themaEEM en prefab beton3201460themaEEM enprefab betonDe krachtsverdeling en vervormingen van geprefabriceerdebetonconstructies kunnen niet altijd met eenvoudige staafmo-dellen worden benaderd. Ingewikkelde elementverdelingen,storende wandopeningen of verbindingen vereisen soms eenmeer nauwkeurige constructieve beschouwing. De construc-teur kan dan kiezen voor de eindige-elementenmethode (EEM),waarmee ook de invloed van de elementverdeling en deverbindingen in rekening kan worden gebracht.1Eindige-elementenmethode ingezet voorgeprefabriceerde wand- en buisconstructiesEEM en prefab beton 32014 61NcFvFvFvFvcsssSSwDe afzonderlijke elementen van geprefabriceerde wanden, kernenen buisconstructies worden in de praktijk met verschillendesoorten verbindingen aan elkaar gekoppeld. Bekende verbindin-gen zijn de met stekken gewapende mortelvoegen, vertandingen,lasplaten of natte knopen. Vanwege de eenvoud en de kostenhebben mortelvoegen en vertandingen de voorkeur.De buisconstructie in figuur 2 is een voorbeeld van hoe men in dehedendaagse ontwerppraktijk een geprefabriceerde stabiliteits-constructie zou kunnen uitvoeren. De wandelementen zijn voorde benodigde samenwerking in verband geplaatst. De horizontalevoegen zijn met stekken gewapende mortelvoegen. De verticalevoegen zijn constructief open voegen omdat ze in de meestegevallen slechts `bouwkundig' worden gevuld. De wandelementenzijn in de hoeken voorzien van vertandingen waartussen even-eens gewapende mortelvoegen zijn aangebracht.Horizontale mortelvoegenVoor een goede samenwerking tussen prefab elementen wordtvan een horizontale mortelvoeg verwacht dat deze een druk-,trek- en afschuifcapaciteit kan leveren. Bij het ontwerpen vaneen stabiliteitsconstructie is het aan te bevelen de betoncon-structie en de mortelvoegen zo veel als mogelijk permanentonder druk te houden. In sommige gevallen is dat niet mogelijken moet vanwege de trekspanningen de buigstijfheid van debetonconstructie worden gereduceerd. De afschuifcapaciteitvan een mortelvoeg onder trek is eveneens beperkt tot debijdrage van de deuvelwerking van de wapening.Sinds de jaren zestig van de vorige eeuw is het afschuifgedragvan `aansluitvlakken van op verschillende tijdstippen gestortbeton' veelvuldig beproefd en bestudeerd. Het blijkt datverschillende mechanismen een bijdrage leveren aan deafschuifcapaciteit (Fv) (fig. 3):? aanhechting tussen de materialen;? wrijving ten gevolge van drukspanningen Nc;? ruwheid of profilering van het aansluitvlak;? deuvelwerking wapening;? drukspanningen csten gevolge van verlenging wapening.Uit de proeven blijkt dat gedurende het opvoeren van deafschuifkracht de verschillende mechanismen niet gelijktijdigoptreden. Deze bereiken bij verschillende verplaatsingen hunuiterste waarde. De bijdrage van elk mechanisme kan dus nieteenvoudig bij het andere worden opgeteld.In de literatuur [2] wordt onderscheid gemaakt tussen aansluit-vlakken met `sterke aanhechting' en `zwakke aanhechting'. Bij`sterke aanhechting' levert de aanhechting tussen de materialende belangrijkste bijdrage. De uiterste schuifspanning wordt dangevonden bij zeer kleine verplaatsingen s (ongeveer 0,05 mm).Bij een `zwakke aanhechting' wordt de bijdrage