Dwarskracht3200990DwarskrachtIn de serie met rekenvoorbeelden voor de Eurocode 2 1)is in dit artikel dwarskracht aan de beurt. Aan de handvan vier voorbeelden wordt toegelicht hoe de dwars-krachtweerstand en de benodigde dwarskrachtwape-ning moet worden berekend volgens de Eurocode 2.Rekenvoorbeelden bij Eurocode 2 (4)VRd,c = [CRd,ck(100?l fck)1/3+ k1scp]bw dmet als minimum (EC2; art. 6.2.1 vgl. (6.2b)):VRd,c = (?min + k1scp)bwdwaarin (EC2; art. 6.2.1 vgl. (6.3N) & NB):?min = 0,035k3/2fck1/2enk = 1 +____200____d= 2,0Voor d = 175 mm is k = 2,0. Met fck= 40 N/mm2is vmin= 0,626.In de uitdrukkingen is CRd,c= 0,18/?c= 0,18/1,5 = 0,12 en k1=0,15 (EC2; art. 6.2.1 & NB). Echter, omdat voor de langswape-ningsverhouding geldt ?l= Asl/ (bwd) is deze ?l= 0 omdat Asl=0 (geen langswapening in de vorm van betonstaal aanwezig).Dit betekent dat de berekende vminmag worden aangehouden.Rekenvoorbeeld 1 (EC2, par.6.2)In het eerste voorbeeld wordt de dwarskrachtweerstand VRd,cberekend van voorgespannen balk zonder dwarskrachtwapening.UitgangspuntenDe balk heeft een rechthoekige dwarsdoorsnede metbw= 100 mm, h = 200 mm en d = 175 mm.De betonsterkteklasse is C40/50.Betondrukspanning ter hoogte van het zwaartepunt van dedoorsnede ten gevolge van de voorspanning: scp= 5,0 N/mm2(druk).De balk is niet voorzien van betonstaal, noch als langswape-ning, noch als dwarskrachtwapening.UitwerkingRekenwaarde van de betontreksterkte (EC2; art. 3.1.6(2) vgl.(3.16) en tabel 3.1):fctd =act fctk,0,05_______?c=1 · 2,5______1,5= 1,66 N/mm2Als de doorsnede gescheurd is door buiging (EC2; art. 6.2.2 envgl. (6.2a)):1) De artikelenserie is gebaseerd op het Engelstalige origineel `Eurocode 2 - WorkedExamples' van het Europese Betonplatform en is vertaald en bewerkt door dr.ir.drs.René Braam (TU Delft, fac. CiTG) en afgestemd met Voorschriftencommissie 20.bw = 100Aph=200d=1751Rekenvoorbeelden EC2Dwarskracht 32009 91Dan is:VRd,c= (?min+k1scp)bwdd= (0,626 + 0,15 · 5) · 100 · 175 = 24,08·103NIn balkdelen die niet door buiging zijn gescheurd, is de dwars-krachtweerstand begrensd door de treksterkte van het beton.Op basis van de toelaatbare hoofdtrekspanning volgt (EC2; art.6.2.2(2) vgl. (6.4)):VRd,c =Ibw___S___________f2ctd + alscp fctdI =1___12bh3=1___12· 100 · 2003= 66,66 · 103mm4S = 100 · 100 · 50 = 500 · 103mm3Als wordt uitgegaan van al= 1, volgt:VRd,c =66,66 · 106· 100______________500 · 103_________________(1,66)2+ 1 · 5,0 · 1,66 = 44,33 · 103NRekenvoorbeeld 2 (EC2, par.6.2)In het tweede voorbeeld wordt de dwarskrachtweerstand bere-kend van een gewapende betonbalk met een T-vormige dwars-doorsnede voorzien van dwarskrachtwapening. Verondersteld isdat een berekening heeft aangetoond dat de dwarskrachtweer-stand van alleen het `beton' (VRd,c) ontoereikend is. Berekendwordt de dwarskrachtweerstand van de dwarskrachtwapening,rekening houdend met de voorwaarde dat de weerstand van debetondrukdiagonalen niet mag worden overschreden.UitgangspuntenAfmetingen balk:bw= 150 mmh = 600 mmd = 550 mmz = 500 mmVerticale beugels:staafdiameter 12 mm; dubbelsnedig (Asw= 226 mm2);beugelafstand