Dynamische belasting op tribunes (2) De invloed van scheurvorming op de dynamische belasting van een bewegende menigte op een betonnen tribune-element 1 De eigenfrequentie van een tribune-element is een essentiële parameter om de dynamische belasting door een bewegende of springende menigte op een tribune-element te bepalen De eigenfrequentie van een tribune-element is een essentiële parameter om de dynamische belasting door een bewegende of springende menigte op een tribune-element te bepalen. Hoe bepaal je deze eigenfrequentie voor gewapend betonnen tribune-elementen en welke invloed heeft scheurvorming hierop? Wat betekent dit voor het dynamische gedrag en de constructieve veiligheid van het tribune-element? Een en ander wordt toegelicht met een praktijkvoorbeeld. 1 52? CEMENT 1 20 23 In deel 1 van het artikel 'Dynami- sche belasting op tribunes' uit Cement 2022/2 [1] is een algemene beschrijving gegeven van dyna- mische belastingen door bewegen- de menigtes op tribunes. In dit tweede deel wordt deze kennis toegepast in een praktijkvoorbeeld. Hierbij worden ver- schillende invloeden toegelicht en aanvullin- gen gedaan waar nodig. Met name het bepa- len van de dynamische gescheurde buig- stijfheid, de eigenfrequentie en de interactie met de dynamische belasting wordt uitge- breid behandeld. Daarnaast wordt er een extra belastingsgeval 'energieke concerten' [3] aan de beschouwing toegevoegd, aangezien in stadions ook veelvuldig concerten of dance- events worden gehouden. Praktijkvoorbeeld Het praktijkvoorbeeld dat in dit artikel wordt behandeld, betreft een tribune-element in een bestaande constructie. Opgemerkt wordt dat het om een fictieve situatie gaat, waarbij wel eigenschappen zijn gehanteerd die in de praktijk voorkomen. Het betreft een getrapt trede-element met twee treden en een overspanning van 9,0 m (fig. 2). Het element is oorspronkelijk berekend voor zitplaatsen volgens TGB 1990. De veranderlijke belasting is 4 kN/m² en de partiële belastingsfactoren zijn ?G = 1,2 en ?Q = 1,5. De breedte van het element is 2 × 0,8 = 1,6 m. In tabel 1 zijn de eigenschappen van het element samengevat. De doorsnede- eig enschappen zijn met behulp van M-N - ?- dia grammen bepaald. In het voorbeeld worden de volgende situaties beoordeeld: 1 energiek concert; 2 s ynchroon springen, bijvoorbeeld tijdens voetbalwedstrijden. De belasting bij een energiek concert is af- komstig uit [3] en wordt beschreven door scenario 4. Dit scenario betreft een energiek concert waar door een opgewonden menigte, veelal staand, wordt gedanst en af en toe gesprongen. Dynamische belasting door een bewegende menigte De dynamische belasting op tribunes door bewegende menigtes is in het eerste deel van dit artikel [1] uitgebreid beschreven. Deze belasting is opgebouwd uit de volgende parameters: aantal personen per m² (n); gewicht van één persoon (G); sprongbelasting van één persoon (F p) uit- gedrukt als verhouding van zijn/haar gewicht (G). In de literatuur wordt in dit kader ook wel de impactfactor genoemd (k p = F p / G). Deze is afhankelijk van de activiteit (dansen, springen of aerobics). dynamische respons van de constructie, uitgedrukt in de dynamische amplificatie- factor (DAF ) (soms ook dynamische vergro- tingsfactor genoemd). Parameters? Met deze parameters kan de dynamische belasting van een bewegende menigte op een tribune-element