x y 1 1 xxn yyn x y 1 1 xyn yxn Dat EEM-software wapening kan berekenen weet elke constructeur die ermee vertrouwd is. In Cement 2014/3 hebben Braam en Blaauwendraad al eens uitgelegd hoe dat toegaat op basis van lineair-elastische spanningen [1] na een vroege aanzet in 1995 van Lourenço en Blaauwendraad [2]. Maar of het werkelijk geland is? Wellicht was de presentatie nog niet praktisch genoeg. In dit artikel behan - delen de auteurs de stof op een alternatieve wijze met een (nog) groter beroep op inzicht en onder gebruikmaking van de vertrouwde werkwijze van de vakwerkanalogie. De pre- sentatie is een ingekorte versie van een vollediger behandeling op Cementonline. Vergeleken met genoemde eerdere Cement- publicaties wordt nu meer aandacht ge- schonken aan hoe een en ander zijn weg kan vinden in programmatuur, zeker in de volledige versie. De bestaande kennis voor schijfwape- ning is redelijk vertrouwd en wordt niet op- nieuw afgeleid. De gebruikelijke berekening van momentwapening in platen volgens Wood-Armer [3] zal worden vervangen door de methode Marti [4]. Constructeurs zullen het toepassen van dwarskrachtwapening in platen zo veel mogelijk vermijden. Maar het kiezen van een grotere plaatdikte of hogere betonsterkteklasse is niet altijd de beste op- lossing of is soms onmogelijk. Het toeganke- lijk maken van het dwarskrachtprobleem en de uitleg aan constructeurs en softwarebou - wers is een belangrijk motief voor dit artikel. De geboden afleiding is getoetst door imple- mentatie in het programma XFEM4U met vierhoekige hybride elementen, voor dit ele- menttype een herwaardering in de Neder- landse bouwwereld. Dit artikel kent drie stappen. In stap 1 wordt het wapenen van schijven kort in her- innering geroepen. In stap 2 speelt die kennis een rol bij het bepalen van momentwapening. Het bepalen van dwarskrachtwapening in platen is het onderwerp van stap 3 dat wordt afgesloten met een toepassing ervan. Stap 1: Schijfwapening Een lineair-elastische EEM-berekening van schijven levert het verloop van de normaal - krachten n xx en n yy en de schuifkracht n xy, alle drie gedefinieerd per eenheid van plaat- breedte, aangrijpend in het middenvlak van de schijf en alle positief zoals getekend in figuur 1. De eveneens getekende schuifkracht n yx is gelijk aan n xy. Wapenen van schijven en platen Programma's vertalen krachten en momenten naar wapening. Hoe doen ze dat, en vooral, hoe voor dwarskrachten? PROF.DR.IR. JOHAN BLAAUWENDRAAD Emeritus Hoogleraar TU Delft DR.IR.DRS. RENÉ BRAAM Adviesbureau ir. J.G. Hageman auteurs 1 Definitie en tekenafspraak voor schijfkrachten EEM-software biedt de functionaliteit om op basis van lineair-elastische schijfkrachten en plaatmomenten wapening te bepalen. Maar de optie ontbreekt in de regel voor wapenen op dwarskracht. Dit artikel wil attenderen op beschikbare kennis en vooral \ hoe die zich in software laat implementeren. Demonstratie gebeurt met het programma XFEM4U van Struct4U met een hybride plaatelement. 