aan de afschuif-capaciteit door wrijving ten gevolge van drukspanningen enir. dick van keulen rcTU Delft, fac. CiTG /Ingenieursstudio DCK1 Ziggo Dome in aanbouw met uit prefab-betonelementen opgebouwdepodiumwand2 Geprefabriceerde buisconstructie3 Afschuifgedrag van aansluitvlakken [1]; aanhechting en wrijving t.g.v. Ncvanopgeruwd oppervlak (a), deuvelwerking wapening (b), drukspanningen t.g.v.verlenging wapening (c)23a 3b 3cthemaEEM en prefab beton3201462ltylt,plFsuSendbyb,pl24 Vervormingen van een op trek belaste ingestorte wapeningsstaaf [1]waarbij:c fctd= bijdrage aanhechting (c = co?ffici?nt)? n= bijdrage wrijving t.g.v. van de normaaldrukspan-ning (? = wrijvingsco?ffici?nt)? fyd= bijdrage wapening ( = wapeningspercentage)In tabel 1 zijn de formules voor de afschuifweerstand en debijbehorende verplaatsingen gegeven die horen bij een sterke ofzwakke aanhechting van de mortelvoeg. Er zijn voorwaardenverbonden aan de keuze voor sterke of zwakke aanhechting.? Sterke aanhechting: de aanhechting is intact, de mortelvoegblijft permanent onder druk, het aansluitvlak is niet geprofi-leerd en de bijdrage van de wapening (? fyd) wordt verwaar-loosd.? Zwakke aanhechting: de aanhechting is verloren gegaan. Ditkan zijn veroorzaakt door (buig)trekspanningen of door hetlichten van het prefab element nadat de mortelvoeg is uitge-hard. De bijdrage van de aanhechting (c fctd) moet wordenverwaarloosd.StijfhedenVoor het modelleren van mortelvoegen met eindige-elemen-tensoftware moet de afschuifstijfheid en de normaalstijfheidbekend zijn. De afschuifstijfheid van een mortelvoeg kanworden bepaald door de rekenwaarde van de afschuifweerstandte delen door de verplaatsing.Voor een afschuifstijfheid geldt:(2)Rdi 3x;schuif 10v tks=cdy;drukA Ekd=Send;1 Send;2 s;voegy;trek1 1 1 1k k k k= + +Rdi 33x;schuif0,43 35010 10 250 833 kN/m/m0,6v tks= = =cd 8y;druk350 1000 110001,925 10 kN/m/m20A Ekd= = =waarbij:kx;schuif= lineaire afschuifstijfheid in [kN/m/m]vRdi= rekenwaarde van de afschuifweerstand [N/mm2]t = wanddikte [mm]s = verplaatsingen [mm]De normaalstijfheid van mortelvoegen onder druk wordtbepaald door de normaalstijfheid van de voegmortel en deinteractie met het aangrenzende prefab beton. Omdat dehoogte van de voeg klein is ten opzichte van de hoogte van dewand zal een beperkt afwijkende stijfheid voor de mortelvoegweinig invloed hebben op de gehele betonconstructie.De normaalstijfheid onder druk kan met de volgende formuleworden bepaald:(3)Rdi 3x;schuif 10v tks=cdy;drukA Ekd=Send;1 Send;2 s;voegy;trek1 1 1 1k k k k= + +deuvelwerking van de wapening geleverd. De verplaatsingen sbij de uiterste schuifspanningen zijn in dit geval groter enliggen tussen 0,5 ? 1,5 mm [2].Met behulp van de onderstaande formule uit Eurocode 2,artikel 6.2.5 [3] kan een rekenwaarde voor de afschuifweer-stand vRdi[N/mm2] worden bepaald. Hoewel de afschuifweer-stand geldt voor aansluitvlakken, wordt deze in de literatuur enin de praktijk ook toegepast voor mortelvoegen.vRdi= c fctd+ n+ fyd 0,5 v fcdvoor = 90? (1)Tabel 1 Schuifspanningen en indicatieve verplaatsingen voor mortelvoegenschuifspanningen en verplaatsingen formule afschuifweerstand vRdi[N/mm2] UGT [mm] BGT [mm]sterke aanhechting vRdi= c fctd+ n 0,5 v fcd0,6?1,0 0,2zwakke aanhechting vRdi= n+ fyd 0,5 v fcd1,0?1,5 1,04EEM en prefab beton 32014 63V3V3V3V3VdVdMdF2F2F1F1lijn-lijn interface-elementenpunt-punt interface-element2D-membraanelementen3D-schaalelementenstijf element5 Krachtsverdeling hoekverbindingen t.g.v. buigende momenten Md6 Eindige-elementenmodellen wandconstructie (a) en buisconstructie (b)(AxisVM)wapeningsstaaf zal ook over de dikte van de voeg verlengen.Deze stijfheid (ks;voeg) kan met de wet van Hooke wordenbepaald.De reciproke waarden van de verschillende stijfheden moetenbij elkaar worden opgeteld met de formule:(4)Rdi 3x;schuif 10v tks=cdy;drukA Ekd=Send;1 Send;2 s;voegy;trek1 1 1 1k k k k= + +Rdi 33x;schuif0,43 35010 10 250 833 kN/m/m0,6v tks= = =cd 8y;druk350 1000 110001,925 10 kN/m/m20A Ekd= = =HoekverbindingenHoekverbindingen worden hoofdzakelijk in verticale richtingbelast. De belasting is de verticale schuifkracht die vanuit hetlijf van een buisconstructie via de vertandingen op de flenzenwordt overgedragen. Tussen de vertandingen is een horizontalemortelvoeg met stekken aanwezig. Als de verbinding onderdruk blijft, levert de voegmortel de stijfheid. Zodra trekspan-ningen ontstaan, zullen deze door de stekken worden opgeno-men. De stijfheid van een stek op trek is lager dan de stijfheidvan voegmortel op druk. Dit betekent dat de verticale krachtenvoornamelijk via druk (F1) en in mindere mate via trek (F2)worden overgedragen (fig. 5). De stijfheden van een mortel-voeg op druk en trek kunnen met de hiervoor beschreven prin-cipes voor stijfheden van horizontale mortelvoegen wordenbepaald.Eindige-elementenmodellenVoor een beschouwing van de krachtsverdeling en vervormin-gen kan worden gebruikgemaakt van de eindige-elementenme-thode (EEM). Het maken van EEM-berekeningen kost meestalmeer tijd dan het benaderen van de krachtsverdeling envervormingen met staafwerkmodellen. Het is alleen al om diereden aan te bevelen dergelijke berekeningen alleen te makenals dat nuttig of noodzakelijk is. Bekende redenen zijn het:waarbij:ky;druk= lineaire normaalstijfheid in [kN/m/m]A = voegoppervlakte [mm2/m]Ecd= elasticiteitsmodulus van de wandconstructie[N/mm2]d = voegdikte [mm]De normaalstijfheid (ky;trek) van mortelvoegen onder trek wordtbepaald door de stijfheid van de ingestorte stekwapening. Hetprincipe van ingestorte wapening op trek is weergegeven infiguur 4. Omdat de wapening aan twee zijden is ingestort, is devervorming (Send) twee keer aanwezig. Voor ontwerpdoeleindenis in [1] een rekenmethode opgenomen waarmee de stijfheid(kSend) van een ingestorte staaf op trek kan worden bepaald. De56a 6bthemaEEM en prefab beton32014647 Invulscherm stijfheden interface element (AxisVM)8 Ter plaatse gestorte (a) en geprefabriceerde (b) podiumwanden kernen zo veel mogelijk uitgevoerd met geprefabriceerdebetonelementen. Voor de podiumwand (fig. 8b) is een horizon-tale demarcatie afgesproken, waarbij de onderbouw in terplaatse gestort beton is uitgevoerd en de bovenbouw met repe-terende prefab-betonelementen. Omdat de paalfundering wasuitgevoerd voor een ter plaatse gestorte betonconstructie isonderzocht of een geprefabriceerde wandconstructie dekrachtsverdeling op de palen te veel zou wijzigen.In