Interactie moment en dwarskracht8201366Interactiemoment endwarskrachtHet bepalen van de dwarskrachtcapaciteit voor liggers enkolommen zonder dwarskrachtwapening gebeurt aan de handvan empirisch bepaalde formules uit de Eurocode 2 [1]. Dezedwarskrachtcapaciteit is onafhankelijk van een eventueelaanwezig moment. In recent afstudeeronderzoek isaangetoond dat het moment echter wel degelijk invloed heeftop de dwarskrachtcapaciteit en moet worden opgenomen inde berekening [2].1Experimenteel onderzoek toont invloed vanmoment op dwarskrachtcapaciteitInteractie moment en dwarskracht 82013 67verticale belastingM-N(-V) M-N(-V) M-N(-V)M-V6600300 3002700300PK KFF Als voorbeeld is een constructie beschouwd bestaande uitliggers en kolommen met interactie tussen moment en dwars-kracht (fig. 2). Als gevolg van een verticale belasting is in deligger een dwarskracht (V) en een moment (M) aanwezig. Inkolommen is naast dwarskracht en moment eveneens eennormaalkracht (N) aanwezig.Over de moment-normaalkrachtrelatie is voldoende bekend,over de moment-dwarskrachtrelatie echter niet. HoewelM-V-interactie in de praktijk regelmatig voorkomt, bestaaner in de Nederlandse ontwerpomgeving geen toereikenderekenregels om deze situaties consequent te controleren. Ditvormde de aanleiding voor een nieuw onderzoek naar dezeM-V-relatie.Allereerst is een literatuuronderzoek uitgevoerd om de huidigekennis van het onderwerp in kaart te brengen. Daarna is hetprobleem numeriek geanalyseerd om het algemene gedrag tebepalen. Hierbij bleek dat het problematisch was een duidelijkscheurverloop te cre?ren, omdat in een groot gebied momenten dwarskracht, maar ook de materiaaleigenschappen gelijkwaren. Ten slotte werd in het `Pieter van Musschenbroek'-labo-ratorium een proefopstelling gebouwd om experimenteelonderzoek te verrichten.Dwarskrachtcapaciteit in de EurocodeDe dwarskrachtcapaciteit van betonnen liggers, zonder dwars-krachtwapening, wordt in de Eurocode 2 bepaald met behulpvan een doorsnedeberekeningsmethode. Een constructievoldoet wanneer de dwarskrachtcapaciteit groter is dan deaanwezige dwarskracht.VEd> VRd,cWaarin:VEdis de rekenwaarde van de dwarskrachtVRd,cis de rekenwaarde van de dwarskrachtcapaciteitDe dwarskrachtcapaciteit kan aan de hand van een empirischbepaalde formule worden vastgesteld. De invloedsfactoren voordeze vergelijking zijn al rond 1900 vastgesteld door Talbot [3].Voor een rechthoekige doorsnede is de dwarskrachtcapaciteitin de Eurocode gegeven als:formule 1( )13nim1,0,18100 kccdRcV k f= >formule 22001 2,0kd= +formule 32 13 2min 0,035 ckv k f=bd v bdWaarin:formule 1( )13nim1,0,18100 kccdRcV k f= >formule 22001 2,0kd= +formule 32 13 2min 0,035 ckv k f=formule 4bd v bdformule 1( )13nim1,0,18100 kccdRcV k f= >formule 22001 2,0kd= +formule 32 13 2min 0,035 ckv k f=formule 412M Ka Fa Pc= +formule 52cF pa=formule 612 2cM Ka Pa Pc Kaa= + =formule 712v p=bd v bdcis de parti?le factor voor beton1is het wapeningspercentage van de langswapeningfckis de karakteristieke cilinderdruksterkte van het betonb is de breedte van de doorsneded is de nuttige hoogte van de doorsnedeIndien de dwarskrachtcapaciteit wordt overschreden, moetdwarskrachtwapening worden toegepast. De Eurocode stelt datdwarskrachtwapening de dwarskracht geheel zal moetenopnemen. De capaciteit van de dwarskrachtwapening kanvolgens de vakwerkanalogie worden bepaald. De controle opdwarskracht wordt dus geheel bepaald vanuit de geometrie ende materiaaleigenschappen. Een beschouwing van het internekrachtenspel, ter plaatse van de controle, is niet inbegrepen.State-of-the-artHoewel het interactie-effect nog niet in de Nederlandseontwerpomgeving wordt