1 CEMENT 8 2021 ?37 36? CEMENT 8 2021 x y z xxm xym yym yxm yv xv x x y yl yl on on on on xN yN yN yN yN yN xN xN xN De constructeur berekent met zijn/haar EEM-software drie schijfkrachten, terwijl doorgaans maar in twee loodrechte richtin - gen wapening wordt toegepast. In dit artikel wordt uitgegaan van orthogonale wapening evenwijdig aan de x- en y-as. Doel is om de wapeningskrachten n sx en n sy per eenheid van breedte te bepalen op basis waarvan de wapeningsverhouding kan worden gekozen. Het subscript s staat hierbij voor staal (steel in het Engels). Voor het vaststellen van de wapening worden lokaal plastische overwe- gingen toegestaan. Het is triviaal welke wa - pening volgt uit de normaalkrachten n xx en n yy. Maar hoe op de schuifkracht n xy moet worden gewapend, ligt niet voor de hand, maar dat laat zich goed oplossen met een vakwerkmodel. Het linkerdeel van figuur 2 toont een schijf - deel met een homogene schuifkracht n xy per eenheid van lengte. In het rechterdeel van die figuur is een vervangend vakwerkmodel getekend met twee horizontale en twee ver- ticale trekstaven, de volgetrokken lijnen. De krachten in deze staven worden opgenomen door wapening. In de diagonalen, de streep- jeslijnen onder een hoek ? met de verticaal, werken betondrukkrachten. Voor de tan - gens van de hoek wordt het symbool k inge- voerd: k = tan ? (1) De horizontale en verticale trekstaven in het vakwerk hebben een positief teken. De dia - gonaalkracht is positief bij druk. Als de drie staafkrachten worden gedeeld door de res- pectieve onderlinge afstanden vindt men de wapeningskrachten n sx en n ys en de diagonale betondrukkracht n c per eenheid van breedte. Samen met de triviale wapeningskrachten voor de schijfkrachten n xx en n yy worden de wapeningskrachten en diagonale beton - drukkracht: n sx = n xx + k | n xy | n sy = n yy + k -1 | n xy | (2) n c = (k + k -1) | n xy | De schuifkracht n xy is voorzien van het abso- luutteken om aan te geven dat de vergelij- kingen zowel voor een positieve als een negatieve schuifkracht gelden. Bij een nega - tieve schuifkracht staan de diagonaalstaven alleen schuin in de tegenovergestelde rich - ting. De wapeningshoeveelheid wordt mini - maal voor k = 1, dus als de drukdiagonalen onder een hoek ? van 45° lopen. Maar de constructeur is niet gebonden aan de waar- de k = 1 en mag deze binnen grenzen vrij kiezen. Voor k < 1 zullen de betondiagonalen meer verticaal staan en voor k > 1 meer hori- zontaal. Alle in Nederland gebruikte software voor het wapenen van schijven hanteren in - middels wel deze regels en kunnen de beton - drukkracht n c gebruiken voor de toetsing van de betondrukspanning. Voorbeeld 1 (k = 1) Bij wijze van voorbeeld worden de volgende schijfkrachten gekozen: n xx = 495 kN/m n yy = 400 kN/m n xy = ?330 kN/m Met k = 1 worden de wapeningskrachten: n sx = 495 + |?330| = 825 kN/m n sy = 400 + |?330| = 730 kN/m n c = (1+1) ? |?330| = 660 kN/m Voorbeeld 2 (k ? 1) In het tweede voorbeeld wordt voor de schijf - kracht n xx een negatieve waarde gekozen: n xx = ?495 kN/m n yy = 400 kN/m n xy = ?330 kN/m Zou weer k = 1 worden gekozen, dan vindt men: n sx = ?495 + |?330| = ?165 kN/m n sy = 400 + |?330| = 730 kN/m n c = (1+1) ? |?330| = 660 kN/m De wapeningskracht n sx blijkt nu negatief te worden. Computerprogramma's zullen in dat geval niet besluiten tot het toepassen van druk- wapening, maar in de regel de betreffende wapeningskracht gewoon nul stellen. Een eleganter oplossing is om voor k een andere waarde dan 1 te kiezen, zó dat de wapenings - kracht nul wordt. In het onderhavige voor - beeld volgt de k-waarde uit de vergelijking: nsx = ?495 + k ? |?330| = 0 Dit leidt tot de grotere waarde k = 1,5, dus een waarde k -1 = 0,667 kleiner dan 1, waar- door de wapeningskracht in de y-richting reduceert tot: n sy = 400 + 0,667 ? 