Dynamische belasting op tribunes Belastingen op tribunes door synchroon springende mensen 1 Tribune in een voetbalstadion 1 36? CEMENT 2 20 22 Direct na de instorting in De Goffert werd in de media veel gespeculeerd. Als suggesties voor de oorzaak werd vaak genoemd dat de con - structie in resonantie is gekomen. Ook de verschillen tussen zitplaatsen (4 kN/m²) versus staanplaatsen (5 kN/m²) kwam regelmatig aan de orde. De norm In artikel 2.2 (3) van NEN-EN 1991-1-1 [1] staat het volgende over tribune belastingen: 'Indien resonantie-effecten kunnen worden verwacht, als gevolg van synchroon ritmi- sche beweging van mensen door dansen of springen, behoort het belastingmodel te zijn vastgesteld voor een gespecialiseerde dyna- mische berekening.' In de nationale bijlage staat dat een volledig dynamische bereke- ning niet vereist is in de uiterste grenstoe- stand voor relatief kleine constructiedelen met weinig demping en belast door ten hoogste 10 personen waarvoor de eigen fre- quentie niet kleiner is dan 8 Hz en waarbij bovendien is gerekend met een naar boven gerichte belasting van 50% van de neer- waarts gerichte gebruiksbelasting. Het maximum van ten hoogste 10 personen is in de praktijk vaak niet haalbaar, waardoor een volledig dynamische berekening nood- zakelijk is. Hoe dit moet worden gedaan, wordt door de norm niet aangegeven. Het is dus de hoogste tijd om hier als constructeur de tanden in te zetten, om te begrijpen hoe dit soort belastingen werken en om stadioneigenaren goed te kunnen adviseren. In dit artikel volgen enkele analy- ses. Deze zijn zoveel mogelijk dimensieloos opgesteld om een algemene beschouwing mogelijk te maken. Dit artikel staat los van het onderzoek door NEC over de instorting van het tribune- element in De Goffert. Krachten door een springend persoon Voordat verschillende belastingmodellen worden besproken, wordt eerst de maxima- le kracht door één springende persoon onder- zocht. In [1] wordt de energiebalans van een springend persoon met een gewicht G [N] en een massa m [kg] opgesteld. Een springend persoon wordt geschematiseerd tot een één-massa-veersysteem, waarbij de veer het 'doorzakken en weer strekken van de benen' representeert (fig. 2). Dit geeft onderstaande vergelijking: (1) ?? = + ???? 2pp 2 F F mg h k k (2) () ( ) ( ) =+ + ? p npn 1 sin 2 F t G r nf t (5a) =s 3 4\fEI k L (5b) =s \b, 49 m AL (5c) == s s 4 s 1 22 k EI f m AL (6) () () ( ) ( ) = = =+ + + ? 6 s 1 s n nn /1sin 2 n nn F t G Hf r f t (7) ??=?????? s p F DAF F (8) () ?? ?? = = = ?? ?? ?? ?? ss s 2 ss s 1 2 s FF FGG u k Gk Gm f (9a) ?? = ????s s F p nG G (9b) ?? ?? =?? ?? ?? ??p s F F DAF GG (1) M et deze vergelijking kan de maximale kracht door een persoon F p [N] worden berekend uit de veerstijfheid van de persoon k [N/m] en spronghoogte ?h [m]. In tabel 1 zijn de resultaten samengevat als verhouding van kracht en gewicht (F p/G) en het doorzakken van de persoon (u = F p/k), gegeven bij een geschatte veerstijfheid van k ~ 10.000 kN/m. Afhankelijk van de doorzakking en sprong- hoogte van de persoon kan de kracht het drie- tot vijfvoudige van het gewicht van de persoon bedragen. IR. MARK SPANENBURG RO Adviseur Constructies BAM Advies & Engineering auteur Half oktober 2021 bezweek een tribune-element van het stadion De Goffert toen supporters hierop aan het springen waren. De publieke opinie was verbaasd. Een constructie zou toch berekend moeten zijn op een springende menigte? Weten we eigenlijk wel welke belasting een springende menigte kan veroorzaken en hoe zich dit verhoudt tot de gebruiksbelastingen in de norm? Kan een tribune-element in resonantie komen en wat betekent dat voor de belastingen? CEMENT 2 2022 ?37 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 Fp/G Tijd [s] Gewicht persoon Dansen High-impact aerobics Normaal springen Belastingmodellen In de literatuur zijn verschillende belasting- modellen beschikbaar. Voor dit artikel wordt het model van B.R. Ellis en T. Ji toegepast [3]-[7]. Dit model is experimenteel gevali- deerd voor zowel één persoon [3] als voor groepen springende personen [5]. Dit model is in de Britse Nationale Annex van NEN- EN-1991-1-1 en in een SBR-document met betrekking tot vloertrillingen [7] opgenomen. Het model beschrijft de sprongbelasting als een Fourierreeks, waarbij de coëfficiënten afhankelijk zijn van het type belasting. In formulevorm wordt de belasting als functie van de tijd als volgt uitgedrukt: (1) ?? = + ???? 