48 thema Groningse rijtjeswoning onder de loep 1 Case study: bepaling capaciteit van metselwerk onder aardbevingsbelasting thema Groningse rijtjeswoning onder de loep 2 2015 49 300 5100 300 5400 150 1 50 2700 150 2700 600 40 0 820 0 400 846 0 450 4950 450 300 5100 300 12060120 12060120 580 580 8460 40° 1 0 0 Ui tg an gspun ten: ? ge vol gk las se 1 ? be lan grij k he idk las se I ? drage nd mets elw erk en pe nanten : ? ge lij m d k.z .st. C S12 : ? verd iep in gs vloe re n: ? kan aalpl ate n 150 m m ? pe rm ane nt belas ting v erd ie pi ngs vloe re n: ? e.g . v loe r 2, 6 k N/m 2 ? af werk laa g 1,0 kN/m 2 ? sc he idi ng sw and en 0 ,8 k N/m 2 ? ge bruik sbe las tin g 1,7 5 kN/m 2, 2 = 0,3 ? fun derin gs ba lk en ? pref ab C45/ 55 Het rekenvoorbeeld uit de NPR maakt gebruik van de toetsings- methode uit de NPR 9998 paragraaf 4.4.2.2. Deze methode beschrijft een toetsing op krachten. Annex B van Eurocode 8 (EC8) gaat uit van een toetsing op de combinatie van weerstand tegen vervorming en belasting. Vooral omdat aardbevingsbelas- ting een opgelegde vervorming betreft, is het toetsen op een dergelijke manier eleganter dan het toetsen op krachten. Dit is zeker zo in een niet-lineaire rekenprocedure. De nadruk in dit artikel ligt op een pushover-analyse, waarbij één uitbuigingsvorm is bekeken. Het uit-het-vlak-gedrag van metsel- werk zoals beschreven in de NPR 9998, is niet beschouwd. Input EEM-model Opzet EEM-model Figuur 3 toont het model dat is opgezet in DIANA. In dit voor - beeld wordt een woning getoetst die zich midden in de rij bevindt. Het is niet nodig de gehele rij te modelleren, omdat alle woningen dezelfde belasting ondervinden (m.u.v. de rand- woningen) en de woningen telkens zijn gescheiden door een spouw van 60 mm. De spouwwanden (120 mm) worden met gelijmd kalkzandsteen opgebouwd. Het model is opgebouwd uit shell-, beam- en interface elemen- ten. De shellelementen (schalen) representeren het metselwerk en de kanaalplaatvloeren. Het metselwerk is gemodelleerd met een smeared crack model , waarmee het niet-lineaire gedrag wordt gemodelleerd. De vloeren zijn lineair-elastisch gemodelleerd met de eigen- schappen van kanaalplaten met een zwakke buigstijfheid in de dwarsrichting. De vloeren zijn scharnierend verbonden met de wanden en zijn niet verbonden met de penanten, waardoor de vloer alleen kracht afdraagt op de dragende wanden. Tussen de vloeren en wanden bevinden zich interface elementen. Excen - triciteiten veroorzaakt door de oplegging van de vloer op de wand, zijn niet meegenomen. De funderingsbalken zijn gemodelleerd met beam-elementen. Deze elementen worden aan de lange zijde ondersteund door interface elementen die de onderstaande palen representeren. Deze interfaces zijn scharnierend aan de grond verbonden. De interface elementen tussen vloer en wand zijn stijf in de drukrichting (k n = 10 3 N/mm 3) en slap in de trekrichting (k n = 10 -3 N/mm 3), waardoor het kantelen goed kan worden gemodelleerd. De interface elementen onder de funderingsbalk representeren de ondersteuning van de palen. De twee topgevels en het dak zijn niet expliciet gemodelleerd, omdat ? net als in het rekenvoorbeeld steenconstructie van de NPR ? is aangenomen dat de topgevels voldoende worden gestabiliseerd door de kapconstructie. De massa van de top- gevels en het dak zijn op de randen van de tweede verdiepings- vloer toegevoegd. Metselwerk rijtjeswoningen kunnen goed worden beoordeeld met de NPR 9998, bijvoorbeeld aan de hand van het rekenvoorbeeld in Annex D [1]. Als alternatief kan Annex B uit Eurocode 8 [2] worden gebruikt. In dit artikel