330 = 620 kN/m. De wapeningskracht 730 kN/m bij k = 1 wordt teruggebracht naar 620 kN/m, ofwel 15% kleiner. In x-richting is geen wapening nodig. De grotere waarde voor k betekent dat de drukdiagonaal flauwer helt. Het is een punt van aandacht dat de betondruk - kracht n c groter wordt als k afwijkt van 1. In het beschouwde geval groeit n c van (1+1) ? 330 = 660 kN/m bij k = 1 naar (1,500 + 0,667) ? 330 = 715 kN/m bij k = 1,5, een toename van ruim 8%. Eenzelfde aanpak is nodig als voor k = 1 een negatieve wapeningskracht in de y-richting volgt. Het kan ook voorkomen dat in geen van beide richtingen wapening nodig is. Dan is er sprake van druk in alle richtin - gen en zijn er twee hoofddrukkrachten, met absolute waarden n c1 en n c2 (nc2 > n c1) en is er geen scheurvorming. De grootste hoofd - drukkracht n c2 moet worden getoetst aan de betondruksterkte. De les van de twee voorbeelden kan algemener en strenger worden geformuleerd door in het algemeen vier verschillende schijfgevallen te onderscheiden en daarvoor de criteria en formules te programmeren: wapening nodig in twee richtingen; wapening alleen nodig in x-richting; wapening alleen nodig in y-richting; drukspanningen in alle richtingen. Stap 2: Momentwapening in platen Het middenvlak van de beschouwde plaat ligt in het x-y-vlak van een rechtsdraaiend assenstelsel x, y, z (fig. 3). De onderkant van de plaat ligt aan de positieve z-kant van de plaat en de bovenkant aan de negatieve. Zoals getekend zijn de momenten en dwars- krachten positief. In het algemeen is in een plaat aan twee kanten wapening nodig en zowel aan onder- en bovenkant in de twee richtingen x en y. De door Marti voorgestelde methode sluit dicht aan bij de berekening van liggers in gewapend beton en gebruikt de kennis voor het wapenen van schijven. Anders dan wat algemeen gebruikelijk is, verstrekt de me- thode informatie over de betondrukspan - ningen in de plaat en biedt deze een oplossing voor dwarskrachtwapening. In de algemene versie van Eurocode 2 [6] wordt de methode niet genoemd maar wel in Eurocode 2 ? Bruggen [7]. Daarin is de methode in een bijlage beschreven. De crux van de aanpak is de introductie van een sandwichmodel in drie lagen. In de betonplaat worden schillen (ook wel huid genoemd) aan de boven- en onderkant van de plaat onderscheiden en daartussen een kern (fig. 4). De schillen ne- men de momenten op en de kern de dwars- krachten. De schillen onder (Eng: bottom) en boven (Eng: top) hoeven niet even dik te zijn. De hart-op-hart afstand d v van de twee schil - len wordt gehanteerd als de hoogte van de kern. 2 De schuifkrachten n xy worden in een vakwerkmodel vervangen door horizontale puntlasten N x en verticale N y 3 Positieve momenten en dwarskrachten in een plaat Uitgegaan wordt van orthogonale wapening even - wijdig aan de x- en y-as. Doel is om de wapenings- krachten n sx en n sy per eenheid van breedte te bepalen op basis waarvan de wapenings- verhouding kan worden gekozen VOLLEDIGE VERSIE OP CEMENTONLINE Dit is een ingekorte versie van het volle- dige artikel 'Wapenen van schijven en platen'. Deze versie is te raadplegen op Cementonline.nl. 2 3 CEMENT 8 2021 ?39 38? CEMENT 8 2021 yv xv x y z vd /xx vmd td /xy vmd /yx vmd /yy vmd bd /xx vmd /xy vmd /yx vmd /yy vmd yv xv x y z vd x xtn xytn td yxtn xxtn yytn bd xybn xxtn yybn yxbn xxbn o x y n t ov vd 1 z 4 vd 4 vd vd 2F F F verschovenmomentenlijn verschovenmomentenlijn 4F F F momentenlijn In het linkerdeel van figuur 4 zijn de momen- ten vervangen