2 pp 2 F F mg h kk (2) () ( ) ( ) =+ + ? p n pn 1 sin 2 F t G r nf t (5a) =s 3 4\fEI k L (5b) =s \b, 49 m AL (5c) == s s 4 s 1 22 k EI f m AL (6) () () ( ) ( ) = = =+ + + ? 6 s 1 s n nn /1sin 2 n nn F t G Hf r f t (7) ??=?????? s p F DAF F (8) () ?? ?? = = = ?? ?? ?? ?? ss s 2 ss s 1 2 s FF FGG u k Gk Gm f (9a) ?? = ????s s F p nG G (9b) ?? ?? =?? ?? ?? ??p s F F DAF GG (2) In tabel 2 zijn de coëfficiënten van deze reeks getoond voor drie verschillende belas- tinggevallen, namelijk dansen, high-impact aerobics en normaal springen. In figuur 3 zijn deze belastingen grafisch weergegeven voor een sprongfrequentie van een persoon f p = 2 Hz. Volgens deze grafiek is de maximale kracht versus gewicht ratio (F p/G) voor nor- maal springen 4,4, high-impact aerobics 3,2 en voor dansen 1,4. Doordat de belasting is benaderd met een Fourierreeks en slechts zes termen zijn ge- bruikt, ontstaan in fig. 3 de kleine rimpels tussen de pieken, terwijl de belasting hier in werkelijkheid nul is. In figuur 3 is bij sprin- gen en high-impact aerobics de belasting voor een groot deel van de tijd nul, wat duidt op het loskomen van de voeten van de on- dergrond. Bij dansen blijft er altijd een verti- cale druk aanwezig van minimaal het halve gewicht. Groepseffect De voorgaande belastingmodellen gelden voor één persoon. Wanneer meerdere men- sen tegelijk gaan springen, moet het groep- 2 Springend persoon als massa-veersysteem 3 Vergelijking belastingsverhoging bij verschillende activiteiten (Ellis/Ji) BEZWIJKEN TRIBUNE-ELEMENT STADION DE GOFFERT Over het bezwijken van het tribune-ele- ment van het NEC-stadion stadion De Goffert staat elders in dit nummer het artikel Onderzoek instorting van tribune- element Goffertstadion, geschreven door Wouter Meijers en Erik Middelkoop van Royal HaskoningDHV. 2 3 Tabel 2?Belastingparameters verschillende activiteiten (Ellis/Ji [4], [7]) contactratio ? coëff n = 1n = 2n = 3n = 4n = 5n = 6F p/G dansen 1,1r n 0,50 0,090,030,010,000,00 1,4 ? n -?/2 -?/2-?/2-?/2-?/2-?/2 ritmische oefeningen, high-impact aerobics 0,5r n 1,57 0,6700,1300,06 3,2 ? n 0 -?/20-?/20-?/2 normaal springen 0,33r n 1,80 1,290,670,160,100,13 4,4 ? n ?/6 -?/6-?/2-5?/6 -?/6 -?/2 Tabel 1?Toename gewicht versus spronghoogte ?h [m] u [m] F p/G 0,1 0,2 2,9 0,2 0,3 3,5 0,3 0,3 3,9 0,4 0,3 4,3 0,5 0,4 4,7 0,6 0,4 5,0 38? CEMENT 2 20 22 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1 9 17253341495765 Reductiefactor Aantal personen, v Ellis/Ji Faisca seffect worden beschouwd. Personen in een groep kunnen niet exact tegelijkertijd sprin- gen. Hierdoor vallen de pieken niet precies samen en dit verlaagt de belasting van de menigte. Ook blijkt de sprongfrequentie van groepen anders te zijn dan van individuen.Naar deze sprongbelasting van groe- pen zijn verschillende experimenten ge- daan. In onderzoek van Ellis en Ji is een groep tot 64 personen op ritmische muziek met vooraf geselecteerde frequenties gaan springen [5][6]. Uit dit experiment konden de eerste drie Fouriercoëfficiënten worden bepaald: r1;v = 1,61 · ?-0,082 (3a) r2;v = 0,94 · ?-0,24 (3b) r3;v = 0,44 · ?