figuur 8 is het eindige-elementenmodel voor een ter plaatsegestorte (a) en een geprefabriceerde wandconstructie (b) opge-nomen. De verticale voegen zijn gevuld met voegmortel enkunnen daarmee drukspanningen opnemen. De afschuifcapa-citeit van de gladde voegoppervlakken is verwaarloosd. Dekrachtsverdeling is ook bepaald voor verticaal open voegenomdat er geen specifieke aandacht is besteed aan de vullings-? nauwkeurig benaderen van de krachtsverdeling en vervor-mingen;? vinden van de krachtsverdeling en vervormingen vancomplexe constructies;? bestuderen van lokale effecten en de invloed van verbindin-gen;? onderbouwen van besparingen en optimalisaties.In figuur 6a is weergegeven hoe een wandconstructie in eeneindige-elementenprogramma kan worden gemodelleerd. Hetgedrag van de wandelementen wordt beschreven met2D-membraanelementen. Tussen de wandelementen zijn lijn-lijn interface-elementen gemodelleerd. Hiermee kan het gedragvan horizontale mortelvoegen en verticaal open voegen wordengemodelleerd.Figuur 6b is een schematische weergave van een buisconstruc-tie. Voor de wandelementen zijn 3D-schaalelementen gebruikt.In dit model wordt het gedrag van de horizontale mortelvoegeneveneens beschreven door de lijn-lijn interface-elementen. Indit model zijn ook hoekverbindingen gemodelleerd. De vertan-dingen overlappen elkaar en kruisen in het hart van de vertan-ding. Tussen de vertandingen is enige ruimte vrij gehoudenvoor het modelleren van punt-punt interface-elementen. Aandeze elementen kan het gedrag van de gewapende mortelvoegworden toegekend. Om piekspanningen in de betonconstructiete voorkomen, zijn stijve elementen toegepast (fig. 6). De verti-cale voegen zijn in het model van figuur 6b fysiek open enworden dus niet met interface-elementen gemodelleerd.In het programma AxisVM wordt een lijn-lijn interface-elementeen randscharnier genoemd. Figuur 7 is een afdruk van hetinvoerscherm van een randscharnier. Voor een horizontalemortelvoeg wordt een afschuifstijfheid kxen een normaalstijfheidkymet de eenheid kN/m/m opgegeven. Als de verticale voegenconstructief open zijn, kan het randscharnier worden gemodel-leerd met een stijfheid gelijk aan 0 kN/m/m. Indien een verticalevoeg wordt gevuld met mortel en ongewapend blijft, kan bij `niet-lineaire parameters' worden opgegeven dat het randscharnier eenstijfheid ky`alleen actief voor druk' kan leveren. Indien gewenstkan bij `grenswaarde' een bovengrens voor de sterkte wordenopgegeven. Het kracht-vervormingsgedrag van het element is danbilineair. Het invoerscherm van punt-punt interface-elementen isin principe gelijk aan dat in figuur 7. De stijfheid wordt bij dezeelementen in kN/m opgegeven. De stijfheid kan als `alleen actiefvoor druk' voor voegmortel of `alleen actief voor trek' voor stek-wapening worden meegenomen.PraktijkvoorbeeldenDe wand- en kernconstructies voor het Ziggo Dome inAmsterdam [4] waren in de ontwerpfase in ter plaatse gestortbeton gedacht. Op verzoek van de aannemer zijn deze wanden78b8aEEM en prefab beton 32014 659 Elementverdeling kernconstructie (a) en verticale spanningen (b)10 Uit prefab elementen opgebouwde kernconstructie Ziggo Domevan de kernconstructie be?nvloeden. Uit een vergelijk