door krachten met een hef - boomsarm d v en met een verschillend teken in onder- en bovenschil. In de rechterhelft van de figuur is aangegeven hoe die schijf - krachten in de schillen worden genoemd. Er geldt: Bottom: Bottom: yy xy xx xxb yybxyb vv v;; m m m nnn d dd =+ =+ =+ Top: yy xy xx xxt yytxyt v v v;; m m m nnn d d d =? =? =? (3) Top: Bottom: yy xy xx xxb yybxyb vv v;; mm m nnn d dd =+ =+ =+ Top: yy xy xx xxt yytxyt v v v ;; m m m nnn d d d =? =? =? De charme van deze aanpak is dat elke schil vervolgens afzonderlijk kan worden behan - deld als een schijf zoals hiervoor besproken. Per schil moet worden onderzocht tot welk van de vier beschouwde schijfgevallen de krachtencombinatie in de schil behoort. Er is al dan niet (in een of beide richtingen) wa - pening nodig en er is altijd controle mogelijk op de betondrukspanning. De richting van de drukdiagonalen zal boven en onder in het algemeen niet gelijk zijn, want de krachts- toestand in de twee schillen hoeft niet met hetzelfde geval te corresponderen. Als de betondrukspanning de druksterkte over- schrijdt, moet de schildikte worden aange- past. Stap 3: Dwarskrachtwapening in platen In een knoop of element van het elementen - net begint het proces met het bepalen van de maximale dwarskracht v o (ook hoofd - dwarskracht genoemd) en de richting in het plaatvlak waarin deze werkt, de hoek ?o met de x-as. Het maximum is net als v x en v y een dwarskracht per eenheid van breedte en zowel v o zelf als de richtingshoek ?o is een functie van v x en v y [5]. De maximale dwars- kracht zal in het algemeen niet optreden in dezelfde richting als het grootste hoofdmo- ment. Er is nog een ander verschil. De twee hoofdmomenten treden altijd op in twee loodrechte richtingen en zijn als regel beide ongelijk aan nul. Voor dwarskrachten is dat anders. Als een dwarskracht maximaal is, is er in de richting loodrecht erop geen dwars- kracht; die is dan nul. Figuur 5 toont een plaatkern in de richting van de maximale dwarskracht met een breedte 1 en een hoogte d v in het ruimte- lijke assenstelsel x, y, z. Er is ook een ortho- gonaal assenstelsel n, t, z getekend dat ten opzichte van het assenstelsel x, y, z is gero- teerd over een hoek ?o om de z-as. De n-as loopt in de richting van de maximale dwars- kracht v o. Zoals getekend heeft de maximale dwarskracht v o een positief teken. Stap 3 bestaat eigenlijk uit twee deelstappen. In de eerste deelstap moet worden beslist of wel of niet dwarskrachtwapening is vereist. Als inderdaad dwarskrachtwapening nodig is, volgt in een tweede deelstap hoe die wa - pening er dan uitziet. Dwarskrachtwapening nodig? Elk betonvoorschrift heeft een criterium voor de grootte van de grenswaarde van de dwarskracht waarbij geen dwarskrachtwa - pening vereist is. In de Eurocode 2 heet die 5 6 4 Anders dan wat algemeen gebruikelijk is, verstrekt de methode Marti informatie over de betondruk - spanningen in de plaat en biedt deze een oplossing voor dwarskracht- wapening 4 'Exploded view' van het sandwichmodel in de methode Marti 5 Strook van plaatkern in de richting van de maximale dwarskracht v o 6 Vakwerkmodel voor bepaling dwarskrachtwapening in ligger grenswaarde voor liggers V Rdc [6]. In een plaat moet v Rdc worden geschreven omdat het dan om een dwarskracht per eenheid van breedte gaat. In het criterium speelt ook de normaalkracht N die in de liggerdoorsne- de optreedt een rol. De equivalent voor vlak - constructies