worden berekend: p s pF p n G DAF n G k DAF G ?? = = ?? ?? s 4 2 EI f AL = 22 cr cr eff\fn cr 1 MM EI EI EI MM ?? ?? ?? = + ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? cr cr D\fn cr 1 MM EI \b EI \b EI MM ?? ?? ?? = + ?? ?? ?? ?? ?? ?? (1) In deze f ormule is n afhankelijk van het type tribune, bijvoorbeeld een zit- of staantribune. In dit voorbeeld wordt hiervoor respectieve- lijk n = 2,5 p/m² en n = 4,0 p/m² aangehouden. Als gewicht van een persoon wordt 80 kg aangehouden, ofwel G = 0,785 kN. De impact- factor bij een energiek concert is k p = 1,5 [3], terwijl deze voor een grote groep synchroon springende mensen k p = 2,4 kan zijn [1 en 4]. De impactfactor van springen is dus al 60% hoger dan bij een energiek concert. Dit is een behoorlijk verschil. De laatste parameter in de formule is de DAF . Deze is afhankelijk IR. MARK SPANENBURG RO Adviseur Constructies BAM Advies & Engineering auteur CEMENT 1 2023 ?53 Fp 800 800 hoofdwapening C53/65 MEd;y 9,0 m van de eigenfrequentie van een lege tribune (f s). Als deze eigenfrequentie hoog genoeg is, treedt er geen dynamische respons op. Vol- gens de literatuur moet de eigenfrequentie minimaal bedragen: springende menigte (na de derde piek): f s ? 8,4 Hz [ 4] energiek concert (na de tweede piek): f s ? 6 Hz [3 en 4 ] Een resonantiepiek treedt op bij een veelvoud van de sprongfrequentie van de menigte (f p), waarbij f p ligt tussen 1,5 en 2,8 Hz voor een kleine groep met enige coördinatie. Dit geldt zowel voor een springende menigte als voor een energiek concert. In figuur 3 is de DAF als functie van de eigenfrequentie van een lege tribune (f s) voor een sprongfrequentie van f p = 2 Hz (= mediaan van alle voorkomende sprongfrequenties) gegeven. Uitgaande van een sprongfrequentie van 2 Hz is de DAF bij een eigenfrequentie van 2 Hz het hoogst, zoals verwacht. Bij een eigenfrequentie van 4 Hz stoot je het systeem (bij een sprongfre - quentie van 2 Hz) bij de tweede, lagere reso - nantiepiek. Uit de grafiek blijkt dat na de tw eede resonantiepiek bij een energiek con - cert en na de derde resonantiepiek bij een spring ende menigte, de dynamische vergro - ting van de respons nauwelijks meer toeneemt ( DAF ? 1). Deze grafiek geldt in algemene zin voor de genoemde belastingssituaties. Bepaling eigenfrequentie? Als de eigenfre- quenties van de lege tribunes lager zijn dan de gegeven minima, kan gebruik worden gemaakt van de DAF-waarden uit tabel 2, die zijn afgeleid van figuur 3. Het is dus van belang om op een be- trouwbare manier de eigenfrequentie van een tribune-element te bepalen. De eigen - f requentie van de lege tribune wordt bere- kend uit de buigstijfheid van het tribune- element ( EI), de massa van de lege tribune (m ) 2 Overzicht praktijkvoorbeeld tribune-element 2 Tabel 1?Eigenschappen praktijkvoorbeeld tribune-element afkorting grootheid waarde A oppervlak 349.600 mm² q g;k eigen gewicht 8,6 kN/m q q;k veranderlijke belasting 6,4 kN/m b p belastingbreedte 1,6 m C betonsterkteklasse C53/65 B  betonstaalsoort B500B L overspanning 9,0 m M G moment t.g.v. eigen gewicht 87 kNm M Q moment t.g.v. veranderlijke belasting 65 kNm M Ek moment t.g.v. karakteristieke belasting 152 kNm M Ed rekenwaarde moment 202 kNm M Rd rekenwaarde momentweerstand element 210 kNm M Rk karakteristieke momentweerstand element 245 kNm M cr scheurmoment element 120 kNm EI un