s = 150 mm;betonstaal B500.De berekening wordt uitgevoerd voor betonsterkteklassenC30/37, C40/50 en C90/105.Uitwerking betonsterkteklasse C30/37fck= 30 N/mm2; fcd= fck/ 1,5 = 20 N/mm2Sterktereductiefactor voor beton gescheurd door dwarskracht(EC2; art. 6.2.3 & NB; vgl. (6.6N)):?1 = ? = 0,6 (1 fck____250)= 0,6 (1 30____250)= 0,528Kies de hoek tussen de drukdiagonaal en de as van de liggerzodanig dat een optimum wordt gevonden; de dwarskracht-weerstand geleverd door de verticale dwarskrachtwapening isgelijk aan de weerstand van de drukdiagonalen (EC2; art. 6.2.3& NB; vgl. (6.8) en (6.9)):VRd,s =Asw____sz fywd cot? =Asw____sz fywdcos?____sin?VRd,max =acwbwz?1 fcd__________cot? + tan?= acwbwz?1 fcd sin? cos?VRd,s= VRd,maxvoor een hellingshoek waarvoor geldt:sin2? =Asw fywd_______bws?1 fcdacw= 1 voor niet-voorgespannen constructies (NB)Hierbij moet worden voldaan aan de volgende voorwaarde metbetrekking tot de hellingshoek ? (EC2; art. 6.2.3 vgl. (6.7N))1 < cot? < 2,5 dus is ? > 21,8° en ? < 45°sin2? =226 · 435_________________150 · 150 · 0,528 · 20= 0,414Uit sin? = 0,643 volgt ? = 40° en cot? = 1,19.Dan is de dwarskrachtweerstand:VRd,s =Asw____sz fywd cot? =226____150500 · 435 · 1,19 = 390,0 ·103NUitwerking betonsterkteklasse C60/75fck= 60 N/mm2; fcd= fck/ 1,5 = 40 N/mm2Sterktereductiefactor (EC2; art. 6.2.3 & NB; vgl. (6.6N)):1 Dwarsdoorsnede rechthoekige voorgespan-nen balk uit rekenvoorbeeld 1(dimensies mm)2 Dwarsdoorsnede van gewapende T-balk uitrekenvoorbeeld 2 (dimensies mm)AfkortingenEC2 = NEN-EN 1992-1-1NB = Nationale Bijlagebw = 150h=600d=550As2Dwarskracht3200992OpmerkingIn de berekeningen is uitgegaan van een spanning in de dwars-krachtwapening gelijk aan fyd/ 1,15 = 435 N/mm2. Als voor dezespanning een waarde kleiner dan 0,8fyk= 400 N/mm2wordtaangehouden, dan mag voor ?1een gunstiger waarde wordenaangehouden (EC2; art. 6.2.3 & NB):voor fck< 60 N/mm2: ?1 = 0,6voor fck> 60 N/mm2: ?1 = 0,9 fck____200> 0,5Rekenvoorbeeld 3 (EC2, par.6.2)In het derde voorbeeld wordt dwarskrachtwapening berekend diebenodigd is in een gewapende betonbalk met rechthoekigedwarsdoorsnede om een gegeven rekenwaarde van de dwars-kracht VEdop te kunnen nemen.UitgangspuntenAfmetingen balk:bw= 200 mmh = 800 mmd = 750 mmz = 675 mmVerticale beugels; betonstaal B500.UitwerkingKies de hoek tussen de drukdiagonaal en de as van de liggerzodanig dat een optimum wordt gevonden; de dwarskrachtweer-stand te leveren door de verticale dwarskrachtwapening is gelijkaan de weerstand van de drukdiagonalen (EC2; art. 6.2.3 & NB;vgl. (6.8) en (6.9)):VRd,s = VEdVRd,max =acwbwz?1 fcd__________cot? + tan?= acwbwz?1 fcd sin? cos? = 0,5 acwbwz?1 fcdsin2?VRd,s= VRd,maxofwel VEd= VRd,maxvoor een hellingshoek:? =1__2arcsin2VEd__________acw?1 fcdbwzwaarin voor de hellingshoek ? geldt (EC2; art. 6.2.3 vgl. (6.7N)):1 < cot? < 2,5 dus ? > 21,8° en ? < 45°acw= 1 voor niet-voorgespannen constructies (NB)?1 = ? = 0,6 (1 fck____250)= 0,6 (1 60____250)= 0,456VRd,s= VRd,maxvoor een hellingshoek waarvoor geldt:sin2? =226 · 435_________________150 · 150 · 0,456 · 40= 0,240Hieruit volgt ? = 