54? CEMENT 1 2021 RUBRIEK REKENEN IN DE PRAKTIJK Dit is de 14e aflevering in de Cement-rubriek 'Rekenen in de praktijk'. In deze rubriek staat telkens één rekenopgave uit de praktijk centraal. De rubriek wordt samengesteld door een werkgroep, bestaande uit: Mustapha Attahiri (Ingenieurs- bureau Gemeente Rotterdam), Maartje Dijk (Witteveen+Bos), Lonneke van Haalen (ABT), Matthijs de Hertog (Nobleo), Jorrit van Ingen (WSP), Jacques Linssen (redactie Cement) en Bart Vosslamber (Heijmans). De artikelen in deze rubriek worden telkens opgesteld door één van de leden van deze werkgroep. Het wordt vervol- gens gereviewd door de andere leden en door minimaal één senior adviseur binnen het bedrijf van de opsteller. Ondanks deze zorgvuldigheid is de gepresenteerde rekenme- thode de visie van een aantal individuen. De stabiliteitsbeschouwing is een van de belangrijkste paragrafen in de berekening van een hoogbouwproject. Om horizontale belastingen en belastingen uit scheefstand op verantwoorde wijze af te dragen naar de fundering, moet een voldoende stijve stabiliteitsconstructie worden ontworpen, bijvoorbeeld een kern. De belangrijkste parameter hierin is de buigstijfheid EI. In een case wordt toegelicht hoe die buigstijfheid kan worden bepaald en wordt bekeken hoe met scherp rekenen de tweede-orde-effecten kunnen worden beperkt. STABILITEITS­ KERN MET TWEEDE ­ORDE ­ EFFECTEN Case Deze case richt zich op het bepalen van de buigstijfheid van een kern en de invloed daarvan op het tweede-orde-effect. Er wordt een woongebouw beschouwd met een hoogte van 60 m en een grondoppervlak van 30 m x 30 m met één centrale stabiliteitskern van 6,0 m x 10,0 m (b x h) en een wanddikte van 0,3 m. CEMENT 1 2021 ?55 rekenen in de praktijk (14) Buigstijfheid Door constructeurs wordt over de buigstijfheid van kernen, vloeren, balken etc. vaak geroepen: "Ik reken met een gescheurde E van 10.000 N/mm 2". Verwarrend, want een elasticiteitsmodulus kan niet gescheurd zijn. Wat wordt er dan bedoeld? Dat kruip en langetermijn- effecten van beton worden meegenomen? Dat er scheurvorming in het element ontstaat? Waarom dan een elasticiteitsmodulus van 10.000 N/mm 2? Waarom geen 5000 N/mm 2 of 15.000 N/mm 2? Een onderbouwing ontbreekt (te) vaak. Even opfrissen De buigstijfheid wordt samengesteld uit de groothe- den E en I , waarin E de elasticiteitsmodulus (hierna: E-modulus) van het beton is en I het traagheidsmoment van de doorsnede. Beide kennen, in tegenstelling tot UITGANGS- PUNTEN hoogte gebouw h = 60 m grondoppervlak b x h = 30 m x 30 m maten kern (uitwendig) b x h = 6,0 m x 6,0 m wanddikte kern d = 0,3 m windgebied windgebied II, terreincategorie II: onbebouwd gevolgklasse CC2 foto 1 De stabiliteitsbeschouwing is een van de belangrijkste paragrafen in de berekening van een hoogbouwproject de Wet van Hooke, niet-lineair gedrag. We onderschei- den fysisch en geometrisch (niet-)lineair gedrag. Fysisch gedrag materiaal?Het materiaal is fysisch niet-lineair als de relatie tussen de spanningen en de rekken niet lineair is. Bij betonconstructies belast op buiging is hiervan sprake, omdat de drukzone vanaf een zekere spanning steeds sterker niet-lineair wordt, terwijl de trekzijde heel snel zijn lineariteit verliest omdat het beton scheurt en er daardoor helemaal geen spanning meer is. De mate van scheurvorming is hierbij afhankelijk van het aanwezige buigend moment en de normaalkracht. In deze beschouwing kan de wapening worden meegenomen. Verder geldt dat de E-modulus afneemt, in de tijd gemeten, bij gelijkblijvende belasting: het zogenaamde kruipeffect. Je werkt dan met een schijnbare 56? CEMENT 1 2021 kern: 6,0 m × 10 m d = 0,3 m 60,0 m 30,0 m 30,0 m zijn de zogenoemde tweede-orde-effecten en die zijn in sterke mate van toepassing op kernen. Voor deze case spelen beide