Stabiliteit3201086StabiliteitArt. 5.8 van Eurocode 2 bespreekt hoe tweede-orde-effecten bij aanwezig-heid van axiale belastingen in rekening moeten worden gebracht. In ditartikel komen achtereenvolgens de kniklengte van afzonderlijke elemen-ten en rekenmethoden voor het vaststellen van het tweede-ordemomentaan bod. Het artikel is een onderdeel van een serie met rekenvoorbeel-den1), waarin de diverse onderdelen van de Eurocode 2 worden toegelicht.Rekenvoorbeelden bij Eurocode 2 (12) dr.ir.drs. Ren? BraamTU Delft, fac. CiTG / Adviesbureau ir. J.G. Hageman BVde stijfheid van de eventueel aanwezige rotatieveren aan deuiteinden van het element?Figuur 1 geeft enkele effectieve lengten voor standaardsituaties.Uitdrukkingen worden gegeven om de effectieve lengte in alge-mene situaties te berekenen: EC2 vgl. (5.15) voor geschoordeelementen; EC2 vgl. (5.16) voor ongeschoorde elementen. Infiguur 2 is een raamwerk gegeven waarmee de EC2-uitdrukkin-gen worden toegelicht.De uitdrukkingen die worden gehanteerd, zijn afkomstig uit destaalbouw en zijn in de jaren 50 van de vorige eeuw afgeleid.Een belangrijk aspect hierbij is de aangenomen uitbuigings-vorm van de stijlen en regels in het raamwerk:Geschoord elementBij een geschoord element wordt de uitbuigingsvorm zoalsgetoond in figuur 3 aangehouden (s = stijl; r = regel). Deinvloed van de in een knoop aansluitende constructiedelen diebijdragen aan de rotatiestijfheid van dat knooppunt, wordtgerepresenteerd door een rotatieveer. In EC2 is voor het weer-geven van de karakteristiek van de veer gekozen voor een rela-tieve flexibiliteit: de buigstijfheid van de kolom ten opzichtevan de buigstijfheid van de regel(s):k =EI___C lwaarin:EI is de buigstijfheid van de kolom;l is de lengte van de kolom;C is de rotatiestijfheid van een aansluiting van de kolom.Een benaderende uitdrukking voor de kniklengte (EC2 vgl.(5.15)):Slankheid en effectieve lengte van afzonderlijkeelementen (EC2 art. 5.8.3.2)De slankheid van een element wordt gedefinieerd in EC2 vgl.(5.14): =l0__iwaarin l0is de effectieve lengte en i is de traagheidsstraal van dedoorsnede:i =__I__AVoor een rechthoekige doorsnede:i =_______1/12 bh3_______bh=h______12Bij het berekenen van de effectieve lengte (`kniklengte') zijn derandvoorwaarden van het gedrukte element van invloed:betreft het een geschoord of een ongeschoord element en wat is1) De eerste 11 delen uit de artikelenserie zijn uit het Engels vertaald en bewerktdoor dr.ir.drs. Ren? Braam (TU Delft, fac. CiTG / Adviesbureau ir. J.G. HagemanBV). Dit 12e artikel is geheel opgesteld door dr.ir.drs. Ren? Braam en afgestemdmet Voorschriftencommissie 20.AfkortingenEC2 = NEN-EN 1992-1-1NB = Nationale BijlageStabiliteit 32010 87a) l0 = l b) l0 = 2l c) l0 = 0,7l d) l0 = l / 2 e) l0 = l f) l / 2 < l0 < l g) l0 > ll12l1l2l3ll lrEIbl EIbrEIal EIark2k1lkolomlREIREI EISk2k1lRMR = --------= 1EIR2EIRlRk2= 1MR = --------= 13EIRlRMR = --------= 14EIRlR12 3 4EIl0= 0,5l________________________(1 +k1________0,45 + k1)(1 +k2________0,45 + k2)waarin (fig. 2):l is de vrije lengte van het element tussen eindaansluitingenk1is de relatieve