tussenhet gedrag van de ter plaatse gestorte en de geprefabriceerdekernconstructie bleek dat de kernconstructie met prefab-beto-nelementen kon worden gemaakt. Dit kon zonder dat deoorspronkelijke dimensies van de betonconstructie moestenworden gewijzigd.Tot slotHet gedrag van mortelvoegen in hedendaagse geprefabriceerdebetonconstructies kan met behulp van Eurocode 2 [3] en proefne-mingen uit de literatuur bij benadering worden vastgesteld. Eenaantal eindige-elementenprogramma's beschikt over interface-elementen waarmee dit gedrag tussen de wandelementen kanworden gemodelleerd. De praktijkvoorbeelden tonen aan dat hetmogelijk is de krachtsverdeling en de vervormingen van geprefa-briceerde wand- en buisconstructies meer nauwkeurig te bepalen.Een eindige-elementenmodel is een oplossing voor betoncon-structies met ingewikkelde elementverdelingen, storende wand-openingen en verbindingen die niet met staafmodellen zijn teberekenen. Dit schept mogelijkheden voor constructeurs die ge?n-teresseerd zijn in het gedetailleerd analyseren of optimaliseren vancomplexe geprefabriceerde betonconstructies. literatuur1 fib Structural connections for precast concrete buildings. fib bulletin43, Guide to good practice, International Federation for StructuralConcrete (fib), 2008.2 fib Model Code for Concrete Structures 2010. fib Bulletin 65 and 66,International Federation for Structural Concrete (fib), 2012.3 NEN-EN 1992-1-1 Eurocode 2: Ontwerp en berekening van beton-constructies ? Deel 1-1: Algemene regels en regels voor gebouwen.4 Wenting, R., Vliet, H. van, Wolfswinkel, T., Maximale muziekbeleving.Cement 2012/2.graad. De stijfheden kunnen met de formules (1), (2) en (3)worden bepaald. Voor een mortelvoeg met `zeer glad' opper-vlak, een sterkteklasse van minimaal C45/55 in combinatie metpermanente normaaldrukspanning van n= 0,5 N/mm2geldt:vRdi= c f + n= 0,1 1,8 + 0,5 0,5 = 0,43 N/mm2Rdi 3x;schuif 10v tks=cdy;drukA Ekd=Send;1 Send;2 s;voegy;trek1 1 1 1k k k k= + +Rdi 33x;schuif0,43 35010 10 250 833 kN/m/m0,6v tks= = =cd 8y;druk350 1000 110001,925 10 kN/m/m20A Ekd= = =cdy;drukA Ekd=Send;1 Send;2 s;voegy;trek1 1 1 1k k k k= + +Rdi 33x;schuif0,43 35010 10 250 833 kN/m/m0,6v tks= = =cd 8y;druk350 1000 110001,925 10 kN/m/m20A Ekd= = =Uit het vergelijk blijkt dat de paalbelastingen van de beide vari-anten minder dan 2% uit elkaar liggen. Voor de funderingwaren dus geen redenen de wand niet deels in geprefabriceerdbeton uit te voeren.De vier kernconstructies achter de lange tribunes in het ZiggoDome waren eveneens volledig in ter plaatse gestort betongedacht (fig. 9). Ook voor deze kernen was het wenselijk dezevolledig in prefab beton uit te voeren. De kernen zijn opge-bouwd met verticale elementen omdat elementen van 5,2 mhoog (verdiepingshoogte) niet over de weg konden wordenvervoerd. Deze `kantelelementen' zijn 3,4 m breed en op debouwplaats rechtop gezet. Daarnaast wilde men geen natteknopen of lasplaten toepassen. Het gevolg is dat voor desamenwerking tussen de elementen in de verticale voegenalleen discrete tandverbindingen konden worden gemaakt. Metbehulp van eindige-elementenmodellen is onderzocht hoe dediscrete verbindingen de krachtsverdeling en de vervormingen109a 9b