ongescheurde buigstijfheid 260.645 kNm² EI cr gescheurde buigstijfheid 44.310 kNm² E un ongescheurde E-modulus beton 38.500 N/mm² E cr gescheurde E-modulus beton 6.545 N/mm² 54? CEMENT 1 20 23 en de overspanning van het tribune-ele- ment (L): p s pF p n G DAF n G k DAF G ?? = = ?? ?? s 4 2 EI f AL = 22 cr cr eff\fn cr 1 MM EI EI EI MM ?? ?? ?? = + ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? cr cr D\fn cr 1 MM EI \b EI \b EI MM ?? ?? ?? = + ?? ?? ?? ?? ?? ?? (2) De massa en de o verspanning van een tribune- element zijn goed vast te stellen. Dit is voor de buigstijfheid een stuk lastiger. Met name omdat de buigstijfheden in Eurocode 2 [6] statische buigstijfheden zijn en in dit geval de dynamische buigstijfheid van belang is. Deze blijkt af te wijken van de statische buigstijf- heid (zie onder kopje 'Dynamische buigstijf- heid van beton'). Dynamische buigstijfheid beton Met Eurocode 2 [6] kan de statische buigstijf - heid, rekening houdend met tension stiffening, worden bepaald met formules (7.18) en (7.19). Tension stiffening is de verstijvende werking van het beton, die tussen de scheuren aan- wezig is. Dit wordt in rekening gebracht door de stijfheid ter plaatse van de scheur en de ongescheurde stijfheid naar (een experimen - teel onderzochte) verhouding op te tellen. Wanneer in deze formules de vervormings- parameter ? wordt uitgedrukt in termen van de buigstijfheid EI, ontstaat de volgende relatie: p s pF p n G DAF n G k DAF G ?? = = ?? ?? s 4 2 EI f AL = 22cr cr eff\fn cr 1 MM EI EI EI MM ?? ?? ?? = + ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? cr cr D\fn cr 1 MM EI \b EI \b EI MM ?? ?? ?? = + ?? ?? ?? ?? ?? ?? (3) Hierin is M cr het scheurmoment, M het optredende moment, EI un de ongescheurde buigstijfheid, EI cr de gescheurde buigstijf- heid en ? een coëfficiënt die rekening houdt met de invloed van de belastingduur of herhaalde belasting op de gemiddelde rek: enkele, kortdurende belasting: ? = 1,0; aanhoudende belasting of meervoudige cycli van herhalende belastingen: ? = 0,5. Zoals gezegd betreft het hier een statische buigstijfheid. In [5] wordt een experimenteel gevalideerd model gegeven voor de dynami- sche buigstijfheid (EI D): p s pF p n G DAF n G k DAF G ?? = = ?? ?? s 4 2 EI f AL = 22 cr cr eff\fn cr 1 MM EI EI EI MM ?? ?? ?? = + ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? cr cr D\fn cr 1 MM EI \b EI \b EI MM ?? ?? ?? = + ?? ?? ?? ?? ?? ?? (4) In deze f ormule is ? een experimenteel te bepalen factor. Volgens de experimenten uitgevoerd in [5] ligt ? tussen 0,6 en 0,8. De formule voor de buigstijfheid lijkt qua struc- tuur erg op die van de Eurocode, maar heeft een andere coëfficiënt ( ? in plaats van ?) en geen machtsverheffing. De coëfficiënt ? ligt in dit model wel precies tussen de waarden van coëfficiënt ? in de Eurocode. 3 Dynamische amplificatiefactor van een tribune-element bij een sprongfrequentie van 2 Hz Het is van belang om op een betrouwbare manier de eigenfrequentie van een tribune-element te bepalen 3 Tabel 2?Dynamische amplificatiefactoren (DAF ) van een tribune-element met 5% demping resonantiepiek 123hoger eigenfrequentie f s < 3 Hz3 Hz ? f s < 6 Hz 6 Hz ? f s < 8,4 Hzf s ? 8,4 Hz springen 4,82,41,51,0 energiek concert 3,21,61,01,0 CEMENT 1 2023 ?55 0 2 4 6 8 10 12 0246 8 10 12Eigenfrequentie f
??,
?? 
?
v

u
]
?

Z



o

?
?
]
v
P

}
}
?
u

v
]
P
?