-0,31 (3c) In deze vergelijkingen zijn ? het aantal per- sonen. Het vloeroppervlak van het experi- ment was 9 x 6 m². Dit betekent dat er onge- veer 1,2 persoon/m² tijdens de test aanwezig was. Vergelijkbare resultaten zijn in Cana- dees experimenteel onderzoek gevonden, al was de groepsgrootte daar beperkt tot maxi- maal 8 personen [9]. Ook Faísca [9] heeft onderzoek gedaan naar groepseffecten. Daarbij ging het om een groep springende mensen tot 30 perso- nen. Hij vond de volgende relatie voor het equivalente aantal personen dat bijdraagt aan de belasting ten opzichte van het totaal aantal springende personen: ?eq = 0,4835 · ? + 1,1383 (4) In figuur 4 zijn de effecten van beide modellen op de maximale sprongbelasting met elkaar vergeleken. Het groepsmodel van Ellis/Ji geeft bij één persoon al een reductie ten opzichte van het individuele model. Waar- schijnlijk wordt er in groepsverband minder hoog gesprongen dan individueel. De resultaten van de modellen van Ellis/Ji en Faísca lijken ongeveer dezelfde reducties van de piekbelasting te geven voor normaal springen. Figuur 5 vergelijkt het belastinggeval normaal springen van Ellis/Ji met 1, 20 en 50 personen. Hierin is goed te zien dat de amplitude (F p/G) behoorlijk afneemt naarmate er meer personen springen en dat de tijdsperiode waarbij er contact met de ondergrond wordt gemaakt ( F p/ G ? 0) met meer personen toeneemt. Een ander belangrijk aspect bij springende personen of groepen is de sprongfrequentie van de personen f p. Volgens [6] ligt de sprong - fr equentie gemiddeld rond de 2 Hz en is de spreiding afhankelijk van de groepsgrootte: 1,5 ? 3,5 Hz voor een individueel springen- de persoon; 1,5 ? 2,8 Hz voor een kleine groep springen- de personen (aerobics) met enige coördi - natie; 1,8 ? 2,3 Hz voor een grote groep springen- de personen (popconcert) met enige coördi - natie. 4 Invloed aantal springende personen op sprongbelasting Hoe een volledig dynamische berekening moet worden gedaan, wordt door de norm niet aangegeven 4 CEMENT 2 2022 ?39 0,000 0,500 1,000 1,500 2,000 2,500 3,000 3,500 4,000 4,500 5,000 0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 Fp/G Tijd [s] v=1 v=20 v=50 5 5 Vergelijking belastinggeval 'normaal springen' met verschillende groepsgrootten Ten slotte is het aantal personen per m² be- langrijk. De volgende onderverdeling wordt aangehouden [11]: Aerobics klas: 0,25 personen/m² Dans activiteiten: 2 personen/m² Zitplaatsen: 2 personen/m² Staanplaatsen: 4 personen/m² Belasting door springen op een starre ondergrond Beschouwd wordt de belasting door dan- sen en springen in een stadion met staan- plaatsen. De door de norm voorgegeven gebruiksbelasting is 5,0 kN/m². Het stati - sche gewicht van de personen, uitgaande van 80 kg per persoon, op de staanplaatsen is G = 4 · 80 · 9,81 / 1000 = 3,14 kN/m². Als de groep synchroon danst, dan is F p/ G = 1,4, ofwel F p = 1,4 · 3,14 = 4,4 kN/m². Dit ligt dicht bij de normbelasting van 5,0 kN/m². Wanneer deze mensen synchroon gaan springen in een groep ( ? = 20), dan wordt F p/ G = 2,8 (fig. 5) en F p = 2,8 · 3,14 = 8,8 kN/m². Bij inspringen op een starr e ondergrond is de belasting al aanzienlijk meer dan de normbelasting. Hierbij zijn de dynamische effecten van de constructie nog niet beschouwd. Dynamische eigenschappen constructie De belastingmodellen zijn tot dusver op een starre ondergrond geplaatst. Wanneer deze op een tribune-element worden geplaatst, dan spelen de dynamische eigenschappen van de constructie ook een rol. Dit geldt voor zowel het tribune-element als voor de pri- maire draagconstructie. In dit artikel wordt alleen het dynamische gedrag van een tribune- element beschouwd en is de primaire draag - constructie niet meegenomen (als starre oplegging verondersteld). Een tribune-element kan worden geschematiseerd tot een één-massa-veer- dempersysteem met de dynamische belas- ting van een springende groep volgens het model van Ellis/Ji (fig. 6). De eigenfrequentie van de tribune hangt af van de veerstijfheid en de massa: Stijfheid tribune: (1) ?? = + ???? 2 pp 2 F F mg h kk (2) () ( ) ( ) =+ + ? p npn 1 sin 2 F t G r nf t (5a) =s 3 4\fEI k L (5b) =s \b, 49 m AL (5c) == s s 4 s 1 22 k EI f m AL (6) () () ( ) ( ) = = =+ + + ? 