wordt die laatste toegelicht aan de hand van een case study (fig. 2). Daarbij wordt een pushover-analyse uitgevoerd met behulp van het eindige-elementenpakket DIANA. ir. Pim van der aa, ing. a b van den Bos TNO DIANA bv 1 Metselwerk rijtjeswoningen kunnen goed worden beoordeeld met de NPR 9998 en de Eurocode 8 2 Principe rijtjeswoning 2 groningse rijtjeswoning onder de loep 2 2015 50 A: penant B: dwarsmuur C: kanaalplaatvloer D: interface connectie E: fundatiebalk - 12,0 - 10,0 - 8,0 - 6,0 - 4,0 - 2,0 0,0 -6-5 -4-3-2-1 0 rekenwaarde gemiddeld [?] [N/mm 2] [N/mm 2] [?] 0,000,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0 0,1 0,2 0,30,4 0,50,6 0,7 0,8 trek 3 Opzet EEM-model 4 Spanning-rekrelatie van het metselwerk in druk (a) en trek (b) diagram is doorgetrokken totdat het materiaal geen spanning meer kan opnemen. Let wel dat hier is afgeweken van het mate- riaalgedrag van de NPR. De NPR beschrijft de spanning-rek- relatie met een abrupt einde (bij rekken groter dan 3,5? is de opneembare spanning direct 0). Bij een EEM-berekening is een dergelijk discontinue spanning-rekrelatie ongewenst, omdat dit veelal leidt tot numerieke problemen. De NPR geeft geen voorstel voor het gedrag onder trek (of stelt dit gelijk aan nul). Voor een eindige-elementenberekening is het noodzakelijk dat er enige treksterkte wordt toegekend aan het metselwerk, om onder andere enige dwarskrachtcapaciteit mogelijk te maken. In dit voorbeeld is voor beide sommen gekozen voor een maximale trekspanning van 0,2 MPa met lineaire softening (dit komt overeen met een rekenwaarde). Classificatie en belastingen Het gebouw valt onder gevolgklasse 1 (CC1B (verbouw en afkeuren)). Hierbij hoort een belangrijkheidsfactor ? I = 1,2 (NPR tabel 3.1). Deze wordt vermenigvuldigd met de referentie grondversnelling ( a g,ref), wat leidt tot de rekenwaarde van de grondversnelling ( a g). Weerstand De materiaaleigenschappen en belastingen zijn bepaald met behulp van de NPR. NPR 9998 paragraaf 4.4.2 geeft een formule voor de rekenwaarde van de weerstand van een element: R d = R (f k, ?m) / ? R Hierin wordt gerekend met karakteristieke waarden gedeeld door ? m de materiaalfactor (= 1,5 voor metselwerk). ? R is een partiële factor voor de weerstand van het element (= 1,1 voor CC1B). Het is onduidelijk hoe deze laatstgenoemde factor in een eindige-elementenberekening moet worden meegenomen. Een optie zou kunnen zijn om ? R aan de belastingkant toe te voegen, wat leidt tot een vergroting van het response spectrum. In dit artikel wordt deze factor niet meegenomen. Het aangehouden materiaalgedrag van het metselwerk wordt getoond in figuur 4a en 4b. Om de gevoeligheid van het mate- riaalgedrag te beoordelen, wordt voor de maximale drukspan- ning zowel de gemiddelde waarde als de rekenwaarde gebruikt, respectievelijk 9,9 MPa en 4,4 MPa. De spanning-rekrelatie onder druk volgt uit figuur 3.2 van de Eurocode 6-1 [3]. Dit 3a 4a 4b 3b thema Groningse rijtjeswoning onder de loep 2 2015 51 Se [g] T [s] 0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00 1,20 1,40 1,60 1,800 0,5 11,5 22,5 33,5 4 NPR - dec 2014 5 Elastisch response spectrum Resultaten EEM De resultaten worden in een uitvoerbestand geschreven dat kan worden geopend in de grafische DIANA-interface. Om tegelij- kertijd met het rekenproces de staat van de constructie te bekij- ken, kan de uitvoer van de maatgevende knoop in het model (te vinden in de eigenmode fig. 6) in een tekstbestand worden weggeschreven. In bijvoorbeeld Excel kan deze vervormings- curve worden geplot. Pushover-curve Figuur 8 laat de pushover-diagrammen