l f 25 265 702 mm 4 2, 36 En moet worden geplaats in de zone: Formules Rekenen in de prak?jk (25) Lopende tekst 22 st 32 / 2 402 mm 4 A = = 0 d 1060 355 mm 33 l l == = = 22 s;ops 4 )Ø(12:\f 4 12 452 mm h.o.h. c\b 115 mm 4 A s 32 65 12 93 mm 2 y = ++ = In tabel 6 + > = < > ? d 32 25 150 2 Ø 3 25 61 75 2 3 c = = d Ø 60 3 25 1 0, 15 1 0, 15 1, 6 1, 00 Ø3 25 c In tabel 7 = 3 2 867 10 265 N/mm 3272 = 3 2 867 10 201 N/mm 4317 = sd b,rqd bd Ø 4 l f 25 265 702 mm 4 2, 36 De toegepaste dwarswapening, bestaande uit beugels of haarspelden bedraagt: Formules Rekenen in de prak?jk (25) Lopende tekst 22 st 32 / 2 402 mm 4 A = = 0 d 1060 355 mm 33 l l == = = 22 s;ops 4 )Ø(12:\f 4 12 452 mm h.o.h. c\b 115 mm 4 A s 32 65 12 93 mm 2 y = ++ = In tabel 6 + > = < > ? d 32 25 150 2 Ø 3 25 61 75 2 3 c = = d Ø 60 3 25 1 0, 15 1 0, 15 1, 6 1, 00 Ø3 25 c In tabel 7 = 3 2 867 10 265 N/mm 3272 = 3 2 867 10 201 N/mm 4317 = sd b,rqd bd Ø 4 l f 25 265 702 mm 4 2, 36 De toegepaste ligging y van de hoofdwapening is daarmee: Formules Rekenen in de prak?jk (25) Lopende tekst 22 st 32 / 2 402 mm 4 A = = 0 d 1060 355 mm 33 l l == = = 22 s;ops 4 )Ø(12:\f 4 12 452 mm h.o.h. c\b 115 mm 4 A s 32 65 12 93 mm 2 y = ++ = In tabel 6 + > = < > ? d 32 25 150 2 Ø 3 25 61 75 2 3 c = = d Ø 60 3 25 1 0, 15 1 0, 15 1, 6 1, 00 Ø3 25 c In tabel 7 = 3 2 867 10 265 N/mm 3272 = 3 2 867 10 201 N/mm 4317 = sd b,rqd bd Ø 4 l f 25 265 702 mm 4 2, 36 Uit de eerdere aanname voor het staafwerkmodel, dat de trekband op 100 mm vanaf het beton is gesche- matiseerd, volgt dat er eventueel nog ruimte is voor optimalisatie. De doorndiameter van de ombuiging in de overlap- pingslas is in dit artikel niet verder uitgewerkt (NEN- EN 1992-1-1 8.3). In combinatie met de borging door haarspelden kan er in eerste instantie vanuit worden gegaan dat een doorndiameter van 5Ø (tabel 8.1Na) met een dwarsstaaf ? Ø binnen de ombuiging voldoet. Conclusie Uit de berekening blijkt dus dat de spanningen (beperkt) hoger zijn dan berekend op basis van Bernoulli. Dit is te verklaren door de volgende effecten: 1. De staafafstanden zijn vastgelegd in de uitgangs- punten en niet geoptimaliseerd voor de situatie. 2. De in rekening gebrachte snedekrachten zijn hoger door het uitlezen van een net iets andere snede. De gehanteerde uitgangspunten volgens NEN-EN 1992-1-1 5.3.2.2(3) en het uitlezen op de dag geven dus Tabel 7?Berekende overlappingslengten (op basis van staafwerkmodel) Ø25 Ø32 ? sd Formules Rekenen in de prak?jk (25) Lopende tekst 22 st 32 / 2 402 mm 4 A = = 0 d 1060 355 mm 33 l l == = = 22 s;ops 4 )Ø(12:\f 4 12 452 mm h.o.h. c\b 115 mm 4 A s 32 65 12 93 mm 2 y = ++ = In tabel 6 + > = < > ? d 32 25 150 2 Ø 3 25 61 75 2 3 c = = d Ø 60 3 25 1 0, 