6 s 1 s n nn /1sin 2 n nn F t G Hf r f t (7) ??=?????? s p F DAF F (8) () ?? ?? = = = ?? ?? ?? ?? ss s 2 ss s 1 2 s FF FGG u k Gk Gm f (9a) ?? = ????s s F p nG G (9b) ?? ?? =?? ?? ?? ??p s F F DAF GG (5a) Equivalente massa tribune: (1) ?? = + ???? 2 pp 2 F F mg h kk (2) () ( ) ( ) =+ + ? p npn 1 sin 2 F t G r nf t (5a) =s 3 4\fEI k L (5b) =s \b, 49 m AL (5c) == s s 4 s 1 22 k EI f m AL (6) () () ( ) ( ) = = =+ + + ? 6 s 1 s n nn /1sin 2 n nn F t G Hf r f t (7) ??=?????? s p F DAF F (8) () ?? ?? = = = ?? ?? ?? ?? ss s 2 ss s 1 2 s FF FGG u k Gk Gm f (9a) ?? = ????s s F p nG G (9b) ?? ?? =?? ?? ?? ??p s F F DAF GG (5b) Eigenfrequentie tribune: (1) ?? = + ???? 2 pp 2 F F mg h kk (2) () ( ) ( ) =+ + ? p npn 1 sin 2 F t G r nf t (5a) =s 3 4\fEI k L (5b) =s \b, 49 m AL (5c) == s s 4 s 1 22 k EI f m AL (6) () () ( ) ( ) = = =+ + + ? 6 s 1 s n nn /1sin 2 n nn F t G Hf r f t (7) ??=?????? s p F DAF F (8) () ?? ?? = = = ?? ?? ?? ?? ss s 2 ss s 1 2 s FF FGG u k Gk Gm f (9a) ?? = ????s s F p nG G (9b) ?? ?? =?? ?? ?? ??p s F F DAF GG (5c) De equiv alente stijfheid van de constructie k s [N/m] hangt af van de buigstijfheid EI [Nm²] Het massaal en synchroon springen van een menigte levert een aan - zienlijk hogere belasting dan de huidige ontwerpbelasting 40? CEMENT 2 20 22 en de overspanning L [m] van het tribune- element. De equivalente massa van de con- structie is afhankelijk van de soortelijke massa ? [kg/m²], de doorsnede A [m²] en de lengte van het tribune-element. Hieruit kan de eigenfrequentie van het tribune-element f s [Hz] worden berekend. Belangrijk: de mas - sa van de menigte wordt niet meegenomen bij de bepaling van de eigenfrequentie van de constructie bij een springende menigte. Deze zit immers al in de externe sprongbelasting. Dit is afwijkend van de norm, waar altijd een deel van de veranderlijke belasting wordt meegenomen. Naast de eigenfrequentie is de demping een belangrijke parameter. De dempings- waarde van een betonconstructie in de gebruikstoestand (BGT) is ongeveer 2% [8]. In de uiterste grenstoestanden (UGT) kan de demping oplopen als gevolg van hysterese door scheurvorming en vloeien van wape- ning. Ook ontstaat hierdoor een niet-lineaire interactie tussen belasting en respons, daar wordt later in dit artikel nader op ingegaan. Uit ervaring met aardbevingen lijkt een dempingswaarde van 5% voor betoncon - structies een redelijk uitgangspunt. Voor tribune-elementen uit prefab beton zijn nog geen specifieke gegevens bekend. De menigte op de tribune kan zelf ook voor demping zorgen. Wanneer niet ieder- een springt, zal de niet-springende groep door het (aritmisch) meedeinen juist energie absorberen. Er zijn metingen gedaan waar de demping als gevolg van het niet-sprin- gende mensen opliep tot 16% [6]. Wanneer iedereen springt, treedt deze demping uiter- aard niet op. Met de belastingmodellen van Ellis/Ji kan de dynamische respons van construc- ties worden bepaald. De respons kan wor- den uitgedrukt in verticale belastingen en verplaatsingen. Hoewel belastingen de pri- maire focus hebben in dit onderzoek, is het ook belangrijk om inzicht te hebben in de bijbehorende verplaatsingen. Berekening dynamische respons bij dansen en springen Voor een één-massa-veersystemen kan voor iedere willekeurige eigenfrequentie de dyna- mische respons worden berekend. Dit is ge- daan door de particuliere oplossing van het één-massa-veersysteem van figuur 6 met de belastingmodellen van Ellis/Ji te bepalen voor iedere harmonische term: (1) ?? = + ???? 2 pp 2 F F mg h kk (2) () ( ) ( ) =+ + ? p npn 1 sin 2 F t G r nf t (5a) =s 3 4\fEI k L (5b) =s\b, 49 m AL (5c) == s s 4 s 1 22 k EI f m AL (6) () () ( ) ( ) = = =+ + + ? 6 s 1 s n nn /1sin 2 n nn F t G Hf r f t (7) ??