zien van zowel de som met gemiddelde waarde, als de som met en de rekenwaarde van de maximale drukbelasting, waarbij de verplaatsing van de tweede verdieping is uitgezet. Ter vergelijk met de voorbeeldbe- rekening uit Annex D van de NPR is ook deze pushover-curve (verhouding 1,16) geplot. Hierbij is eveneens de verplaatsing In dit voorbeeld wordt beoordeeld aan welke maximale grond- versnelling de constructie voldoet. Figuur 5 toont het respons- spectrum dat wordt gebruikt bij de toetsing van deze bereke- ning. Let wel dat de toetsing via EC8, Annex B gebruikmaakt van het elastisch response spectrum (S e). Hierbij wordt het spectrum niet gereduceerd met de q- f a c t o r. In een pushover-analyse bestaat de belasting uit het eigen gewicht (gravitatiebelasting) en een toenemende horizontale belasting die het pushover-gedrag veroorzaakt. Formule 3.17 van EC8 beschrijft de gravitatiebelasting die moet worden meegenomen in een aardbevingsberekening. Dit bestaat uit de totale belasting van het eigen gewicht plus de in rekening te brengen veranderlijke belasting. ?G k,j "+" ?? E,i Qk,i EC8-1 en NPR 9998 beschrijven twee situaties die moeten worden beschouwd: de modale pushover-belasting en de uniforme pushover-belasting. Bij de modale pushover-belasting wordt de belasting verdeeld aan de hand van een uitbuigings- vorm. De krachtsverdeling wordt in DIANA automatisch bere- kend na een eigenwaardeanalyse. De grootte en verdeling van de belasting wordt direct berekend met behulp van de geselec- teerde uitbuigingsvorm (in dit geval mode 1, fig. 6), de accele- ratie en de massaverdeling. Dit leidt tot een modale krachtsver - deling. Het verdelen van de massa over de constructie gebeurt in dit geval veel zuiverder dan wanneer dit handmatig is verdeeld. Zeker bij meer complexere vormen in de constructie is dit een groot voordeel. Bij de uniforme pushover-belasting wordt de belasting uniform verdeeld over het gebouw, onafhankelijk van de uitbuigings- vorm. Voor beide situaties moeten toevallige torsie-effecten worden meegenomen. Hierbij moet het massamiddelpunt worden verplaatst met 0,05 maal de lengte van de vloer loodrecht op de richting van de aardbevingsbelasting: e ai = ± 0,05 L i Zowel de uniforme pushover-belasting als de toevallige torsie wordt in dit artikel verder niet meegenomen. Beide onderdelen zijn weliswaar bekeken. De uniforme pushover-belasting blijkt in dit geval echter niet maatgevend te zijn en de toevallige torsie-effecten hebben weinig invloed door de schijfwerking van de vloeren. Verder wordt alleen de modale pushover-belas - ting van mode 1 bekeken. Overige modes, waaronder het uit het vlak bezwijken van het metselwerk (fig. 7), worden niet beschouwd maar moeten in de praktijk wel degelijk worden getoetst. Calculatie EEM De workflow voor een aardbevingsberekening in DIANA is zeer eenvoudig gemaakt. In een gekoppelde berekening kunnen eerst de eigenmodes worden bepaald, waarna desgewenst een respons- spectrumanalyse wordt uitgevoerd over de noodzakelijke eigen- modes. Dit is een lineair-elastische berekening die eenvoudig kan worden getoetst. Echter deze toetsing is ook zeer conservatief. Om deze reden is ervoor gekozen met hetzelfde model voor de maat - gevende eigenmode een pushover-berekening te starten. Hiervoor is geen extra invoer voor het model benodigd. In deze niet-lineaire berekening wordt de horizontale pushover- belasting geleidelijk opgevoerd volgens de initiële verdeling op de uitbuigingsvorm. Dit betreft een krachtsgestuurde bereke - ning. Toch is het met DIANA mogelijk om de teruggang over de top te berekenen indien dit nodig is. In de praktijk mag dit traject eveneens worden meegenomen totdat de terugval 80% van de topwaarde bedraagt en indien er nog geen instabiliteit optreedt of totdat het metselwerk de maximale stuik heeft bereikt. 