flexibiliteit aan uiteinde 1. In achtergronddo-cumenten wordt hiervoor vaak aangehouden:k1 =(EI__l1)kolom 1+ (EI__l2)kolom 2_________________2EIal___ll+ 2EIar___lrals de bovengelegen kolom 1bijdraagt aan de rotatie bij knikk2is de relatieve flexibiliteit aan uiteinde 2:k2 =(EI__l2)kolom 2+ (EI__l3)kolom 3_________________2EIbl___ll+ 2EIbr___lrals de ondergelegen kolom 3bijdraagt aan de rotatie bij knikDe achtergrond van de factor `2' in de noemer voor de uitdruk-kingen van de relatieve flexibiliteit is toegelicht in figuur 4.Uit figuur 4 is af te lezen (bovenaan) dat bij stijve knooppuntenin een geschoord raamwerk, de bijdrage van een regel aan deknoopstijfheid evenredig is met:2 (EI)regel________lregelDeze bijdrage volgt uit de verhouding tussen het moment op deknoop en de rotatie van de knoop:C =M__=M________________M lregel_______3(EI)regel+M lregel_______6(EI)regel=2(EI)regel_______lregelIn deze situatie wordt de geringste rotatiestijfheid van de knoopgevonden, omdat de beide momenten aan het uiteinde van deregel een elkaar versterkende invloed op de rotatie van deknoop kolom-regel hebben.Als ??n van de twee verbindingen van de regel met de tweekolommen scharnierend is, ontstaat de situatie van de statischbepaalde ligger aan ??n uiteinde belast, het andere uiteindescharnierend verbonden (fig. 4, midden). De rotatiestijfheid ishet grootst als het andere uiteinde van de regel oneindig stijf isingeklemd (fig. 4, onder).1 Knikvormen en kniklengte l0vanafzonderlijke elementen, zowelgeschoord (a, c, d, f) als onge-schoord (EC2 fig. 5.7)2 De nader te beschouwen kolom(2) in een geschoord of onge-schoord raamwerk. Geheel rechtsde schematisatie van de kolomwaarbij de invloed van de buig-stijfheid van de regels is meege-nomen door rotatieveren3 Geschoord element (s) metrotatieveren aan de uiteinden.Uitbuigingsvorm bij eengeschoord raamwerk4 Het moment veroorzaakt aan devoet van een kolom door eeneenheids-hoekverdraaiing terplaatse van de aansluiting op eenregel in een geschoord raamwerk.Vanaf boven drie schematiserin-gen voor de regel: twee stijvehoeken; een stijve hoek en eenscharnierend uiteinde en eenstijve hoek en een oneindig stijfingeklemd uiteindeStabiliteit3201088lkolomlREIREI EISlREIRMR = 6 --------= 1EIRlR= 15 5Bij het ongeschoorde raamwerk is de bijdrage van de stijfheid vande regel dus relatief groot: de knoopmomenten die aan weerszij-den op een regel werken, hebben een tegengestelde invloed opeen hoekverdraaiing aan een knoop-uiteinde van de regel.Opmerking:De theorie voor de kniklengte van een element in een onge-schoord raamwerk sluit aan op die van de uit de VBC bekende`kruisjesmethode':1 - stijfheid van de regels:In de VBC (fig. 43 & 44) worden de afmetingen van een kruisjegebaseerd op de ligging van de momentennulpunten in regelsen stijlen. VBC fig. 42 toont het schema voor de verend inge-klemde staaf. De veerconstante van de inklemming is (VBC art.7.7.2.2):c =3(EI)da______la+3(EI)db______lbIn de VBC-uitdrukking moet voor de liggerlengte wordenaangehouden de afstand van de inklemming tot het aangeno-men scharnier. Als wordt aangenomen dat dit nulpunt