=?????? s p F DAF F (8) () ?? ?? = = = ?? ?? ?? ?? ss s 2 ss s 1 2 s FF FGG u k Gk Gm f (9a) ?? = ????s s F p nG G (9b) ?? ?? =?? ?? ?? ??p s F F DAF GG (6) Inhoudelijk wordt hierop in dit artikel niet verder ingegaan en wordt verwezen naar literatuur over dynamische analyses. De resultaten zijn getoond in figuur 7 voor het belastinggeval dansen en voor het belasting- geval synchroon springen van een menigte van 30 personen, uitgaande van een sprong- frequentie van 2 Hz. De respons van de con- structie is uitgedrukt in F s/G, waarbij F s de kracht in de constructie is. Tevens is de ex- terne belasting van de menigte (F p/G) in de grafiek weergegeven. Wat direct opvalt is dat bij de aangenomen sprongfrequentie van 2 Hz aanzienlijke re- sonantie optreedt bij eigenfrequenties van 2 Hz, 4 Hz en 6 Hz. Daarbij treden vergro- tingsfactoren F s/G op die groter zijn dan 10. Ook bevestigt deze grafiek dat de dynami- sche vergrotingsfactor sterk afhankelijk 6 Schematisering constructie naar massa-veersysteem en springende menigte naar externe belasting 6 CEMENT 2 2022 ?41 0 2 4 6 8 10 12 14 16 0246 810 1214 Fs/G Eigenfrequentie tribune f s[Hz] Springen ?=2% Springen ?=5% Springen ?=10% Externe springbelasting Fp/G Dansen ?=2% Dansen ?=5% Dansen ?=10% Externe dansbelasting Fp/G is van de mate van demping. Bij construc- ties met een eigenfrequentie hoger dan 8 Hz, reageert de constructie nagenoeg statisch op de springende menigte: F s/G ? F p/G. Dit verklaart de vereenvoudiging in artikel 2.2 van NEN-EN-1991-1-1. Het is handig om te weten welke ver- hoging de dynamische respons (F s/G) ? geeft ten opzichte van de statische respons (F p/ G ) ?. Deze verhouding wordt de dynamische am- plificatie factor (DAF) genoemd: (1) ?? = + ???? 2 pp 2 F F mg h kk (2) () ( ) ( ) =+ + ? p npn 1 sin 2 F t G r nf t (5a) =s 3 4\fEI k L (5b) =s \b, 49 m AL (5c) == s s 4 s 1 22 k EI f m AL (6) () () ( ) ( ) = = =+ + + ? 6 s 1 s n nn /1sin 2 n nn F t G Hf r f t (7) ??=?????? s p F DAF F (8) () ?? ?? = = = ?? ?? ?? ?? ss s 2 ss s 1 2 s FF FGG u k Gk Gm f (9a) ?? = ????s s F p nG G (9b) ?? ?? =?? ?? ?? ??p s F F DAF GG (7) Zo wel de belasting als de dynamische ver- grotingsfactor is afhankelijk van het aantal personen ?. Daarom is ? als index aan deze grootheden toegevoegd. In tabel 3 zijn de dynamische amplificatie factoren samengevat voor de verschillende frequentiegebieden en dempingswaarden ? van de constructie. Naast een neerwaartse belasting treedt er ook een opwaartse belasting in de construc- tie op. In figuur 8 is de dynamische belasting in de constructie als functie van de tijd ge- toond bij een eigenfrequentie van 12 Hz, een sprongfrequentie van 2 Hz en een demping van 2%. Hieruit blijkt dat neerwaartse belas- ting een factor 3,1 is van het gewicht van de personen, maar ook dat de opwaartse belas- ting een factor -1,1 is. Dit verklaart waarom de norm eist dat minimaal 50% van de opge- legde belasting opwaarts moet worden gere- kend bij eigenfrequenties hoger dan 8 Hz. 7 7 Maximale dynamische belasting in een constructie door een dansende en door een springende menigte (f s = 2 Hz) Tabel 3?Dynamische Amplificatie Factoren (DAF n) voor verschillende belastingen, dempingswaardes en eigenfrequenties fs < 3Hz 3 Hz ? f s < 6 Hz6 Hz ? f s < 9 Hzf s ? 9 Hz dansen springen ? = 30 dansen springen ? = 30 dansen springen ? = 30 dansen springen ? = 30 ? = 1% 18,1 23 4,38,7 2,33,9 1,11,2 ? = 2% 9,4 11,7 2,74,8 1,72,5 1,11,1 ? = 5% 4,2 4,9 1,82,5 1,41,6 1,01,0 ? = 10% 2,4 2,6 1,51,8 1,31,3 1,01,0 42? CEMENT 2 20 22 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 Fs/G Tijd [s] Bij lagere eigenfrequenties kan het percen- tage van de opgelegde belasting dat op- waarts werkt aanzienlijk hoger worden. Verticale verplaatsingen bij dan- sen en bij springen De verplaatsingen kunnen als volgt worden berekend uit de eerder berekende belastin- gen F s/G voor iedere eigenfrequentie f s, van vergelijking (6): (1) ?? = + ???? 2 pp 2 F F mg h kk (2) () ( ) ( ) =+ + ? p npn 1 sin 2 F t G r nf t (5a) =s 3 4\fEI k L (5b) =s \b, 49 m AL (5c) == s s 4 s 1 22 k EI f m AL (6) () () ( ) ( ) = = =+ + + ? 