 p s[kN/m 2] Tribune element Minimum concert Minimum springen Snijpunt springen Bezwijken 0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 40000 45000 0 50100 150200250 E-modulus Moment [kNm] E-dyn E-eurocode2, B=1 E-eurocode2, B=0,5 Mcr MRk 4 5 De dynamische belasting door bewegende menigtes moet iteratief worden bepaald 4 Invloed van de belasting op de statische en dynamische buigstijfheid van het praktijkvoorbeeld 5 Eigenfrequentie praktijkvoorbeeld als functie van de dynamische belasting In figuur 4 zijn deze modellen met elkaar ver - geleken voor het praktijkvoorbeeld van een tribune-element ( ? = 0,7, arbitrair gekozen) en uitgedrukt in de effectieve E-modulus (E eff). De modellen uit de Eurocode verliezen pas stijfheid wanneer het scheurmoment wordt overschreden, terwijl dit bij de dynamische stijfheid al eerder gebeurt. Volgens de auteurs van [5] is dit vermoedelijk te wijten aan micro - scheurvorming. Voor waarden iets hoger dan het scheurmoment, blijk t dat het model van de Eurocode met ? = 1,0 te gunstig is en met ? = 0,5 te ongunstig ten opzichte van het dy - namische stijfheidsmodel. Voor hogere waar - den van het buigend moment is het dynami - sche stijfheidsmodel gunstiger dan beide E urocodemodellen. Een verklaring hiervoor wordt in [5] niet gegeven. De invloed van de belasting op de dynami- sche stijfheid is groot. Een tribune-element met weinig belasting zal zich aanzienlijk stij- ver gedragen dan een tribune-element met veel belasting. Dit is conform de verwachting bij gewapend beton als gevolg van optredende scheurvorming. De gescheurde dynamische stijfheid blijkt bij het karakteristieke bezwijk - moment te zijn afgenomen tot circa 50% van de ongescheurde stijfheid. Dit komt overeen met reductiefactoren voor buigstijfheden uit andere normen, zoals de Amerikaanse norm ACI-318-19, waar een 50% reductie voor de buigstijfheid van gescheurde balken in line- aire analyses voor de gebruikstoestand wordt voorgeschreven. Eigenfrequentie praktijkvoorbeeld De eigenfrequentie wordt berekend door de dynamische stijfheid uit het voorgaande toe te passen in formule (2). Omdat in deze ana - lyse het gedrag van de constructie wordt on - derzocht, zijn karakteristieke waarden van 56? CEMENT 1 20 23 Figuur 6. Iteratieproces bepaling \fynamische belasting springen\fe menigte Bereken de dynamische belasting met: p s= n G k pDAF Lees de bijbehorende eigenfrequentie af in figuur 5 Bepaal de nieuwe waarde van de DAF volgens tabel 2 de constructie aangehouden. In figuur 5 is de eigenfrequentie van het praktijkvoorbeeld ge - toond als functie van de dynamische belasting door de menigte p s. Hieruit blijkt dat het tri - bune-element altijd een eigenfrequentie hoger dan 6 H z heeft, die geldt als minimumeis voor energieke concerten. Bij een dynamische be - lasting van de menigte vanaf 4,0 kN/m² is de eig enfrequentie lager dan 8,4 Hz, de grens in geval van springen. Bij springen moeten dus resonantie-effecten in rekening worden ge - bracht. De waarde van 4,0 kN/m² komt in dit v oorbeeld per toeval overeen met de veran - derlijke belasting, maar dat wordt hier niet bedoeld. Bij ander e tribunes, overspanningen of wapening zal deze waarde lager of hoger dan 4,0 kN/m² liggen. Bij een dynamische belasting van 9,7 kN/m² is de karakteristieke moment- weerstand M Rk = 245 kNm (tabel 1) bereikt (M = 1/8 × (8,7 + 1,6 × 9,7) × 9² = 245 kNm). Dynamische belasting op tribune- element Nu zijn alle uitgangspunten voor de bereke- ning van de dynamische belasting vastge- steld. Met deze informatie moet iteratief de dynamische belasting door bewegende me- nigtes worden bepaald. Het iteratieproces (fig. 6) verloopt als volgt: 1 Bepaal de d ynamische belasting met DAF = 1, dus: p s = n G k p · 1. 