halver-wege de liggerlengte aanwezig is, wordt dezelfde uitdrukkingverkregen als die wordt gevonden in de EC2-achtergronddocu-menten. Eigenlijk biedt de VBC een nog breder toepasbareuitdrukking, omdat de ligging van de momentennulpuntenvariabel is.2 - stijfheid van de stijlenIn EC2 moet de invloed van een aansluitend gedrukt element datin een knooppunt bijdraagt aan de rotatie bij knik van hetbeschouwde element worden meegenomen (EC2 art. 5.8.3.2 (4)).Dit verklaart waarom eerder in de uitdrukkingen voor de rotatie-flexibiliteiten k1en k2de invloed van de boven respectievelijkonder gelegen kolom is meegenomen (zie fig. 1). Het gevolg isdat de rotatieflexibiliteit wordt vergroot en, als gevolg daarvan,de kniklengte toeneemt. Eigenlijk wordt op deze wijze de stijf-heid van de verbinding met de regels verdeeld over de twee in deknoop aansluitende kolommen. Het verdelen vindt plaats opBij het invoeren van de buigstijfheid van de regel moet reke-ning worden gehouden met de invloed van scheurvorming opde buigstijfheid. Dit is alleen dan niet vereist, als wordt aange-toond dat het betreffende element in de UGT ongescheurd is(EC2 art. 5.8.3.2 (5)). EC2 geeft geen rekenregels voor de buig-stijfheid van een gescheurde regel. Hiertoe kan tabel 15 van deVBC worden aangehouden.Ongeschoord elementEen ongeschoord element vertoont een uitbuigingsvorm zoalsgetoond in figuur 5.De kniklengte is bij benadering (EC2 vgl. (5.16)):l0 = l ? max [___________1 + 10k1k2______k1 + k2; (1 +k1_______1,0 + k1)(1 +k2_______1,0 + k2)]k1 =(EI__l1)kolom 1+ (EI__l2)kolom 2_________________6EIal___ll+ 6EIar____lrals de bovengelegen kolombijdraagt aan de rotatie bij knikk2is de relatieve flexibiliteit aan uiteinde 2:k2 =(EI__l2)kolom 2+ (EI__l3)kolom 3_________________6EIbl___ll+ 6EIbr___lrals de ondergelegen kolom bijdraagtaan de rotatie bij knikIn figuur 6 is de achtergrond van de factor `6' in de noemer vande uitdrukkingen voor de relatieve flexibiliteiten toegelicht.Bij stijve knooppunten in een ongeschoord raamwerk is debijdrage van een regel aan de knoopstijfheid evenredig met:6(EI)regel_______lregelhetgeen volgt uit:C =M__=M________________M lregel_______3(EI)regel?M lregel_______6(EI)regel=6(EI)regel_______lregelStabiliteit 32010 89M02219M0120475 Uitbuigingsvorm van een onge-schoord element met rotatieve-ren aan de uiteinden6 Momenten veroorzaakt dooreen eenheids-hoekverdraaiing inde aansluitingen kolom-regelvan een ongeschoord raamwerk7 Eerste-ordemomentenverloopover de hoogte van de kolom(in kNm)De gemiddelde wapeningsverhouding over de lengte van deregel (VBC art. 7.2.3):omdat _steunpunt = 2_veld is _= 1,5_veldDe fictieve elasticiteitsmodulus van de regel (VBC tabel 15):Ef,regel = 3100 +6700_= 3100 + 6700 ? (1,5 ? 0,6) = 9130 N/mm2Buigstijfheid van de regel:EIf,regel = 9130 ?1___12? 1200 ? 3003= 24,7 ? 1012N/mm2Bereken de kolomstijfheid op basis van een geschatte wape-ningsverhouding van 2%.Met VBC tabel 15:n =NEd__________Accd + Asyd=4766 ? 103__________________________4502? 0,6 ? 45 + 0,02 ? 4502? 435= 0,66Opmerking: Omdat de uitdrukkingen in VBC tabel 15 zijnafgeleid voor de rekenwaarde van de betondruksterkte volgensde VBC, is die waarde aangehouden (0,6 ? 