is de situatie waarin zich een combinatie van schijfkrachten en plaatmo- menten voordoet. Voor liggerelementen is de normaalkracht N onderdeel van de EEM-uitvoer. Maar voor vlakconstructies met een combinatie van plaat- en schijfwer- king moeten we een extra slag maken om de normaalkracht n nn in de richting van de hoofddwarskracht v o te weten te komen. Dat vraagt een transformatie van de schijf - krachten in het x,y-vlak naar schijfkrachten in het n,t-vlak, wat voor programmeurs een bekende procedure is. De gevonden kracht n nn kan dan worden ingevoerd in de formule voor de toelaatbare dwarskracht v Rdc. In de formule voor de dwarskrachtsterkte speelt ook de wapeningsverhouding een rol. Omdat de maximale dwarskracht in het algemeen niet samenvalt met x- of y-richting, moet voor de wapeningsverhouding een waarde worden gekozen in richtingen anders dan van de orthogonale wapening. Daarvoor wordt Eurocode 2 gevolgd voor een fictieve wapeningsverhouding op basis van de ?-waarden voor de x- en y-richting. Bepaling van dwarskrachtwapening Als de maximale dwarskracht v o de toelaat- bare waarde v Rdc overschrijdt, wordt dwars- krachtwapening toegepast. De oplossing hiervoor is ingegeven door de klassieke be- rekening van beugels in liggers. In figuur 6 is het vakwerkschema geschetst voor een vrij opgelegde ligger onder een puntlast 2F en diagonalen onder 45°. De bovenrand van het vakwerk is hart drukzone en de onderrand hart wapening. De afstand van de wapening tot de drukzone is d v. De lengte van de ligger is 8d v. De kracht in de drukzone verloopt stapsgewijs van nul bij de oplegging tot 3F nabij het midden (groene lijn in figuur, druk positief ). De trekkracht in de wapening neemt stapsgewijs toe van F bij de oplegging tot 4F in het midden (rode lijn, trek positief ). Over een groot deel van de ligger wordt de wapeningskracht groter dan de waarde die wordt verwacht op basis van de momenten - lijn. Elke constructeur kent het fenomeen dat de momentenlijn moet worden verscho- ven over de effectieve hoogte van de ligger, en wel in de ongunstige richting. In de verti - cale staven heersen trekkrachten ter grootte van de dwarskracht v o (beugels). Maar hoe leg je het verschuiven van de momentenlijn uit aan de computer? Daarvoor wordt het grijs getinte deel van het vakwerk in figuur 7 nader beschouwd. Links van het gelijkteken staan de krachten die op dit vakwerkdeel aangrijpen. Rechts ervan worden die krach - ten gesplitst in twee delen. Het eerste deel geeft de krachten die zouden optreden zon - der dwarskrachtwapening en het tweede deel de verandering als gevolg van dwars- krachtwapening. Het tweede deel betekent dat de kracht zowel in de trekzone als de drukzone verandert met dezelfde extra trekkracht ½F. Voor de wapeningszone noemt de constructeur dit het verschuiven van de momentenlijn. Over de drukzone heeft niemand het. Marti heeft dit fenomeen gegeneraliseerd naar plaatconstructies op een wijze waarmee de computer uit de voeten kan. In figuur 8 is de beschouwde kern opnieuw getekend, nu in het n,z-vlak en met de bijbehorende boven- en onderschil. Nu treden verdeelde diago- naalkrachten op. De horizontale ontbonde- ne van de diagonaalspanningen levert over de hoogte d v van de kerndoorsnede een totale drukkracht h o. Die maakt op zijn beurt even - wicht met een trekkracht ½h o in elk van de twee schillen. Als de diagonaalrichting on - der 45° wordt gekozen, zijn h o en v o aan