effecten een belangrijke rol. Omdat het buigend moment niet constant is over de kernhoogte, betekent dit voor het traagheidsmo- ment dat deze op iedere hoogte een andere waarde heeft. De geëigende aanpak is om te rekenen met het traagheidsmoment van de ongescheurde doorsnede, om vervolgens de invloed van scheuren, samen met de kruipeffecten, te verwerken in een gecorrigeerde E-modulus. Eerlijk is eerlijk: hiervoor is 10.000 N/mm 2 vaak een aardige schatting. Deze aanpak passen we ook voor deze case toe. Eerst wordt het tweede-orde-effect bepaald bij een constante en vervolgens ook met een over de hoogte verlopende E-modulus. Case In deze case wordt een woongebouw beschouwd met een hoogte van 60 m en een grondoppervlak van 30 m x 30 m. Deze is gelegen in windgebied II en heeft terreincategorie II: onbebouwd. De gevolgklasse is CC2. Het bouwwerk telt twintig bouwlagen en heeft één centrale stabiliteitskern met de uitwendige maten 6,0 m x 10,0 m (b x h) met een wanddikte van 0,3 m. Ter vereenvoudiging zijn er geen wandsparingen in de kern meegenomen. De case richt zich in het bepalen van de buigstijfheid alleen op de ULS. De SLS kent een verge- lijkbare aanpak, echter met andere fysische waarden. Berekening 1: Controle E = constant Eerst wordt de kern berekend met een constante waarde voor E van 10.000 N/mm 2. Wij zoeken hier eerst naar het tweede-orde-effect, om deze later in de case te kunnen vergelijken met het tweede-orde- effect bij een verlopende E. Hiervoor worden eerst diverse uitgangspunten voor de belasting vastgesteld. Sommige daarvan worden vrij kort omschreven om de uitwerking compact te houden. Het is volledig een ULS-beschouwing. Op de kern grijpen horizontale belastingen aan. Deze horizontale belastingen betreffen wind en aanpendelend gedrag door scheefstand. Wind?De horizontale belastingen door wind kunnen worden bepaald conform NEN-EN 1991-1-4. Hieruit volgen de algemene windeigenschappen: ? Winddrukfactoren C pe,D = 0,80, C pe,E = -0,55 ? Correlatiefactor = 0,85 ? Bouwwerkfactor c scd = 1,0 E-modulus waarin het kruipeffect op eenvoudige manier is verwerkt. Belangrijk is om te vermelden dat deze analyse moet worden uitgevoerd op het belasting effect. Het is dus belangrijk voor wat voor type belasting (in deze case met name wind) de kruip- en tijdsinvloed wordt bepaald en of deze belasting lang- of kortdurig aanwezig is. Geometrisch gedrag?Een element is geometrisch niet-lineair, als ten gevolge van vervormingen het evenwicht opnieuw moet worden bepaald. Anders gesteld: de constructie buigt uit, waardoor de excen- triciteit van de belasting ten opzichte van het zwaarte- punt van de niet-vervormde doorsnede toeneemt. Dit fig. 2  Gegevens kern CEMENT 1 2021 ?57 rekenen in de praktijk (14) 0,0 1 0,0 2 0,0 3 0,0 4 0,0 5 0,0 6 0,0 7 0,0 h oo g te [ m] qd ,w in d [kN /m 1] 80,0 60,0 40,0 20,0 0,0 6 2 ,1 7 4 ,7 - 2 0 00 0 2 00 0 4 00 0 6 00 0 8 00 0 1 0000 1 2000 -4000 10000 8000 6000 4000 2000 0 -2000 Z p Vanwege de gebouwgeometrie hoeft geen windwrijving in rekening te worden gebracht. 30 m tot 60 m: q p(z) = 1,45 kN/m 2 Qk,wind,1 = 1,45 ? (0,80 + 0,55) ? 0,85 ? 1,0 = 1,66 kN/m 2 0 m tot 30 m: q p(z) = 1,20 kN/m 2 Qk,wind,2 = 1,20 ? (0,80 + 0,55) ? 0,85 ? 1,0 = 1,38 kN/m 2 Met b = 30 m leidt dit tot een horizontale lijnlast (fig. 3): q d,wind,1 = 1,66 ? 30 ? 1,5 = 74,7 kN/m 1 qd,wind,2 = 1,38 ? 30 ? 1,5 = 62,1 kN/m 1 Omdat de nadruk van de case ligt bij de stijfheids- bepaling van de kern, wordt niet gekeken naar asym- metrische belastingen. Belasting direct aangrijpend op de kern en aanpende- lende belasting?In het zwaartepunt van de kern werkt een direct aangrijpende belasting. Deze verloopt gelijk - matig over de hoogte en bedraagt N Ed = 55.000 kN. Per verdieping is dit: N Ed,bouwlaag = 2750 kN. Het resterend deel van de verticale belasting van het bouwwerk bedraagt N Ed = 257.000 kN en verloopt eveneens gelijk - matig over de hoogte. De totale belasting, de aanpendelende belasting, bedraagt hierdoor N VEd = 312.000 kN. Per verdieping is dit: N VEd,bouwlaag = 15.600 kN. Omdat in de stabiliteits- beschouwing de windbelasting als extreme belasting wordt genomen, zijn alle vloeren met combinatiefactor ? 