2 Lees de bijbehor ende eigenfrequentie af in figuur 5 (figuur 5 is alleen geldig voor dit praktijkvoorbeeld en dient per geval opnieuw berekend te worden). 3 Bepaal op basis van de afgelezen eigenfre- quentie de nieuwe waarde van de DAF volgens tabel 2. 4 Ber eken de nieuwe dynamische belasting met: p s = n G k p DAF 5 H erhaal stap 2 t/m 4 totdat de DAF niet meer wijzigt. De resultaten van de laatste stap van dit ite- ratieproces zijn in tabel 3 weergegeven. Bij springen ligt de eigenfrequentie tussen 7,1 en 8,4 Hz volgens figuur 5, wanneer de dynami- sche belasting hoger is dan 4 kN/m² (weder- om niet te verwarren met de veranderlijke belasting). In dat frequentiegebied is de DAF voor springen 1,5. In het geval van energieke concerten heeft de DAF te allen tijde de waarde 1,0, omdat de eigenfrequentie van het tribune-element niet onder de 6 Hz komt. Wat opvalt is dat de belasting bij springen bijna verdubbelt (van 3,8 kN/m² naar 7,1 kN/m²), wanneer het aantal perso- nen van n = 2 naar n = 2,5 p/m² overgaat. Dit komt doordat de DAF in één keer van 1,0 naar 1,5 schiet (tabel 3). Of deze dynamische amplificatie in de praktijk ook optreedt, is sterk de vraag. De eigenfrequentie van het tribune-element ligt bij n = 2,5 p/m² op 7,6 Hz. Om samen te vallen met de derde resonan- tiepiek van de sprongbelasting, moet de sprongfrequentie van de menigte f p = 7,6 / 3 = 2,5 Hz zijn. Dit ligt redelijk aan de boven- kant van de gemiddeld optredende sprong- frequenties (1,5 tot 2,8 Hz), dus is het denk- baar dat dit in de praktijk niet gebeurt. Daarnaast kan de eigenfrequentie in de praktijk hoger liggen dan theoretisch bere- kend door verborgen stijfheden en/of hogere betonsterkten. Dit moet door metingen of experimenten verder worden onderzocht. Bij n ? 4 p/m² is in tabel 3 geen eigen- frequentie bij springen gegeven, omdat de belasting boven de bezwijkbelasting in ge- bruikstoestand uitkomt. Dit is aangegeven met een rood kruis in de tabel. Ten slotte zijn in de tabel de waarden voor zitplaatsen (n = 2,5 p/m²) met groen aangegeven en voor staanplaatsen (n = 4,0 p/m²) met blauw. Op basis van het voorspelde gedrag en bijbe- horende belastingen wordt in het navolgende de veiligheid van het praktijkvoorbeeld beoor- deeld. Constructieve veiligheid De constructieve veiligheid van het bestaande element wordt in dit praktijkvoorbeeld met 6 6 Iteratieproces bepaling dynamische belasting springende menigte CEMENT 1 2023 ?57 NEN 8700 op verbouwniveau beoordeeld. Hiermee wordt de veiligheid in dit praktijk- voorbeeld getoetst voor een restlevensduur van 15 jaar. Op dezelfde wijze als voor ver- bouwniveau kan de tribune ook op afkeur- niveau worden getoetst. Dit wordt aan de lezer overgelaten.Voor de toetsing aan verbouwniveau gelden de belastingsfactoren ?G = 1,2 en ?Q = 1,5, uitgaande van CC3-klasse met een ver- gunning afgegeven voor 2003 [7]. De dyna- mische belasting waarbij in de uiterste grenstoestand bezwijken optreedt, kan met de genoemde belastingsfactoren, het eigen gewicht van het tribune-element en het be- zwijkmoment M Rd = 210 kNm, worden bere- kend en is gelijk aan p sk = 4,3 kN/m². In de gebruikstoestand wordt het karakteristieke bezwijkmoment bereikt als de dynamische belasting gelijk is aan p sk = 9,7 kN/m², zoals eerder al bepaald. In figuur 7 zijn de resulta- ten uit tabel 3 en de veiligheidsniveaus in de uiterste en gebruikstoestand grafisch weer- gegeven. Voor springen zijn ook de waarden voor DAF = 1 gegeven, gezien de onzekerheid in de sprongfrequentie van de groep en de eigenfrequentie van de constructie. Uit figuur 7 blijkt dat bij energieke concerten 3,7 personen per m² zijn toege- staan. De tribune voldoet dan met het ge- bruik als zittribune. Bij voetbalwedstrijden (springen) zijn er 2,0 personen per m² toege- staan. Deze voldoet dan niet met