meegenomen, wordt het internatio-naal al langer onderzocht. Zo wordt de `Compression FieldTheory' (oorspronkelijk ontwikkeld door Wagner [4]) al langertoegepast voor het modelleren van beton. De eerste toepassin-gen van deze theorie waren gelimiteerd tot elementen metdwarskrachtwapening. Recentere varianten geven deir. rick de goeijTU Eindhoven, student StructuralDesign1)prof.ir. cees kleinmanTU Eindhoven, fac. Bouwkunde1 Testbalken tijdens storten2 Voorbeelden van interactie M-N-V in constructies3 Schematische weergave M-V-interactie experiment1) Ir. R. de Goeij is afgestudeerd met het onderzoek `Interaction MNV in ReinforcedConcrete' aan de Technische Universiteit Eindhoven. In zijn afstudeercommissiehadden zitting prof.ir. C.S. Kleinman, prof.dr.ir. D.A. Hordijk en ir. F.J.M. Luijten.23Interactie moment en dwarskracht82013687 bgls ?8-2001?25+2?252?16200 200 200330330330DRNS. A-A` DRNS. B-B` DRNS. C-C`1?25+2?257 bgls ?8-200 6 bgls ?8-100 13 bgls ?8-100 6 bgls ?8-100 7 bgls ?8-2001?251?25A`AB`BC`C2?161200100 3600 1200 100600 600 600600 6001?25+2?252?16202020201?252?16202020206200dekking: 20 mmdruksterkte: 28 N/mm2D`D200330DRNS. D-D`1?252?166004 M-V-interactie experiment5 Wapeningstekening van de balkenzone veroorzaakt, moet een tegengesteld moment wordenaangebracht die het moment als gevolg van P in de bezwijkzoneopheft. Hiervoor wordt kracht F aangebracht waardoor hetmoment in de bezwijkzone alleen wordt bepaald door kracht K.Het experiment wordt in de volgende stappen uitgevoerd:1 Met K wordt voor elke balk een verschillend moment aange-bracht, deze K blijft constant in de tijd.2 Met P wordt een dwarskracht aangebracht.3 Met een vaste verhouding wordt F tegelijk met P opgevoerd.4 P (en F) groeien tot bezwijken optreedt.Moment en dwarskrachtDe balk kan worden geschematiseerd als een ligger op tweesteunpunten met aan beide zijden een uitkraging (fig. 6). Delengte van de ligger is gegeven door L en de lengte van deuitkraging door a. De afstand van het steunpunt tot de bezwijk-zone is gedefinieerd als c. Het moment kan worden bepaaldmet het schema van kracht F, P en K en is gelijk aan:formule 1( )13nim1,0,18100 kccdRcV k f= >formule 22001 2,0kd= +formule 32 13 2min 0,035 ckv k f=formule 412M Ka Fa Pc= +formule 52cF pa=formule 6bd v bdmogelijkheid om ook elementen zonder deze wapening tecontroleren. Collins en Vecchio ontwikkelden vanuit dezetheorie, de `Modified Compression Field Theory' [5]. Doorspanningen in de scheur te implementeren binnen deCompression Field Theory, was het ook mogelijk de capaciteitvan beton zonder dwarskrachtwapening te bepalen. Vanuitdeze theorie is een praktische methode ontwikkeld om elemen-ten te kunnen dimensioneren, namelijk `The General ShearDesign Method' [6]. Hsu [7] heeft aangegeven dat dezeoplossing niet conform de `mechanicaregels' is afgeleid. Insamenwerking met Pang heeft diezelfde Hsu de `Fixed AngleSoftened Truss Model' als variant ontwikkeld [8]. Ook hierlevert scheurvertanding een grote bijdrage aan het bepalenvan de dwarskrachtcapaciteit. Er is nog geen vereenvoudigde,praktische variant beschikbaar gebaseerd op deze theorie.Veel inconsequenties in de huidige ontwerptheorie?n zijn albesproken door Kotsovos [9]. Kotsovos laat zien dat de draag-kracht van beton niet kan worden bepaald aan de hand vandoorsnedemethoden of vakwerkanalogie?n. Met behulp vanverscheidene experimenten laat hij zien dat betonnen elemen-ten, met of zonder dwarskrachtwapening, hun capaciteit halenuit de drukzone. De andere mechanismen als scheurvertandingen deuvelwerking van de langswapening, blijken slechts eenminimale bijdrage te leveren. Vanuit deze bevindingen isdoor hem de `Compressive Force Path Method' ontwikkeld,als praktische ontwerpmethode.Experimenteel onderzoekOm de invloed van het moment op de dwarskrachtcapaciteitaan te tonen, zijn vier balken experimenteel onderzocht (fig. 3en 4), elk op een verschillende manier belast. In elke balk is optwee locaties (symmetrisch) geen dwarskrachtwapening toege-past, zodat hier bezwijken zal optreden.De balkdoorsnede is 330 mm hoog en 200 mm breed. Alsonderwapening is ??n wapeningsstaaf ?25 mm, FeB500 toege-past. Overige wapening is aangebracht om praktische redenen(fig. 5). Als betonsterkteklasse is geprobeerd C20/25 aan tehouden, er is echter veel variatie in de sterkte geobserveerd.Volgens de Eurocode is de dwarskrachtcapaciteit constanten gelijk aan VRd,c,ongeacht de belastingssituatie. Immers debelastingssituatie is niet meegenomen in het bepalen van dedwarskrachtcapaciteit.Om het interactie-effect te bepalen, is allereerst een moment opde balk aangebracht, door kracht K, en vervolgens de dwars-kracht, door kracht P (fig. 3). Kracht P is op vervorminggestuurd en deze vervorming is vergroot totdat de draagkracht-capaciteit van de balk wegvalt. Doordat kracht P een voor hetonderzoek ongewenst moment in de `ongewapende' bezwijk-45Interactie moment en dwarskracht 82013 69aLFA BFVMaLPA BVMaLA BVMcKK0102030405060700 10 20 30 40 50 60 70V[kN]M [kNm]experimentVRd,cVRd,c(fcm)Vminlineaire benadering6 Dwarskracht- en momentenlijnen weergegeven voor de verschillendebelastingssituaties7 M-V-interactie grafiek; experiment vergeleken met Eurocode en lineairevergelijkingResultatenDe testresultaten en betondruksterkte van de balken zijn weer-gegeven in tabel 1 en figuur 7. Op basis van de grafiek is duide-lijk te zien dat het moment van grote invloed is op de dwars-krachtcapaciteit. Deze relatie is redelijk goed te benaderen meteen lineaire functie:V = VM=0- 0,45MWaarin:V is de dwarskracht in kNM is het moment in kNmVM=0is de dwarskrachtcapaciteit, zonder moment(= 64 kN)Deze functie is gebaseerd op vier meetpunten (elke proef ??n).Bovendien zijn verschillende factoren niet onderzocht als deinvloed van geometrie, wapeningspercentage, betonkwaliteit,enzovoort.De dwarskrachtcapaciteit zal wegvallen zodra een moment isaangebracht dat gelijk is aan de momentcapaciteit. Dit zoueventueel bilineair kunnen worden benaderd. Ook kan deplasticiteitstheorie worden toegepast op de vakwerkanalogiewaaruit een hogere-orde-interactierelatie kan worden afgeleid.Dit zou eventueel uitkomst kunnen bieden. Echter, er zijn teweinig data beschikbaar dit te onderzoeken.Waarbij kracht F gerelateerd is aan kracht P met:formule 32 13 2min 0,035 ckv k f=formule 412M Ka Fa Pc= +formule 52cF pa=formule 612 2cM Ka Pa Pc Kaa= + =formule 712v p=Met deze relatie wordt het moment gelijk aan:dformule 32 13 2min 0,035 ckv k f=formule 412M Ka Fa Pc= +formule 52cF pa=formule 612 2cM Ka Pa Pc Kaa= + =formule 712v p=De dwarskracht kan worden bepaald met het schema vankracht P en is gelijk aan:2001 2,0kd= +formule 32 13 2min 0,035 ckv k f=formule 412M Ka Fa Pc= +formule 52cF pa=formule 612 2cM Ka Pa Pc Kaa= + =formule 712v p=Hiermee zijn de dwarskracht en het moment vastgesteld en kande interactie-relatie worden bepaald.Tabel 1 Materiaaleigenschappen van de balk en experimentele resultatenbalknummer fcmMexp[kNm]Vexp[kN]VRd,c[kN]VRd,c(fcm)[kN]Vmin[kN]1 23,76 30,00 49,17 30,19 34,62 12,042 26,89 56,40 39,16 32,07 36,08 13,183 28,07 6,00 61,44 32,72 36,60 13,594 30,16 65,00 32,50 33,82 37,48 14,2867Interactie moment en dwarskracht8201370-100102030405060-5 0 5 10 15 20 25 30 35kracht[kN]vervorming [mm]dwarskrachtmomentdwarskrachtmoment-20-10010203040506070-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18kracht[kN]vervorming [mm]-100102030405060-5 0 5 10 15 20 25 30 35kracht[kN]vervorming [mm]dwarskrachtmomentdwarskrachtmoment-20-10010203040506070-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18kracht[kN]vervorming [mm]8 Kracht-verplaatsingsdiagram van balk 19 Bezwijkvorm van balk 110 Kracht-verplaatsingsdiagram van balk 211 Bezwijkvorm van balk 2Conclusies en aanbevelingenMet een eenvoudig experiment is aangetoond dat de ontwerp-methode voor constructies belast met een dwarskracht enmoment als gegeven in de Eurocode, ontoereikend is voor eeneffectief ontwerp van betonconstructies.Een mogelijke oplossing voor een `veiliger' ontwerp is hettoepassen van (lineaire, bilineaire of hogere orde) relaties voorhet interactiefenomeen. Daarnaast is het ook mogelijk eenlimiet te stellen voor de momentcapaciteit, indien in hetzelfdesegment een dwarskracht aanwezig is.De conclusies van dit onderzoek zijn gebaseerd op vier experi-menten met sterk vari?rende materiaaleigenschappen. Meeronderzoek is nodig naar mogelijke relaties, invloedsfactoren enbezwijkmechanismen, zodat een fundamenteel correcteontwerpmethode ontstaat. literatuurDe literatuurlijst van dit artikel is te raadplegen opwww.cementonline.nl.Vergelijking met EurocodeDe dwarskrachtcapaciteit volgens de Eurocode geeft geengoede overeenkomst met de resultaten, aangezien de invloedvan het moment in de Eurocode niet is meegenomen (fig. 7).Bij combinaties van een hoog moment geeft de Eurocode geenveilig resultaat. Voor combinaties van een laag moment meteen dwarskracht is de Eurocode juist zeer conservatief.BezwijkvormenIn de experimenten zijn twee typen bezwijkvormen geobser-veerd.Bij een laag tot gemiddeld moment ontstaat een typischedwarskrachtscheur, waarna de draagkrachtcapaciteit steedsminder wordt (fig. 8 en 9).Bij een hoog moment ontstaat allereerst een verticale buig-scheur. Deze scheur buigt horizontaal af en loopt dangeleidelijk langs de drukzone af. Vervolgens ontstaat eenzelfdedwarskrachtscheur als bij een laag moment, echter de draag-krachtcapaciteit valt niet geheel weg. Er ontstaat een tweededraagmechanisme dat een hogere draagkrachtcapaciteit bereikt(fig. 10 en 11).Alle balken verliezen uiteindelijk hun draagkrachtcapaciteit alsgevolg van het ontstaan van een schuine scheur in de drukzone.810 1192013/8Literatuur bij artikel Interactie moment en dwarskracht1 NEN-EN 1992-1-1 Eurocode 2: Ontwerp en berekening van betonconstructies, Deel 1-1:Algemene regels en regels voor gebouwen. 2005 / National Annex 2007.2 Goeij, R., de, Interaction MNV in Reinforced Concrete. Technische Universiteit Eindhoven, 2013.3 Talbot, A.N., Tests on Reinforced Concrete Beams: Resistance to Web Stresses, Series of 1907and 1908. Urbana, Illinois, 1909.4 Wagner, H., Ebene Blechwandtr?ger mit sehr d?nnem Stegblechen. Zeitschrift f?r Flugtechnikund Motorluftschiffahrt 20, 1929, pp. 201-284.5 Collins, M.P., Vecchio, F.J., The Modified Compression Field Theory for Reinforced ConcreteElements Subjected to Shear. ACI Journal Proceedings 83(2), 1986, pp. 219-231.6 Collins, M.P., Mitchell, D., Adebar, P., Vecchio, F.J., A General Shear Design Method. ACIStructural Journal, 93(1), 1996, pp. 36-45.8 Hsu, T. T., Stresses and crack angles in concrete membrane elements. ASCE Journal ofStructural Engineering, 124(12), 1998, pp. 1476-1484.8 Hsu, T.T.C., Pang, X., Fixed Angle Softened Truss Model for Reinforced Concrete. ACI StructuralJournal 93(2), 1996, pp. 197-207.9 Kotsovos, M.D., Compressive Force Path Concept: Basis for Reinforced Concrete Ultimate LimitState Design. ACI Structural Journal 85(1), 1988, pp. 68-75.