el - kaar gelijk. Bij een flauwer verloop wordt h o groter dan v o. In verticale richting leveren CEMENT 8 2021 ?41 40? CEMENT 8 2021 = + vd 2F 3F3F F F 2F F F F 3F ½1F ½2F ½2F F F ½1F vd toestand zonderdwarskrachtwa\fening extra verandering doordwarskrachtwa\fening 3F ½½ ½ ½ ½½ ½½ ½½ z ov n vd oh½ oh½ oh½ oh½ ov oh oh ,21 ,18 ,60 ,21 ,60 ,12 ,03 ,45 de diagonaalkrachten een drukspanning ?zz die op zijn beurt evenwicht maakt met de verticale trekspanning door de beugels. Op die spanning worden de beugels gedimensi - oneerd (vaak uitgevoerd als dubbele haar- speld) en de diagonale drukspanning in het beton wordt getoetst aan de betondruk - sterkte. Bij een positief moment neemt de kracht in de trekzone (bottom) daardoor toe en de kracht in de drukzone (top) af. Net als gebruikelijk is bij liggers, is de hellingshoek van de diagonalen begrensd. Extra wapening in beide sandwichschillen Bij liggers zou de berekening klaar zijn als de beugelwapening bekend is en de momen - tenlijn verschoven. Bij platen moet nog een extra slag worden gemaakt, want 'het ver- schuiven van de momentenlijn' is hier geen bruikbare methode. De trekkracht ½h o in de twee schillen van de plaat vraagt nog extra aandacht. De schilkrachten n nn = ½h o zijn gericht volgens de n-as en gaan samen met schilkrachten n tt = 0 en n nt = 0. Deze drie schilkrachten moeten nog door transformatie worden omgezet naar krachten n xx, nyy en n xy in x- en y-richting om ze te kunnen optellen bij de schijfkrachten die er al zijn vanwege de momenten en eventuele andere oorza - ken. Met behulp van die totale schilkrachten wordt dan de wapening in x- en y-richting bepaald. De procedure voor de wapening- bepaling en de toets op de betondrukspan - ning is per schil weer geheel zoals eerder besproken voor schijven, te weten het be- schouwen van vier schijfgevallen. Let op dat nu in drie diagonaalrichtingen de drukspan - ning moet worden gecontroleerd. Twee lopen evenwijdig aan het middenvlak van de plaat, één onder in de plaat en één bovenin. De derde ligt in de plaatkern onder een hoek ? met het middenvlak van de plaat. Het drielagenmodel uit Eurocode 2 ? Bruggen is goed toepasbaar bij niet al te hoge wapeningsverhoudingen en bij niet te dominante wringing [6]. Deze eisen zullen in de constructeurspraktijk veelal niet tot pro- blemen leiden en wijken overigens niet af van de beperking van gebruikelijke wape- ningsmethoden. De grote vooruitgang is de mogelijkheid van controle van de beton - drukspanningen en de uitbreiding naar wapenen op dwarskracht. Iteratief proces Voor de beslissing of dwarskrachtwapening nodig is, moet de wapeninghoeveelheid be- kend zijn, omdat de grenswaarde v Rdc mede daarvan afhangt. Dat betekent dat eerst een rekengang nodig is waarin op basis van al - leen de schijfkrachten en plaatmomenten een wapening voor de schillen wordt vastge- steld. Daarna kan een tweede rekengang worden uitgevoerd waarin per knoop of ele- ment wordt beslist of wel of geen dwars- krachtwapening nodig is, en zo ja, hoeveel. Daardoor verandert dan ook de reeds bere- kende wapening in de schillen. In het pro- gramma XFEM4U wordt daarna verdere iteratie niet meer zinvol geacht. In dit artikel moet een belangrijk aspect on besproken blijven, de controle op scheurwijdte. Er wordt volstaan met te zeggen dat die controle ook een plaats in het iteratie - proces heeft gekregen. Er kan ook rekening worden gehouden met scheuren in een wille - keurige richting anders dan de x- en y-rich - ting. Omdat ook in scheurwijdteberekeningen de wapeningsverhouding een rol speelt, moet daarvoor weer een waarde kunnen worden gekozen in richtingen anders dan de richting van de gekozen orthogonale wapening. Toepassing Het hoofddoel van dit Cement-artikel is het wapenen van platen op dwarskracht en de toepassing zal zich beperken tot een voor- beeld van een vierkante tweezijdig opgeleg - de plaat (fig. 9). De plaatdikte is 200 mm. Naast het eigengewicht is een variabele be- lasting 4,0 kN/m² aanwezig. Op de plaat staat ook een wand met breedte 1,8 m en dikte 0,3 m. Deze oefent een belasting uit op de plaat van 2,4 kN/m¹. Deze belasting is in de berekening ingevoerd met twee lijnlasten met onderlinge afstand 0,3 m. De plaat is onderdeel gedacht van een project waarin de plaatdikte om bijzondere redenen niet groter kan worden dan 200 mm. De gekozen betonsterkteklasse is C35/45. Figuur 10 geeft een plot van de trajectoriën waarmee de afdracht van de dwarskracht wordt gevisualiseerd en van de hoeveelheid benodigde dwarskrachtwapening. Het zal niet verbazen dat die nodig is tussen de wand en de oplegging. Bij de oplegging is dat maximaal 761 mm² per m² en naast de wand 1011 mm² per m². De trajectoriën (pijltjes) brengen ook mooi in beeld hoe vanuit de wandeinden bredere afdracht naar de op- legging plaatsvindt onder een hoek van 45°. Dat keert terug in de posities waar de beugels nodig zijn. Conclusies en opmerkingen Met het drielagenmodel heeft de construc- teur een middel om de betondrukspanning te beoordelen. Dat kan het nodig maken om in het ontwerpstadium de betonsterkteklas- se te verhogen en/of de plaatdikte aan te passen. Zoals het drielagenmodel in het programma XFEM4U is geïmplementeerd wordt ook de hoeveelheid wapening gemini - maliseerd. Dat wordt bereikt door steeds vier verschillende gevallen te beschouwen en die zorgvuldig te programmeren. En ten slotte, de constructeur kan nu ook dwarskrachtwapening toepassen. Uit de gemaakte berekeningen bij het testen van het programma blijkt het doorgaans sterk lokale gebieden te betreffen. Met het drie- lagenmodel heeft de constructeur een middel om de beton - drukspanning te beoordelen 8 9 10 7 7 Liggerdeel onder dwarskracht. Splitsen van de snedekrachten in twee delen 8 Krachten in kern en schillen bij maximale dwarskracht. Trek in schillen, druk in kern 9 Plattegrond van plaat belast door wand. Twee randen zijn vrij opgelegd. Maten in meters 10 Plot van de dwarskrachttrajectoriën en dwarskrachtwapening. Bij de wand (rood) is de maximaal benodigde verticale wapening 1011 mm²/m² en bij de oplegging (geel) 761 mm²/m² LITERATUUR 1?Braam, R., Blaauwendraad, J., Van spanning naar wapening, Cement 2014/3. 2?Lourenço, P.B., Blaauwendraad, J., Aanzet tot consistent wapenen van schijven, platen en schalen I en II, Cement 1995/2 en Cement 1995/3. 3?Wood, R.H.: The reinforcement of slabs in accordance with a predetermined field of moments, Concrete 2, February 1968. Armer, G.S.T., correspondence, Concrete 2, August 1968. 4?Marti, P., Design of Concrete Slabs for Transverse Shear, ACI Structural Journal, vol. 87, issue 2, 3/1/1990. 5?Blaauwendraad, J., Plates and FEM, Surprises and Pitfalls, Springer, 2010. 6?NEN-EN 1992-1-1: Eurocode 2: Ontwerp en berekening van betonconstructies. 7?NEN-EN 1992-2: Eurocode 2: Ontwerp en berekening van betonconstructies. Bruggen. CEMENT 8 2021 ?43 42? CEMENT 8 2021