staan- en zitplaatsen. Niet-lineaire dynamische berekening In het navolgende zal worden onderzocht hoe het niet-lineaire dynamische gedrag van de constructie is bij springen met n = 2,5 p/m². Dit is namelijk het punt waar het dynamische gedrag een belangrijke rol in de grootte van de belasting gaat spelen. De niet-lineaire dynamische bereke- Door niet-lineair te rekenen kan de dynamische respons vlak voor bezwijken worden geoptimaliseerd 7 Dynamische belasting menigte in relatie tot de benodigde veiligheid Tabel 3?Dynamische belasting praktijkvoorbeeld met G = 0,785 kN concert (impactfactor k p = 1,5) springen (impactfactor k p = 2,4) n [p/m²] DAF [?] p s [kN/m²] f s [Hz] DAF [?] p s [kN/m²] f s [Hz] 0,5 1,00,610,01,00,99,8 1,0 1,01,29,61,01,99,2 2,0 1,02,49,01,03,88,5 2,5 1,02,98,91,57,17,6 3,0 1,03,58,61,58,57, 3 4,0 1,04,78,21,511,3x 5,0 1,05,97, 81,514,1x 7 58? CEMENT 1 20 23 ms Fp(t) Fs [kN] u [mm] 23 k eff = ? 1 Fs(t) Legenda: 1: ongescheurde tak 2: gescheurde tak 3: vloeien wapening 4: ontlasten en herbelasten u(t) 4 4 ning wordt gemaakt door een één-massa- veer-dempersysteem met een niet-lineaire veer per tijdstap op te lossen (fig. 8). De niet-lineaire veer gedraagt zich conform de dynamische stijfheid van formule (4) en mo- delleert plastisch gedrag wanneer de wape- ning gaat vloeien. Ontlasten en herbelasten wordt altijd lineair naar de oorsprong ge- daan. Dit is in figuur 8 weergegeven met de dubbele pijl en resulteert in een 'effectieve' veerstijfheid k eff. De sprongbelasting door de menigte (op een starre ondergrond) is F p(t) en de dynamische respons van de constructie is F s(t). De resultaten van deze berekening voor springen met n = 2,5 p/m² en f p = 2,4 Hz zijn getoond in figuur 9. In deze figuur zijn per situatie drie grafieken weergegeven. Deze zijn van boven naar beneden: belasting springende menigte F p( t ) en de dynamische reactiekracht van de tribune F s( t ); kracht-verplaatsingsdiagram (F s-u) van het tribune-element; verloop van de (effectieve) eigenfrequentie in de tijd. In deze figuur is te zien dat de DAF nog steeds redelijk groot is. Deze berekening is herhaald voor verschillende sprongfrequenties van de menigte en de resultaten staan in tabel 4. De DAF blijkt bij een sprongfrequentie van 2,4 Hz maximaal te zijn, die eerder op 2,5 Hz was bepaald. De verschillende berekenings- methoden geven dus een vergelijkbaar re- sultaat op dit punt. De waarde van de DAF is in de niet-lineaire analyse (DAF = 1,4) wel iets lager dan op basis van de lineaire analy - ses is bepaald (DAF = 1,5), maar niet veel. Om de laagste DAF -waarde uit de niet-line- aire analyse te onderzoeken, is de belasting opgevoerd totdat bezwijken optrad. Dit ge- beurde bij een DAF = 1,3 (fig. 10). De effectieve eigenfrequentie van het tribune-element is door het vloeien verder gezakt naar 6,9 Hz in figuur 10. Hierdoor valt deze net niet meer samen met een resonantiepiek van respectievelijk 2,4 Hz, 4,8 Hz en 7,2 Hz en worden resonantie-effecten geminimali - seerd. Uit tabel 4 blijkt ook de hoge gevoelig- heid van de DAF rondom de sprongfrequen- tie van 2,4 Hz. Het is maar zeer de vraag of een menigte dusdanig maatvast kan sprin- gen, dat precies 2,4 Hz kan worden aange- houden. Op basis van deze overwegingen lijken metingen een logische vervolgstap. Uit de metingen kan de dynamische amplificatie- factor (DAF ), sprongfrequentie, eigenfre- quentie, impactfactor en demping worden afgeleid en kan veel onzekerheid worden weggenomen. Wanneer uit metingen blijkt dat de tribune bij zitplaatsen nog steeds niet voldoet, moe- ten andere maatregelen worden getroffen. Dit kunnen zijn: 8 8 Eén-massa-veer-dempersysteem met niet-lineaire veerkarakteristiek Tabel 4?Dynamische amplificatiefactoren (DAF ) bij verschillende sprongfrequenties