5 groningse rijtjeswoning onder de loep 2 2015 52 F [kN] 0 5 10 15 20 25 30 35 40 d [mm]0 510 15 2025 3035 40 rekenwaarde 26,8 kN 30,5 mm gemiddeld 33,5 kN 38,1 mm NPR voorbeeld 32,4 kN 30,6 mm ontstaan in de passieve penanten en 9b typische diagonalen scheuren die kenmerkend zijn voor een aardbevingsbelasting. Spanning In figuur 10 wordt de verticale drukspanning weergegeven van de som met de rekenwaarden. Daarbij is duidelijk zichtbaar dat in dit geval het linker penant de arbeid levert (actieve penant). Het rechter penant wordt in dit geval het passieve penant genoemd. Door de toenemende aardbevingsbelasting wordt de muur die is gekoppeld aan de actieve penanten, opgetild. Door het optillen van deze muur kan de extra normaalkracht in het penant samen met de hefboomsarm worden benut voor het creëren van momentcapaciteit. In figuur 10a wordt de spanning op de top van het pushover- diagram weergegeven, waarbij de teen nog net niet stuikt. In figuur 10b is de situatie na de top in de dalende tak te zien. Duidelijk zichtbaar is het stuiken (crushen ) van de onderzijde van het penant. Aanvullend is de verticale spanning in de inter - face in het plaatje opgenomen. De linkerzijde van het penant wipt op, waardoor de drukspanning daar nul is. Omdat het metselwerk niet is verankerd in de ondervloer kan er ook geen trek optreden. Toetsing volgens EC8-1 Annex B De resultaten zoals verkregen uit de hiervoor beschreven analyse, moet worden getoetst. Dit is gedaan volgens de toet- singsmethode die wordt beschreven in EC8-1 Annex B. Hierbij wordt de maximaal optredende verplaatsing vergeleken met de van de tweede verdieping geplot. Let wel dat de totale horizon- taalkracht van het voorbeeld uit de NPR met twee is vermenig- vuldigd ter vergelijk met het DIANA-model. Het NPR-voor - beeld beschouwt immers één actieve penant tegen twee actieve penanten in het DIANA-model. Beide DIANA-sommen berei- ken de maximale stuik waarna het gebouw instabiel wordt. Dit leidt ertoe dat de berekening niet meer kan convergeren en deze wordt stopgezet. In figuur 8 valt een aantal dingen op. Wanneer de curve van het NPR-voorbeeld wordt vergeleken met de som waarin gemid- delde waarden zijn gebruikt, komen beide curves tot ongeveer dezelfde opneembare kracht. Alleen het DIANA-model geeft een grotere maximale verplaatsing. Verder is de invloed van de twee materiaalmodellen duidelijk zichtbaar op de pushover- curves die volgen uit het DIANA-model. Scheurvorming Wanneer de berekening klaar is, kan het gedrag van de constructie voor elke stap worden terug bekeken. Op deze manier kunnen de groei van de vervormingen, de spanningen en de eventuele niet-lineariteiten (bijvoorbeeld scheurvorming) worden beoordeeld. Dit geeft inzicht of een constructie voldoet aan een uiteindelijke unity check en toont aan waar de zwakke plekken zitten. Daarnaast kan worden beoordeeld wat de te verwachten scheurvorming is bij een aardbevingsbelasting bij een willekeurig gegeven grondversnelling (als deze lager is dan de maximaal opneembare versnelling). Bij deze eenvoudige constructie kan het schadebeeld met een aantal figuren worden weergegeven. Figuur 9 laat de uiteinde- lijke scheurvorming zien voor beide sommen. In deze afbeel- ding wordt de scheurwijdte geplot. Ze laat duidelijk zien dat de invloed van het materiaalmodel leidt tot een verschillend scheur- en