29,3° en cot? = 1,78.De dwarskrachtweerstand is:VRd,s =Asw____sz fywd cot? =226____150500 · 435 · 1,78 = 583,3 ·103NOpmerkingHet kiezen van een kleine waarde voor de hellingshoek ? vande betondrukdiagonalen leidt ertoe dat de momentenlijn overeen relatief grote afstand moet worden verschoven. Voor verti-cale beugels (a = 90°) is deze afstand (EC2 art. 9.2.1.3(2)):al =z__2cot?Opgemerkt wordt dat de uitdrukking voor de afstand waarovermoet worden verschoven is afgeleid met een staafwerkmodelmet volledige schuifdekking omdat EC2 geen `beton-aandeel' inrekening brengt als dwarskrachtwapening vereist is (zie voor hetbegrip `volledige schuifdekking' ook de toelichting bij NEN 6720art. 8.1.1 en VARCE vraag 32 in Cement 1992/11).EC2 staat toe de `verschuivingsregel' te baseren op al= d, onaf-hankelijk van de grootte van de hoek ?. Dit is een meestal conser-vatieve waarde. Immers, de grootste verschuiving treedt op voorcot? = 2,5. Dan is volgens de theorie al= 1,25z. Met z = 0,9d volgtal= 1,13z, hetgeen slechts beperkt groter is dan al= d.Uitwerking betonsterkteklasse C90/105fck= 90 N/mm2; fcd= fck/ 1,5 = 60 N/mm2Sterktereductiefactor (EC2; art. 6.2.3 & NB; vgl. (6.6N)):?1 = ? = 0,6 (1 fck____250)= 0,6 (1 90____250)= 0,384VRd,s= VRd,maxvoor een hellingshoek waarvoor geldt:sin2? =226 · 435_________________150 · 150 · 0,384 · 60= 0,190Hieruit volgt ? = 25,8° en cot? = 2,07.De dwarskrachtweerstand is:VRd,s =Asw____sz fywd cot? =226____150500 · 435 · 2,07 = 678,3 ·103NRekenvoorbeelden EC2Dwarskracht 32009 933 Dwarsdoorsnede gewapende rechthoekigebetonbalk uit rekenvoorbeeld 3(dimensies mm)Betonsterkteklasse C60/75 en VEd= 900 kNfck= 60 N/mm2; fcd= fck/ 1,5 = 40 N/mm2Sterktereductiefactor (EC2; art. 6.2.3 & NB; vgl. (6.6N)):?1 = ? = 0,6 (1 fck____250)= 0,6 (1 60____250)= 0,456? =1__2arcsin2 · 900 · 103____________________1 · 0,456 · 40 · 200 · 675= 23,5°Dan is cot? = 2,30.Asw____s=VEd________zfywd cot?=900 · 103_____________675 · 435 · 2,30= 1,33 mm2/ mmPas bijvoorbeeld toe dubbelsnedige beugels Ø12-170 mm(1,33 mm2/mm)De bijkomende trekkracht in de langswapening ten gevolge vande dwarskracht is (EC2; art. 6.2.3(7)):?Ftd = 0,5 VEd (cot? cota)Voor a = 90° (verticale dwarskrachtwapening) is:?Ftd = 0,5 · 900 · 103· 2,30 = 1035 · 103NBetonsterkteklasse C90/105 en VEd= 1200 kNfck= 90 N/mm2; fcd= fck/ 1,5 = 60 N/mm2Sterktereductiefactor (EC2; art. 6.2.3 & NB; vgl. (6.6N)):?1 = ? = 0,6 (1 fck____250)= 0,6 (1 90____250)= 0,384? =1__2arcsin2 · 1200 · 103____________________1 · 0,384 · 60 · 200 · 675= 25,2°Dan is cot? = 2,12.Asw____s=VEd________zfywd cot?=1200 · 103_____________675 · 435 · 2,12= 1,93 mm2/ mmPas bijvoorbeeld toe dubbelsnedige beugels Ø12-110 mm(2,06 mm2/mm)De bijkomende trekkracht in de langswapening ten gevolge vande dwarskracht is (EC2; art. 6.2.3(7)):?Ftd = 0,5 VEd (cot? cota)Voor a = 90° (verticale dwarskrachtwapening) is?Ftd = 0,5 · 1200 · 103· 2,12 = 1272 · 103NBetonsterkteklasse C30/37 en VEd= 600 kNfck= 30 N/mm2; fcd= fck/ 1,5 = 20 N/mm2Sterktereductiefactor voor beton gescheurd door dwarskracht(EC2; art. 6.2.3 & NB; vgl. (6.6N)):?1 = ? = 0,6 (1 fck____250)= 0,6 (1 30____250)= 0,528? =1__2arcsin2 · 600 · 103____________________1 · 0,528 · 20 · 200 · 675= 28,7°Dan is cot? = 1,83.Asw____s=VEd________zfywd cot?