0 bepaald. Scheefstand?Conform NEN-EN 1992-1-1, art. 5.2 moeten imperfecties in rekening worden gebracht ? i = ? 0 ?h ?m [5.1] ? 0 = 1/300 ? h = 2/3 (met h = 60 m) ? m = 0,72 (met m = 20) ? i = 1/300 ? 2/3 ? 0,72 = 0,0016 De scheefstand samen met uitbuiging door de aan- pendelende belasting zorgt voor een extra buigend moment in de kern. Deze kan worden gevonden door de voorgenoemde effecten als een horizontale belas- ting op de kern te zetten: q Ed,scheefstand = N VEd ?i / h = 312.000 ? 0,0016 / 60 = 8,32 kN/m 1 Stijfheid fundering?De stijfheid van de fundering speelt een belangrijke rol in het tweede-ordegedrag, voor deze case werkt dit echter verstorend. Er is daarom een hoge rotatiestijfheid aangehouden, namelijk fig. 3  Windbelastingen fig. 4 Kern 58? CEMENT 1 2021 , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , a b c Cr = 2,75 ? 10 14 Nmm/rad, zodat het een niet-significante bijdrage levert. Traagheidsmoment kern?Voor het traagheidmoment van de kern wordt berekend: I y = 1,262 ? 10 14 mm 4. Dit is het traagheidsmoment zonder inbegrip van de wape- ning en uitgaande van een ongescheurde betondoor- snede met een constante E-modulus. Rekenwaarden momenten?De hiervoor bepaalde gegevens zijn in een raamwerkprogramma geplaatst. Hierin is de kern gemoduleerd met de werkelijke kerndoorsnede en een E van 10.000 N/mm 2. Hierop zijn de windbelastingen en de scheefstandbelasting gezet. Daarnaast is met oneindig stijve (scharnierende, aansluitende) staven de aanpendelende constructie gemodelleerd met de neerwaartse belasting per bouw- laag. Vervolgens zijn de eerste-ordemomenten te presenteren (fig. 5). T.g.v. wind M Ed,wind = 128.790 kNm T.g.v. scheefstand M Ed, scheefstand = 14.976 kNm Totaal M Ed,1e orde = 128.790 + 14.976 = 143.766 kNm fig. 5 Rekenwaarden momenten t.g.v. (a) wind, (b) scheefstand en (c) tweede-ordemoment CEMENT 1 2021 ?59 rekenen in de praktijk (14) Tweede-ordemoment?Met de rekensoftware kan (iteratief) het tweede-ordemoment worden gevonden: M Ed,2e orde = 165.915 kNm. Hieruit kan de tweede-ordefactor worden afgeleid: 165.915 / 143.766 = 1,154. Overigens kan deze factor bij een constante EI ook vrij eenvoudig handmatig worden bepaald. Een tweedde-ordefactor van 1,15 is in de regel accep- tabel voor een kern, maar we proberen deze nog wat kleiner te krijgen door een wat nauwkeurigere analyse. Berekening 2: controle E = oplopend Vervolgens wordt gekeken naar een over de hoogte verlopende stijfheid. Daartoe wordt EI bepaald op basis van M-N-?-diagrammen. Hiervoor wordt de kern opgedeeld in acht delen: verdieping 1, 2, 3-4, 5-6, 7-8, 9-12, 13-16 en 17-20. Per deel wordt voor het grootste moment de buigstijfheid bepaald. Het is uiteraard mogelijk minder delen te hanteren, maar voor de nauwkeurigheid zijn vooral kleine delen in de onderste bouwlagen belangrijk omdat deze een relatief grote bijdrage leveren aan de uitbuiging. E-modulus?Allereerst moet de E-modulus worden vastgesteld. Bij C20/25 is dit in de korte duur 29.962 N/mm 2. Voor tweede-ordeberekeningen kan het langeduureffect worden meegenomen op basis van NEN-EN 1992-1-1, artikel 5.8.4. Hierin wordt het eerste-orde buigend moment in de quasi-blijvende belastingcombinatie vergeleken met het eerste-orde buigend moment in de ULS. De eerder berekende momenten zijn nog van toepassing. Omdat wind een kortdurende belasting is, met ? 2 = 0, vervalt dit aandeel in deze controle. Met een krui p- coëfficiënt ?