bezwijkpatroon. Zo laat figuur 9a scheuren zien die 6 7 8 6 Eerste eigenmode uitbuigingsvorm 7 Uitbuigingsvorm waarbij metselwerk lokaal uit het vlak wordt belast 8 Pushover-curves thema Groningse rijtjeswoning onder de loep 2 2015 53 9 Uiteindelijke scheur - vorming rekenwaar - de (a) en uiteindelijke scheurvorming gemiddeld (b) 10 Drukspanning in het penant (a) en druk - spanning bij bezwij- ken met interface spanning (b) te vermenigvuldigen met de equivalente massa (m*) van de eigenmode in kwestie (deze wordt automatisch berekend in DIANA). Daarmee verkrijgt men de verticale component van de grafiek (F*). F* = S e ? m* De horizontale as wordt omgeschreven naar een verplaatsing door de S e te delen door de gekwadrateerde omwentelings- frequentie. d* = S e / ? 2 Door dit voor alle trillingstijden te doen, wordt het Force Displacement Response Spectrum (FDRS) verkregen. Als het pushover-diagram verder komt dan de target displace- ment (dit wordt weergegeven met de rechtse, zwarte verticale lijn), voldoet de constructie voor de opgegeven grondversnel- ling. Daarmee kan uit figuur 11 worden afgelezen dat de constructie niet voldoet aan de grondversnelling van 0,42g. De target displacement (benodigde verplaatsing) bedraagt circa 37 mm en de behaalde verplaatsing circa 32 mm. De capaciteit kan worden bepaald door terugschaling. Dit leidt tot een maxi- maal opneembare grondversnelling van 0,36g. \ Ditzelfde kan ook worden gedaan voor de som met de reken- waarde. Deze som heeft een maximale verplaatsing van 25 mm en ook een target displacement van 37 mm. Dit leidt tot een maximaal opneembare grondversnelling van 0,26g. target displacement (toetsingsverplaatsing). De grootte van de target displacement is afhankelijk van de combinatie van de weerstand tegen vervorming en belasting van de constructie. Deze toetsing lijkt geschikter dan het toetsen op krachten, omdat aardbevingsbelasting een opgelegde vervorming betreft. Bovendien is een pushover bij uitstek geschikt om de vervor - mingscapaciteit goed in beeld te brengen, zeker in een niet- lineaire rekenprocedure. Figuur 11 toont de toetsingsmethode van de EC8-1 Annex B in één diagram. Hierbij is de pushover met de gemiddelde waarde gebruikt als voorbeeld. De opbouw van dit diagram wordt hieronder besproken. Voor het toetsen moeten de krachten (F) en verplaatsingen (d) die volgen uit de pushover-analyses worden omgerekend naar de krachten (F*) en verplaatsingen (d*) van het equivalente Single Degree Of Freedom (SDOF) systeem. Dit wordt gedaan door beide grootheden te delen door de transformatiefactor (?). Deze factor wordt automatisch berekend in DIANA voor elke eigenmode. Dit pushover-diagram kan worden vereenvoudigd tot een bili- neair diagram (groene lijn uit fig. 11), waarbij het oppervlak onder de grafiek gelijk blijft. Dit diagram beschrijft het perfect elastisch-plastisch gedrag van de constructie. Met behulp van de eerste tak kan de omwentelingsfrequentie worden bepaald (? 2 = k/m). De elastische tak wordt doorgetekend met de zwart gestippelde lijn. Deze wordt gebruikt om het target displace- ment te bepalen. Het elastisch responsspectrum (fig. 5) dient te worden omge- werkt van een versnelling-trillingstijddiagram naar een kracht- vervormingsdiagram. Dit kan eenvoudig door het spectrum (S e) 9a 10a 10b 9b groningse rijtjeswoning onder de loep 2 2015 54 F* [kN] 0 100 200 300 400 500 600 700 d* [mm] 0 510 15 2025 3035 40 FDRS no q-factor pushover bilineair T = 0,724 / f = 1,38 Hz/m 2 = 40,6T en r = 1,21 F* [kN] 0 4 6 8 10 12 14 16 d* [mm]0 510 15 2025 3035 40 2 FDRS no q-factor pushover bilineair