praktijkvoorbeeld fp [Hz]1,6 1,822,22,42,62,8 DAF 1,08 1,12 1,141,22 1,40 1,34 1,16 CEMENT 1 2023 ?59 0 20 40 60 80 100 120 0,000 1,0002,000 3,0004,0005,000 6,000 Belasting [kN] Tijd [s] Dynamische reactiekracht van de tribune (Fs(t)) Belasting springende menigte Fp(t) Eigengewicht tribune-element Statisch gewicht van stilstaande menigte Plastische weerstand (moment) tribune aantal zitplaatsen reduceren naar 2,0 per- sonen per m² bij voetbalwedstrijden; constructie versterken. Conclusie en aanbevelingen De gescheurde dynamische stijfheid van een gewapend betonnen tribune-element blijkt een grote invloed te hebben op de eigenfre- quentie hiervan en de optredende dynami- sche belasting door bewegende/springende menigtes. Er wordt aanbevolen meer experi- menteel onderzoek te doen naar de dynami- sche stijfheid en eigenfrequentie van zwaar- belaste gewapende tribune-elementen. Uit de analyse van het praktijkvoor- beeld blijkt dat, bij de uit de literatuur over- genomen belastingmodellen, de belasting bij energieke concerten lager is dan bij syn - chroon springen. Hierdoor is het veilig - heidsniveau van zitplaatsen bij energieke concerten (n = 2,5 p/m²) in dit voorbeeld wél acceptabel, terwijl bij voetbalwedstrijden 9 Resultaten van de niet-lineaire dynamische berekening van het praktijkvoorbeeld bij een sprongfrequentie van 2,4 Hz en n = 2,5 p/m²: (a) belasting springende menigte F p(t) en de dynamische reactiekracht van de tribune F s(t); (b) kracht- verplaatsingsdiagram (F s-u) van het tribune-element; (c) verloop van de (effectieve) eigenfrequentie in de tijd 9a 9b 9c 60? CEMENT 1 20 23 0 20 40 60 80 100 120 0,000 1,000 2,000 3,000 4,000 5,000 6,000 Belasting [kN] Tijd [s] Dynamische reactiekracht van de tribune (Fs(t)) Belasting springende menigte Fp(t) Eigengewicht tribune-element Statisch gewicht van stilstaande menigte Plastische weerstand (moment) tribune met synchroon springende supporters met zitplaatsen de situatie net wel/net niet veilig is volgens het verbouwniveau van NEN 8700. Door niet-lineair te rekenen kan de dynamische respons vlak voor bezwijken worden geoptimaliseerd, maar deze optima- lisatie was in het praktijkvoorbeeld beperkt tot circa 15%. Ten slotte blijkt de constructie erg gevoelig te zijn voor het gedrag van de menigte (syn- chronisatie en vasthouden van één vaste maat). De werkelijke effecten kunnen door metingen inzichtelijk worden gemaakt. Dit kan bij bestaande constructies een goede uitkomst bieden om de veiligheid te onder- zoeken. Voor nieuwe constructies wordt geadviseerd de constructie direct te ontwer- pen op de effecten van bewegende menigtes. Bij voorkeur door de eigenfrequentie hoog genoeg te maken, zodat resonantie-effecten geen rol kunnen spelen. LITERATUUR 1?Spanenburg, M., Dynamische belasting op tribunes. Cement 2022/2. 2?Guide to safety at sports grounds, fifth edition, department for culture, media and sports, 2008. 3?Dynamic performance requirements for permanent grandstands subjected to crowd loads, The Institution of Structural Engineers, 1 December 2008. 4?Ellis, B.R. en Ji, T., The response of structures to dynamic crowd loads. BRE Digest #426. 2004. 5?Jerath, M. en Shibani, M.M., Dynamic stiffness and vibrations of reinforced concrete beams. ACI Journal, maart- april 1985. 6?NEN-EN 1992-1-1: Beton ? Algemeen. 7?NEN-EN 8700 Grondslagen bestaande bouw. 10 Resultaten van de niet-lineaire dynamische berekening van het praktijkvoorbeeld bij een sprongfrequentie van 2,4 Hz, waarbij de belasting is opgevoerd tot nét voor bezwijken: (a) belasting springende menigte F p(t) en de dynamische reactiekracht van de tribune F s(t); (b) kracht-verplaatsingsdiagram (F s-u) van het tribune-element; (c) verloop van de (effectieve) eigenfrequentie in de tijd 10a 10b 10c CEMENT 1 2023 ?61