45 = 27,0 N/mm2).Het verschil met EC2 is beperkt omdat die voor deze sterkte-klasse geeft: 45 / 1,5 = 30,0 N/mm2.Fictieve elasticiteitsmodulus van de kolom:E,kolom = (21300 + 4950_) (1 ? n)= (21300 + 4950 ? 2) (1 ? ? 0,66) = 17,5 ? 103N/mm2Relatieve flexibiliteit aan een uiteinde van de kolom:k1 =(EI__l1)kolom 1+ (EI__l2)kolom 2_________________2EIal___ll+ 2EIar___lr=2 ?17,5 ? 103? 1/12 ? 4504__________________4200____________________4 ?24,7 ? 1012________7200= 2,1Omdat beide knopen aan de kolomeinden (aansluitingen metde regels) identiek zijn, is ook k2= 2,1.De kniklengte van de kolom:l0 = 0,5l________________________(1 +k1________0,45 + k1)(1 +k2________0,45 + k2)=0,5l______________(1 +2,1________0,45 + 2,1)2= 0,91lbasis van de verhouding tussen de kolomstijfheden EI / l.In de VBC vindt dit ook plaats, zij het dat een volledig kruisje(fig. 44) wordt gesplitst in twee halve kruisjes (fig. 42) waarbijde veerconstante van de inklemming in de regels wordtverdeeld op basis van de verhouding tussen de eerste-orde-momenten in de twee aansluitende kolommen ter plaatse vande beschouwde knoop. Omdat de grootte en onderlinge verho-ding van deze momenten evenredig zal zijn met de kolomstijf-heden en hun onderlinge verhouding, is dus ook hier sprakevan een aansluiting tussen EC2 en de VBC.Rekenvoorbeeld: kolom in geschoord raamwerkGegevensStijlenkolommen 450 mm x 450 mmligging van de tweezijdig symmetrische wapening in de door-snede: a / h = 0,1hoogte 4200 mm (verdiepinghoogte; hart-op-hartafstand vande vloeren)rekenwaarden:kolommomenten (zie fig. 7) (inclusief de momenten t.g.v.geometrische imperfecties (EC2 art. 5.2)):bovenin: M01= 204 kNmonderin: M02= 219 kNmnormaalkracht: NEd= 4766 kNRegelsrechthoekige balken, 1200 mm breed en 300 mm hoog.lengte (hart-op-hartafstand van de kolommen): 7,2 mwapening: 0,6% in velddoorsnede (onderin); 1,2% in de steun-puntsdoorsnede (bovenin), beiden ten opzichte van de volle-dige betondoorsnede.Betonsterkteklasse C35/45effectieve kruipco?ffici?nt: ef= 1,0Buigstijfheid van de regels:Met de VBC art. 7.2.3 met n = 2 (doorgaande ligger) is hetkwadratisch oppervlaktemoment van de regels:I = ? Iv + ? IsOmdat Iv= Isvolgt dat I =1___12bh3.Stabiliteit3201090M01 M01M02 M02eerste-ordemoment totaalmomentgelijkwaardigtotaal momentgelijkwaardigeerste- ordemoment8 9Acis de oppervlakte van de ongescheurd verondersteldebetondoorsnedelim =20ABC________n(EC2 vgl. 5.13)waarin (EC2 art. 5.8.3.1 (2)):A =1________1 + 0,2eefis de effectieve kruipco?ffici?nt; e = (,t0 )M0Eqp_____M0Ed(EC2 vgl. 5.19)(,t0) is de eindwaarde van de kruipco?ffici?nt (EC2 art.3.1.4)M0Eqpis het eerste-orde buigend moment in de quasi-blij-vende belastingscombinatie (G + 2Q)M0Edis het eerste-orde buigend moment in de uiterste grens-toestand (UGT; GG + QQ)B = ______1 + 2 =_________1 + 2Asyd_____AccdAsis de totale oppervlakte van de doorsnede van de langs-wapeningC = 1,7 ? rm = 1,7 ?M01____M02voor een geschoord elementM01, M02zijn de eerste-orde eindmomenten (dusincl. het moment door imperfecties) waarbij| M02 | | M01 |Als de eindmomenten M01en M02aan dezelfde zijdetrek geven, moet rmpositief worden genomen (zodat C 1,7), anders negatief (zodat C > 1,7)C = 0,7 voor een ongeschoord elementn =NEd_____Accd, de relatieve normaalkrachtAls aan de voorwaarde met betrekking tot de limietwaardevoor de slankheid wordt voldaan, mag worden aangenomen dathet tweede-orde-effect kleiner is dan 10% van het eerste-ordeeffect. Tweede-orde-effecten kleiner dan 10% kunnen volgensEC2 art. 5.8.2 (6) worden verwaarloosd.Uit dit resultaat is te zien dat de regels relatief buigslap zijn tenopzichte van de kolom; de kniklengte is slechts 9% kleiner dande lengte van de kolom (de kniklengte als de aansluitingen metde regels aan beide uiteinden van de kolom scharnierendzouden zijn).Opmerking:Bij het berekenen van de kniklengte mag volgens EC2 wordenuitgegaan van de vrije lengte tussen de eindaansluitingen. In ditrekenvoorbeeld is dat de verdiepinghoogte minus de dikte vande regel (4,2 - 0,3 = 3,9 m). In dit rekenvoorbeeld wordt deverdiepinghoogte aangehouden.l0 = 0,91l = 0,91 ? 4,2 ? 103= 3,8 ? 103mmDe slankheid van de kolom: =l0__i=___12___hl0 =___12____450? 3,8 ? 103= 29,4Controleer of een tweede-ordeberekening moetworden uitgevoerdOp druk belaste gewapende, niet-voorgespannen geschoordeen ongeschoorde elementen behoeven niet op tweede-ordemo-menten te worden berekend, indien wordt voldaan aan: lim (EC2 art. 5.8.3.1 (1))waarin: =l0__i(EC2 vgl. 5.14)l0is de effectieve lengte of kniklengte (EC2 art. 5.8.3.2)i is de traagheidsstraal van de doorsnede in de beschouwdebuigingsrichting; i =___Ic___AcIcis het traagheidsmoment van de ongescheurd veronder-stelde betondoorsnede om de beschouwde buigingsas8 Eerste-orde en totaal momentverloop(midden) over de hoogte van een kolommet verschillende eerste-orde eindmo-menten (links). Rechts de benaderingmet gelijkwaardige momenten.9 Onderscheiden eerste-ordemomenten-verdelingen over de hoogte van een ele-ment. Bijbehorende waarde van c0(vanlinks naar rechts): 8; 9,8 ; 2en 12.Stabiliteit 32010 91M02219 kNmM01204 kNm 2 kNm2 kNml0,91l--l18-- M212-- M212--l18--l34M2M2 = 14 kNm10Gelijkwaardig eerste-ordemoment (EC2 art. 5.8.8.2 (2)) vooreen element zonder belastingen tussen de einden:M0e = 0,6M02 + 0,4M01 0,4M02In figuur 8 is de situatie getoond voor de beschouwde kolommet verschillende eerste-ordemomenten.Het in absolute zin grootste moment: M02= 219 kNm.Dan is M01= -204 kNm.Het gelijkwaardige eerste-ordemoment:M0e = 0,6 ? 219 + 0,4 ? (204) 0,4 ? 219 kNmResultaat: M0e= 88 kNm.De rekenwaarde van het totale moment (eerste- plus tweede-orde) wordt berekend met de momentvergrotingsfactor (EC2vgl. (5.28)):MEd = M0Ed(1 +______NB___NEd? 1)waarin: =2__c0(EC2 vgl. (5.29)De grootte van c0is afhankelijk van de eerste-ordemomenten-verdeling over de hoogte van het element: 8 bij een constantmoment; 9,8 bij een parabolisch verloop; 2bij een sinusvormigverloop en 12 bij een driehoekig momentenverloop, zie figuur 9.Voor de kolom in het rekenvoorbeeld is c0= 8 omdat is uitge-gaan van een gelijkwaardig eerste-ordemoment, dus eenconstant moment over de hoogte van het element. Dit momentneemt door het tweede-orde-effect toe tot:MEd = M0e(1 +2__8______8,5 ? 