6 s 1 s n nn /1sin 2 n nn F t G Hf r f t (7) ??=?????? s p F DAF F (8) () ?? ?? = = = ?? ?? ?? ?? ss s 2 ss s 1 2 s FF FGG u k Gk Gm f (9a) ?? = ????s s F p nG G (9b) ?? ?? =?? ?? ?? ??p s F F DAF GG (8) De verplaatsingen zijn met de bekende (F s/ G ) ? en eigenfrequentie f s, direct afhankelijk van de factor G/m s. In figuur 9 wordt een grafiek getoond voor de verplaatsingen voor de belasting- gevallen dansen en springen met een sprongfrequentie van 2 Hz, bij verschillende constructietypes en dempingswaarden. Er zijn twee constructietypes beschouwd. Ten eerste een lichte (stalen) tribune-element met m s = 1,0 kN/m² en ten tweede een zwaarder (betonnen) tribune-element met m s = 4,0 kN/m². Voor de gebruiksbelasting is uitgegaan van vier personen per m² (G = 3,2 kN/m²). Uit deze grafiek blijkt dat, zoals verwacht, een betonconstructie aanzienlijk minder verplaatst dan een staalconstructie bij dezelfde eigenfrequentie. De grootste ver- plaatsingen treden op bij precies dezelfde frequentie waarbij ook de grootste belastin- gen optreden. Verplaatsingen bij de eerste resonantiepiek f s = 2 Hz kunnen behoorlijk oplopen tot 637 mm voor een staalconstruc- tie (met 2% demping, vaak wordt 1% aange- houden voor staal) en 159 mm voor een be- tonconstructie bij springen. De tweede resonantiepiek geeft al aanzienlijk kleinere verplaatsingen (66 en 17 mm) en de derde piek is niet meer zichtbaar (15 en 4 mm) bij springen. Bij dansen zijn de verplaatsingen nog kleiner. De kleine verplaatsingen bij de hogere resonantiepieken zijn een risico. De trillingen zijn minder zichtbaar, maar de belasting is nog steeds erg hoog. De invloed van niet-lineair ge- drag van betonconstructies De eigenfrequentie hangt direct af van de buigstijfheid (zie vergelijking 5c). Bij beton is de buigstijfheid geen constante parameter en afhankelijk van de mate van scheurvor- ming en vloeien. Anders gezegd, de buigstijf- heid is afhankelijk van de mate van belasten. In het bovenste deel van figuur 10 is een voorbeeld gegeven van een betonnen balk onder een statische belasting. De belas- ting is dan constant in de tijd. De doorbui - ging is een niet-lineaire functie van de belas- ting en kan worden vastgelegd in een last- 8 8 Dynamische belasting van een constructie uitgezet in de tijd met een eigenfrequentie van 12 Hz, een demping van 2% en een sprongfrequentie van 2 Hz In een aantal andere landen wordt al een aanzienlijk hogere belasting aangehouden voor onderdelen waar belastingen door springen kan worden verwacht CEMENT 2 2022 ?43 0,000 0,050 0,100 0,150 0,200 0,250 0,300 123456 78 Verticale verplaatsing [m] Eigenfrequentie tribune f s[Hz] Springen + staal ?=2% Springen + staal ?=5% Springen + beton ?=2% Springen + beton ?=5% Dansen + staal ?=2% Dansen + staal ?=5% Dansen + beton ?=2% Dansen + beton ?=5% 9 10 9 Maximale verplaatsingen van een constructie door een dansende en door een springende menigte (f s = 2 Hz) 10 Niet-lineair gedrag van een betonconstructie, statisch en dynamisch 44? CEMENT 2 20 22 Buigstijfheid Eigen- frequentie Dynami sche b elast ing zakkingsdiagram (of MN?-diagram). In dit diagram zijn er drie takken te onderscheiden: (1) de ongescheurde tak, (2) de gescheurde tak en (3) de tak waar de wapening (en even - tueel betondrukzone) vloeit. Uit de gegeven belasting kan de doorbuiging en een 'effec- tieve' stijfheid k eff worden bepaald. Kruip en andere langdurige effecten zijn buiten be- schouwing gelaten. Bij een dynamische situatie wordt dit complexer (zie het onderste deel van fig. 10). De belasting varieert in de tijd, waardoor ook de bijhorende stijfheid en eigenfrequentie variëren. De dynamische respons hangt af van de eigenfrequentie (fig. 7) die geen con - stante meer is maar continu wijzigt. Deze complexe interactie tussen dynamische belasting, stijfheid en r espons is weergege- ven in figuur 