15 1 0, 15 1, 6 1, 00 Ø3 25 c In tabel 7 =3 2 867 10 265 N/mm 3272 =3 2 867 10 201 N/mm 4317 = sd b,rqd bd Ø 4 l f 25 265 702 mm 4 2, 36 (volgend uit Ø25-150) Formules Rekenen in de prak?jk (25) Lopende tekst 22 st 32 / 2 402 mm 4 A = = 0 d 1060 355 mm 33 l l == = = 22 s;ops 4 )Ø(12:\f 4 12 452 mm h.o.h. c\b 115 mm 4 A s 32 65 12 93 mm 2 y = ++ = In tabel 6 + > = < > ? d 32 25 150 2 Ø 3 25 61 75 2 3 c = = d Ø 60 3 25 1 0, 15 1 0, 15 1, 6 1, 00 Ø3 25 c In tabel 7 =3 2 867 10 265 N/mm 3272 =3 2 867 10 201 N/mm 4317 = sd b,rqd bd Ø 4 l f 25 265 702 mm 4 2, 36 (volgend uit Ø32-300 + Ø25-300) Formules Rekenen in de prak?jk (25) Lopende tekst 22 st 32 / 2 402 mm 4 A = = 0 d 1060 355 mm 33 l l == = = 22 s;ops 4 )Ø(12:\f 4 12 452 mm h.o.h. c\b 115 mm 4 A s 32 65 12 93 mm 2 y = ++ = In tabel 6 + > = < > ? d 32 25 150 2 Ø 3 25 61 75 2 3 c = = d Ø 60 3 25 1 0, 15 1 0, 15 1, 6 1, 00 Ø3 25 c In tabel 7 =3 2 867 10 265 N/mm 3272 =3 2 867 10 201 N/mm 4317 = sd b,rqd bd Ø 4 l f 25 265 702 mm 4 2, 36 l 0 = ? 1 ?2 ?3 ?5 ?6 lb,rqd Formules Rekenen in de prak?jk (25) Lopende tekst 22 st 32 / 2 402 mm 4 A = = 0 d 1060 355 mm 33 l l == = = 22 s;ops 4 )Ø(12:\f 4 12 452 mm h.o.h. c\b 115 mm 4 A s 32 65 12 93 mm 2 y = ++ = In tabel 6 + > = < > ? d 32 25 150 2 Ø 3 25 61 75 2 3 c = = d Ø 60 3 25 1 0, 15 1 0, 15 1, 6 1, 00 Ø3 25 c In tabel 7 =3 2 867 10 265 N/mm 3272 =3 2 867 10 201 N/mm 4317 = sd b,rqd bd Ø 4 l f 25 265 702 mm 4 2, 36 = 1,0 · 1,0 · 1,0 · 1,0 · 1,5 · 702 ? 1060 mm 32 201 682 mm 4 2, 36 = 1,0 · 1,0 · 1,0 · 1,0 · 1,5 · 682 ? 1030 mm een iets gunstiger resultaat. De afwijking is echter klein en er is nog ruimte voor optimalisatie. Wel is inzichte- lijk dat de plaats van de wapening afhankelijk is van de detaillering. De hoofdtrekwapening kan niet in de eerste laag worden gekozen, dit is van invloed op het resultaat van de berekening. Voor het kiezen van de positie voor het uitlezen van de snedekrachten geeft het staafwerkmodel wel extra inzicht. Het uitlezen moeten dus eigenlijk op de locatie van de verticale drukdiagonaal. Ook geeft Plates and FEM van Blauwendraad [2] handvatten waarin de resultante van de oplegkracht op circa 1/6 is gekozen achter het aansluitende vlak. Uitgaande van een snede juist achter de dag kan dan wel gebruik worden gemaakt van de theorie van Bernoulli en is het dus niet altijd nodig om een staaf - werkmodel te maken. Het maken van een staafwerk - model is wel altijd aanbevolen bij twijfel, complexere vormen of wisseling van constructieprincipe. LITERATUUR 1 VARCE 11, vraag 38 - Opmerking t.a.v. van de vertaling van NEN-EN 1992-1-1. Cement 2017/4. 2 Blaauwendraad, J., Plates and FEM, Surprises and Pitfalls. Springer Science+ Business Media B.V., 2010.