(t,t0) = 2,50, volgt nu de effectieve kruip- factor. ? ef = M 0Eqp / M 0Ed ? ?(t,t 0) = 14.976 / 143.766 ? 2,50 = 0,26 [5.19] E cd = E cm / [? cE ? (1 + ? ef)] = 29.962 / [1,2 ? ( 1 + 0,26)] = 19.816 N/mm 2 [5.20] M-N-? -diagrammen?Op de betreffende niveaus kan op basis van de normaalkracht en het buigend moment de buigstijfheid worden bepaald (tabel 1). Tabel 1?Belastingen en buigstijfheden M-N-? verdiepingN Ed MEd,wind MEd,scheefstand MEd,1e orde MEd,2e orde EIE kN KNmKNmKNmKNmNmm²Nmm² 20 ?2750???336???37???373???429 2,4422E+1819346 19 ?5500??1345??150??1495??1719 18 ?8250??3025??337??3362??3866 17 11000??5378??599??5977??6874 16 13750??8404??936??9340?10741 2,3934E+1818959 15 16500?12101?1348?13449?15466 14 19250?16471?1835?18306?21052 13 22000?21515?2396?23911?27498 12 24750?27228?3033?30261?34800 2,2107E+1817512 11 27500?33615?3744?37359?42963 10 30250?40617?4530?45147?51919 9 33000?48179?5391?53570?61606 8 35750?56299?6327?62626?72020 2,1195E+1816790 7 38500?64978?7338?72316?83163 6 41250?74216?8424?82640?95036 2,0248E+1816040 5 44000?84013?9585?93598107638 4 46750?9436910820105189120967 1,9243E+1815244 3 4950010528412131117415135027 2 52250116757135161302731498141,8047E+1814296 1 55000128790149761437661653311,3259E+1810504 60? CEMENT 1 2021 Hierin is een tweede-ordetoeslag aangenomen van 1,15 (op basis de eerdere berekening en deze moet aan het einde worden geverifieerd). Met M-N-?-software kan de doorsnede worden gemodelleerd. Voor de wape- ning is Ø12-150 v/a aangehouden. Voor de in de tabel gearceerde waarden van N en M is vervolgens de buig- stijfheid en de gecorrigeerde E-modulus afgeleid. In figuur 6 en 7 zijn M-N-?-resultaten voor deel 1 getoond. In de resultaten is duidelijk te zien dat de buigstijfheid naar boven toe fors toeneemt. Ook is te zien dat als het buigend moment de waarde 0 nadert (doorsnede ongescheurd), de korteduurelasticiteitmodulus wordt gevonden. Met deze E-waarden kan het raamwerk worden aangepast. De belastingen zijn ongewijzigd, echter is de kern opgedeeld in de acht delen met de toene- mende E-waarden. fig. 6 M-N-?-diagram deel 1 (verdieping 1) fig. 7 Spanningen, krachten en rekken deel 1 (verdieping 1) CEMENT 1 2021 ?61 rekenen in de praktijk (14) , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Tweede-ordemoment?De rekensoftware kan weer iteratief het tweede-ordemoment bepalen (fig. 8): M Ed,2e orde = 160.529 kNm Hieruit kan de tweede-ordefactor worden afgeleid: 160.529 / 143.766 = 1,116. Dit is een afname van ruim 3%. De aanname die eerder was gedaan voor tweede orde (1,15) was dus conservatief en daarmee akkoord. SLS versus ULS Op vergelijkbare wijze, maar met andere fysische waarden, kan ook de horizontale verplaatsing worden bepaald in de SLS. Hiervoor hoeft alleen te worden gekeken naar de karakteristieke windbelasting en tweede orde, niet naar de scheefstand. Conclusie De nauwkeurige beschouwing van de buigstijfheid van de kern levert bij deze case een paar procent winst op. Dit is weliswaar maar een paar procent, maar deze kleine winst kan net dat verschil maken als bijvoor- beeld de tweede-ordefactor aan de hoge kant is, als de trekkracht op de funderingspalen de capaciteit overschrijdt, of als de verplaatsing aan de top te groot is. Er kan op basis van een enkel rekenvoorbeeld niets worden gezegd over wat de 'winst' in zijn algemeen- heid is. Deze blijft vooral sterk afhankelijk van de aanwezige normaaldruk in de kern. Deze case laat zien hoe dit systematisch aan te pakken. Bovendien geeft de analyse een heel goed beeld van het geometrisch en fysisch niet-lineair gedrag van de kern. Met een beperkte inspanning krijg je dit inzichtelijk en kun je onderbouwen waarom je niet zomaar met 10.000 N/mm 2 rekent, maar precies weet wat je doet. fig. 8 Rekenwaarde tweede-ordemoment