T = 0,724 / f = 1,38 Hz/m 2 = 1T en r = 3 F* [kN] 0 20 30 40 50 60 70 80 d* [mm] 0 510 15 2025 3035 40 10 FDRS no q-factor pushover bilineair T = 0,724 / f = 1,38 Hz/m 2 = 5T en r = 1 45 F* [kN] 0 4 6 8 10 12 14 16 d* [mm] 0 510 15 2025 3035 40 2 FDRS no q-factor pushover bilineair T = 0,724 / f = 1,38 Hz/m 2 = 1T en r = 3 F* [kN] 0 20 30 40 50 60 70 80 d* [mm]0 510 15 2025 3035 40 10 FDRS no q-factor pushover bilineair T = 0,724 / f = 1,38 Hz/m 2 = 5T en r = 1 45 11 Toetsingsdiagram van Annex B voor de som met de gemiddelde waarde 12 T* is kleiner dan T C (het plateau) (a), T* is groter dan T C en kleiner dan T D (dalende tak) (b) 12a en 12b geven respectievelijk de situatie aan voor een tril- lingstijd kleiner dan T C en tussen T C en T D in (de aflopende tak). Conclusie case study Een eenvoudige case is uitgewerkt met het programma DIANA, waarbij de toetsing is uitgevoerd volgens de EC 8-1 Annex B op vervormingscapaciteit. De constructie blijkt een maximale grondversnelling van 0,42g in het episch centrum rond Lopper - sum niet aan te kunnen. Het gebouw bezwijkt op stuik van het actieve penant, in combinatie met instabiliteit van de construc- tie. Er is tevens scheurdoorgroei op de dwarsmuren zichtbaar. De som met de gemiddelde waarde leidt tot een capaciteit van 0,36g en de som met de rekenwaarde leidt tot 0,26g. Door ook aan de aanvullende eis (EC8-1, paragraaf 4.3.3.4.2) te voldoen, worden de capaciteiten 0,24g en 0,17g. Hierbij moet worden gezegd dat de partiële factor ? R = 1,1 nog niet is geïntrodu- ceerd. Ook eventuele bouwexcentriciteiten zijn niet meegeno - men in dit voorbeeld. Tot slot wordt benadrukt dat in verband met de omvang van dit artikel alleen de eerste uitbuigingsvorm is beschreven. Hogere modes en de overige belastingsituaties zijn wel bekeken, maar niet beschreven in dit artikel. Deze toetsingen dienen wel te worden uitgevoerd in een toetsingsberekening. ? ? Literatuur 1 NPR 9998:2015 Ontw. Beoordeling van de constructieve veiligheid van een gebouw bij nieuwbouw, verbouw en afkeuren - Grond- slagen voor aardbevingsbelastingen: Geïnduceerde aardbevingen. 2 NEN-EN 1998-1:2005 Eurocode 8 - Ontwerp en berekening van aardbevingsbestendige constructies - Deel 1: Algemene regels, seismische belastingen en regels voor gebouwen. 3 NEN-EN 1996-1:2006 Eurocode 6 ? Ontwerp en berekening van constructies van metselwerk ? Deel 1-1: Algemene regels voor constructies van gewapend en ongewapend metselwerk. 4 DIANA 9.6; www.tnodiana.com. Aanvullend aan deze methode stelt de EC8-1 in paragraaf 4.3.3.4.2 dat de pushover-curve moet worden doorgerekend tot 150% van de target displacement. Door aan deze eis te voldoen, waarborgt men het goede gedrag van de constructie en wordt bros bezwijken voorkomen. Hierdoor worden de maximaal opneembare grondversnellingen gereduceerd met een factor 1,5. Dit leidt tot 0,24g voor gemiddelde waarde en 0,17g voor de rekenwaarde. Figuur 11 beschrijft het toetsingsfiguur waarbij de target displacement gelijk is aan de maximale verplaatsing uit het response spectrum. Afhankelijk van de verhouding tussen de eigenfrequentie, de equivalente massa, de transformatiefactor en de stijfheid van de constructie, kunnen verschillende toet - singsfiguren optreden. Hieruit kan meteen worden beoordeeld of de constructie voldoet aan de gestelde grenswaarden. Er zijn drie gebieden te onderscheiden naar de indeling van het elastische responsspectrumdiagram ( T B, TC, TD). Figuur 11 laat zien dat deze constructie in het gebied groter dan T D ligt. Figuur 11 12a 12b thema Groningse rijtjeswoning onder de loep 2 2015