1)= 1,16M0e = 1,16 ? 88 = 102 kNmHet tweede-ordemoment is 102 - 88 = 14 kNm.Voor de kolom geldt:A =1________1 + 0,2e=1__________1 + 0,2 ? 1,0= 0,83B = ______1 + 2 =_________1 + 2Asyd_____Accd=__________________1 + 20,02 ? 4502? 435_____________4502?35___1,5= 1,32C = 1,7 ? rm = 1,7 ?M01____M02= 1,7 ?204_____219= 2,6n =NEd_____Accd=4766 ? 103________4502?35___1,5= 1,09De limietwaarde voor de slankheid van een geschoorde kolom:lim =20ABC________n= 55,3De slankheid van de geschoorde kolom (29,4) is kleiner dan delimietwaarde voor de slankheid (55,3) zodat het niet nodig iseen twee-orde berekening uit te voeren. Om de rekenmetho-diek te illustreren, wordt deze berekening echter wel uitge-voerd.Methode nominale stijfheid (EC2 art. 5.8.7)Bij een geschoorde kolom is het volgens de NB bij EC2 toege-staan deze methode toe te passen; bij de ongeschoorde kolom isdeze methode de enig toegestane methode.Knikweerstand volgens Euler:NB =2EIkolom_______l02=2? 17,5 ? 103? 1/12 ? 4504____________________(0,91 ? 4200)2= 40,4 ? 106NVerhouding tussen de knikweerstand en de rekenwaarde vande normaalkracht:nB =NB___NEd=40,4 ? 106________4766 ? 103= 8,510 Eerste- (links) en tweede-orde (midden)momentenverloop over de hoogte van dekolom. Rechts een benadering van het tweede-ordemoment (figuur niet op schaal)Stabiliteit3201092M M02M0e + M2M01 M01 + 0,5 M010,5 M2e1NEdM01 = NEde2M0e + M2+ =M021111 Schematische weergave van eeneerste- (links) en benaderde twee-de-orde (midden) momentenver-loop over de hoogte van de kolom;rechts het totale moment12 De kromming in de middendoor-snede van een gedrukt elementberekenen door te interpoleren ineen geschematiseerd lineair nor-maalkracht-moment interactiedia-gram13 Eerste- (links) en benaderd tweede-orde (rechts) momentenverloopover de hoogte van de kolomDe grootte van de co?ffici?nt c is afhankelijk van het momen-tenverloop. Anders dan bij de co?ffici?nt c0bij de methode metde nominale stijfheid, moet nu worden uitgegaan van hetverloop van het totaal-moment, dus het gecombineerde eerste-en tweede-ordemomentenverloop. Gekozen wordt c = 12omdat het eerste-ordemomentenverloop relatief gunstig is (demomenten geven trek aan verschillende zijden van de kolom)en het tweede- orde moment (zoals is gebleken bij de methodemet de nominale stijfheid) relatief klein is, waardoor het eerste-ordemomentenverloop nauwelijks wordt be?nvloed.De kromming halverwege de effectieve lengte wordt berekendmet als basiswaarde de kromming die optreedt bij de maxi-mummomentweerstand van de doorsnede. Deze is bij benade-ring (EC2 art. 5.8.8.3 (1)):1__r0=yd_____0,45d=yd___Es_____0,45d=435_____2 ? 105____________0,45 ? 0,9 ? 450= 11,9 ? 