11 en moet in een dynamische analyse per tijdstap iteratief worden opge- lost. De invloed van het niet-lineaire gedrag van beton op de dynamische respons moet ver- der worden onderzocht. De verwachting is dat de resonantiepieken van de belasting in figuur 7 zullen afnemen, doordat de capaci -teit van de constructie (plastisch) wordt begrensd. Dit moet waarschijnlijk worden gecompenseerd door een toename van de verplaatsingen en ductiliteit van de con - structie. Uiteraard is voldoende minimale wapening voor de opname van het scheur- moment een eerste vereiste. Het dempende effect op de belastingpieken, tezamen met de hysteretische demping beargumenteren de gekozen 5% dempingswaarde in de uiter- ste grenstoestand. Verder onderzoek moet aangeven wat de precieze gevolgen van de niet-lineaire dynamische respons zijn en met welke dempingswaarde deze het beste kan worden benaderd, eventueel aangevuld met andere factoren of restricties. Ontwerpbelastingen voor con- structies In tabel 4 zijn alle voorgaande resultaten samengevat en vertaald naar belastingen voor verschillende activiteiten en/of ge- bruiksklassen. De gehanteerde uitgangs- punten zijn een minimale gescheurde eigen- frequentie van f s;gescheurd > 6 Hz van een lege tribune, 5% demping en een groepsgrootte van 30 personen. De waardes uit de tabel kunnen als volgt worden berekend: (1) ?? = + ???? 2 pp 2 F F mg h kk (2) () ( ) ( ) =+ + ? p npn 1 sin 2 F t G r nf t (5a) =s 3 4\fEI k L (5b) =s \b, 49 m AL (5c) == s s 4 s 1 22 k EI f m AL (6) () () ( ) ( ) = = =+ + + ? 6 s 1 s n nn /1sin 2 n nn F t G Hf r f t (7) ??=?????? s p F DAF F (8) () ?? ?? = = = ?? ?? ?? ?? ss s 2 ss s 1 2 s FF FGG u k Gk Gm f (9a) ?? = ????s s F p nG G (9b) ?? ?? =?? ?? ?? ??p s F F DAF GG (9a) (1) ?? = + ???? 2 pp 2 F F mg h kk (2) () ( ) ( ) =+ + ? p npn 1 sin 2 F t G r nf t (5a) =s 3 4\fEI k L (5b) =s \b, 49 m AL (5c) == s s 4 s 1 22 k EI f m AL (6) () () ( ) ( ) = = =+ + + ? 6 s 1 s n nn /1sin 2 n nn F t G Hf r f t (7) ??=?????? s p F DAF F (8) () ?? ?? = = = ?? ?? ?? ?? ss s 2 ss s 1 2 s FF FGG u k Gk Gm f (9a) ?? = ????s s F p nG G (9b) ?? ?? =?? ?? ?? ??p s F F DAF GG (9b) V oor lagere of hogere eigenfrequenties of andere dempingswaardes kan de tabel 11 11 Interactie tussen stijfheid, eigenfrequentie en dynamische belasting Tabel 4?Belastingen voor verschillende activiteiten voor betonnen constructie elementen met een gescheurde eigenfrequentie hoger dan 6 Hz en een demping van 5% (? = 30 personen). activiteit n [p/m2] (F p/G) ?=1 (Fp/G) ?=30 DAF ?=30 (Fs/G) ?=30 belasting p s [kN/m2] danszaal dansen* 2,01,41,41,42,03,1 h.i. aerobics* 0,253,23,21,44,40,9 zitplaats tribune dansen* 2,01,41,41,42,03,1 springen 2,04,42,71,64,46,9 staanplaats tribune dansen* 4,01,41,41,42,06,3 springen 4,04,42,71,64,413,8 * Voor dansen en high-impact aerobics zijn groepseffecten niet bekend en daarom niet meegenomen CEMENT 2 2022 ?45 worden aangepast met behulp van formule (9b) en de DAF-waarde uit tabel 3. Wanneer de eigenfrequentie bijvoorbeeld hoger is dan 9 Hz wordt de DAF-waarde 1,0 in plaats van 1,4 of 1,6 die nu in de tabel staan opgeno- men. Dit leidt dan tot een lagere belasting. Een ander voorbeeld is dat bij staalcon- structies 1% demping in de uiterste grens- toestand wordt geadviseerd (uitgaande van lineair elastisch gedrag). Dit resulteert in een hogere DAF-waarde en daardoor een hogere belasting. Opgemerkt moet worden dat een groot deel van de neerwaartse belasting ook opwaarts werkt. De opwaartse belasting kan als volgt worden berekend: (10) s s;opwaarts 2 F p nG G ?? ?? = ?? ???? ?? (10) U it deze berekening blijkt dat de door de norm voorgeschreven opwaartse belasting geen onrealistische waarde is voor springen op constructies. Het massaal en synchroon springen van een menigte levert dus een aanzienlijk hogere belasting dan de huidige ontwerpbe- lasting. De grootte van de belasting wordt voor het grootste deel