=600 · 103_____________675 · 435 · 1,83= 1,12 mm2/ mmPas bijvoorbeeld toe dubbelsnedige beugels Ø12-200 mm(1,13 mm2/mm)De bijkomende trekkracht in de langswapening ten gevolge vande dwarskracht is (EC2; art. 6.2.3(7)):?Ftd = 0,5 VEd (cot? cota)Voor a = 90° (verticale dwarskrachtwapening) is?Ftd = 0,5 · 600 · 103· 1,83 = 549 · 103NDeze bijkomende trekkracht mag ook worden bepaald met de`verschuivingsregel' voor de momentenlijn. Voor elementenmet dwarskrachtwapening vindt het verschuiven plaats overeen afstand (EC2; art. 9.2.1.3(2)):al = z(cot? cota)/2Het is ook toegestaan te verschuiven over al= d, zie de eerdergegeven toelichtingen bij de `verschuivingsregel'.bw = 200h=800d=7503Dwarskracht32009944 Dwarsdoorsnede rechthoekige gewapendebalk uit rekenvoorbeeld 4 (dimensies mm)Kies de hoek tussen de drukdiagonaal en de as van de liggerzodanig dat een optimum wordt gevonden; de dwarskracht-weerstand geleverd door de hellende dwarskrachtwapening isgelijk aan de weerstand van de drukdiagonalen (EC2; art. 6.2.3& NB; vgl. (6.13) en (6.14)):VRd,s= VRd,max:Asw____sz fywd (cot? + cota) sina = acwbwz?1 fcd(cot? + cota)___________(1 + cot2?)cot? =_____________bws?1 fcd__________Asw fywdsina1cot? =_____________________150 · 150 · 0,528 · 20__________________157 · 435 · 0,5__2 1 = 1,98Bereken voor cot? = 1,98 de dwarskrachtweerstand van dehellende beugels:VRd,s =157____150675 · 435 · (1,98 + 1) ·1__2__2 = 648 · 103NDe bijkomende trekkracht in de langswapening ten gevolge vande dwarskracht is (EC2; art. 6.2.3(7)):?Ftd = 0,5VRd,s(cot? cota) = 0,5 · 648 · 103· (1,98 1,0)= 318 · 103N )Rekenvoorbeeld 4 (EC2, par.6.2)In het vierde voorbeeld wordt de dwarskrachtweerstand bere-kend van een gewapende betonbalk met een T-vormige dwars-doorsnede voorzien van hellende dwarskrachtwapening.UitgangspuntenAfmetingen balk:bw= 150 mmh = 800 mmd = 750 mmz = 675 mmHellende beugels:hoek tussen de dwarskrachtwapening en de as van de ligger(EC2; fig. 6.5): a = 45°;staafdiameter 10 mm; dubbelsnedig (Asw= 157 mm2);beugelafstand s = 150 mm;betonstaal B500.Betonsterkteklasse C30/37.Uitwerkingfck= 30 N/mm2; fcd= fck/ 1,5 = 20 N/mm2Sterktereductiefactor voor beton gescheurd door dwarskracht(EC2; art. 6.2.3 & NB; vgl. (6.6N)):?1 = ? = 0,6 (1 fck____250)= 0,6 (1 30____250)= 0,528Controleer of de drukdiagonalen bij de maximaal toegestanehelling (cot? = 1,0) voldoen op sterkte (EC2; vgl. (6.15)).Bij hellende dwarskrachtwapening is de weerstand van dedrukdiagonalen (EC2; vgl. (6.14)):VRd,max = acwbwz?1 fcd(cot? + cota)___________(1 + cot2?)De dwarskrachtweerstand van de dwarskrachtwapening is(EC2; vgl. (6.13)):VRd,s =Asw____szfywd (cot? + cot a) sinaVoor cot? = 1,0 leidt VRd,s< VRd,maxtot de voorwaarde (EC2; vgl.(6.15):Asw fywd_______bws=acw?1 fcd________2sina157 · 435_________150 · 150=1 · 0,528 · 20___________2 sin 45°3,04 N/mm2< 7,47 N/mm2; voldoet. bw = 150h=800d=7504Rekenvoorbeelden EC2
Reacties