bepaald door het aan- tal personen per m² en het gebruik (F p/G). Buitenlandse normen In het buitenland gelden andere voorschrif- ten voor de aan te houden tribunebelastin- gen. In tabel 5 worden hier een paar voor- beelden van gegeven. Hieruit blijkt dat in een aantal andere landen al een aanzienlijk hogere belasting wordt aangehouden voor onderdelen waar belastingen door springen kan worden verwacht. In Duitsland en Groot-Brittannië wordt voor bouwelementen bovendien geëist dat indien trillingen door personen kunnen optreden, het element wordt ontworpen op de daarbij optredende resonantie effecten. Conclusie en aanbevelingen Het belastinggeval ritmisch springen van groepen mensen wijkt af van de overige op- gelegde belastingen uit de norm. Uit boven- staande analyse blijkt dat dit belastinggeval aanzienlijk hogere belastingen kan geven. Een aantal buitenlandse normen schrijven een hogere opgelegde belasting voor bij ele- menten waarop kan worden gesprongen en eisen ook aanvullend onderzoek als reso- nantie effecten hierdoor kunnen optreden. Een hogere belasting van minimaal 7,5 kN/m² wordt op zijn minst aanbevolen. Geadviseerd wordt om een gedegen analyse uit te voeren zoals beschreven is in dit artikel. Dit kan in een aantal gevallen resulteren in een (aan- zienlijk) hogere belasting. Betonconstructies gedragen zich niet-lineair en dit kan een positieve invloed hebben op de dynamische respons en de in rekening te brengen dempingswaardes. Hier moet nader onderzoek naar worden gedaan. De effecten van springen op een con- structie zijn significant en moeten serieus worden genomen bij het ontwerp van tri- bunes. LITERATUUR 1?NEN-EN 1991-1-1:2002+C11:2019+NB:2019, Eurocode 1: Belastingen op constructies, Deel 1-1: Algemene belastingen ? Volumieke gewichten, eigengewicht en opgelegde belastingen voor gebouwen. 2?Structural Dynamics. Part 1 - Structural vibrations, Collegedictaat CT4140, juni 2006, J.M.J. Spijkers, A.W.C.M. Vrouwenvelder, E.C. Klaver. 3?Human structure interaction in vertical vibrations, B.R. Ellis, T. Ji, Proc. Inst. Civ. Engineers Structures & Bridges, 1997, 122, Panel Paper 11023. 4?Floor vibration induced by dance- type loads: verification, B.R. Ellis, T. Ji, The Structural Engineer. volume 72, #3. 1 February 1994. 5?The response of grandstands to dynamic crowd loads, B.R. Ellis, T. Ji, Proc. Inst. Civ. Engineers Structures & Bridges, 2000, 140, Paper 12305. 6?Loads generated by jumping crowds: numerical modelling, B.R. Ellis, T. Ji, The Structural Engineer, 7 September 2004. 7?The response of structures to dynamic crowd loads, BRE Digest #426. 2004 Edition, B.R Ellis. T.Ji. 8?SBR-richtlijn Trillingen door lopen. 9?Vandal loads and induced vibrations on a footbridge, E. Caetano, A. Cunha, C. Moutinho, Journal of bridge engineering, ASCE, May/June 2011. 10?Dynamic load factors for pedestrian movements and rhythmic exercises, G. Pernica, Institute for research in construction, Canada. Canadian Acoustics 18(2) 3-18 (1990). 11?Design of floors for vibration: A new approach, SCI publication P354, Revised edition, Februari 2009, A.L. Smith, S.J. Hicks, P.J.Devine. 12?UK National Annex to Eurocode 1: Actions on structures ? Part 1-1: General actions ? Densities. self-weight. imposed loads for buildings. 2002 13?ASCE 7-16. Minimum Design Loads and Associated Criteria for Buildings and Other Structures. American Society of Civil Engineers. 14?NEN-EN 1992-1-1:2005+A1:2015+NB:2016+A1:2020. Eurocode 2: Ontwerp en berekening van betonconstructies. Deel 1-1: Algemene regels voor gebouwen. Tabel 5?Normbelastingen voor tribunes in andere landen land gebruiksklassebelasting [kN/m2] Groot-Brittannië C5-grote mensen massa's 5,0 C52-Podia 7, 5 Verenigde Staten podia7, 2 Italië C5-Grote mensenmassa's5,0 Duitsland vaste zitplaatsen 5,0 zonder vaste zitplaatsen 7, 5 Nederland C5-grote mensen massa's 5,0 C2-vaste zitplaatsen 4,0 46? CEMENT 2 20 22