106mm1Bij deze maximummomentweerstand behoort een zekerenormaalkracht in de kolom. De rekenwaarde van de normaal-kracht kan een andere grootte hebben. Daarom wordt de krom-ming gecorrigeerd:De werkelijk optredende kromming wordt gevonden uit, ener-zijds, de rekenwaarde van de normaalkracht en, anderzijds, doorde aanname te doen dat sprake is van een rechtlijnig verloop vanhet M-N-interactiediagram tussen het punt met maximummomentweerstand (Mmax; bij een normaalkracht Nbal) en het puntmet centrische druk (normaalkracht Nu) (zie figuur 12). In deeerste situatie is de kromming 1 / r0; in de tweede situatie is diegelijk aan nul (EC2 vgl. (5.36)). Het interpoleren levert een reduc-tiefactor waarmee de werkelijke kromming wordt berekend:Kr =Nu ? N_______Nu ? Nbal=1 + ? n________0,6 + 1,0Mechanische wapeningsverhouding: =Asyd_____Accd=0,02 ? (450)2? 435______________(450)2?35___1,5= 0,37Het verloop van het tweede-ordemoment over de kolomhoogtewordt gevonden omdat ervan mag worden uitgegaan dat hetparabolisch of sinusvorming is over de effectieve lengte (EC2;art. 5.8.8.2 (1)). In figuur 10 is het verloop van de eerste- entweede-ordemomenten gegeven. Omdat in dit rekenvoorbeeldde rotatieveren aan de kolomeinden dezelfde stijfheid hebben,kan de effectieve lengte eenvoudig worden aangegeven enkunnen de tweede-ordemomenten aan de kolomeindenworden berekend. In een meer algemene situatie is de exacteligging van de momentennulpunten van de twee-orde momen-tenlijn niet bekend. In de literatuur wordt dan vaak een bena-derende, meestal veilige aanpak gevolgd (zie figuur 11): deeindmomenten worden elk gelijk gesteld aan 50% van hetgrootste tweede-ordemoment. Uitgaande van een sinusvormigverloop van het tweede-ordemoment, liggen de momentennul-punten dan op een afstand l / 8 van de kolomeinden en is dusuitgegaan van een effectieve lengte l0= 0,75 l.De maatgevende doorsnede kan worden gevonden aan beidekolomeinden of ongeveer halverwege de kolomhoogte. Opbasis van de benaderende schematisatie van de tweede-orde-momentenlijn volgt (zie figuur 11):MEd = max. (M01 + ?M2 ; M0e + M2 ; M02 )Hierbij wordt opgemerkt dat het tweede-ordemoment gunstigwerkt aan het kolomeinde waar M02aanwezig is en daarom indeze doorsnede buiten beschouwing gelaten wordt.MEd = max. (204 + 7 ; 102 ; 219) = 219 kNmGeconcludeerd wordt dat de doorsnede aan de onderzijde vande kolom (met het grootste eerste-ordemoment) maatgevendis. In deze doorsnede wordt de grootte van het moment nietbepaald door het tweede-orde-effect.Methode nominale kromming (EC2 art. 5.8.8)Als in de praktijk sprake is van een geschoorde kolom, magdeze methode worden toegepast. Voor een ongeschoordekolom mag deze methode niet worden toegepast (NB bij EC2).De toename van de uitbuiging van de kolom door het tweede-orde-effect wordt berekend uit een kromtestraal (of: krom-ming), de effectieve lengte van de kolom en het momentenver-loop over de kolomhoogte. De uitdrukking voor deze toenamevan de uitbuiging (EC2 art. 5.8.8.2 (3)):e2 =1__r?l02__cStabiliteit 32010 93NbaL -------------NNMl0 = ------- ? Nu = 0ydl0220,45 dM02219 kNmM01204 kNm-- M2 = 13 kNm12-- M212M2 = 27 kNm12 13De relatieve excentriciteit van de normaalkracht:MEd_____cdbh2=219 ? 106____________35___1,5? 450 ? 4502= 0,10Uit moment-normaalkracht interactiediagrammen (ziebijvoorbeeld de figuren uit de GTB 2006, onderdeel 10, maardan met EC2-invoerparameters) volgt bij deze combinatie eenwapeningsverhouding van circa 1,7%. De aanname (2%) is duscorrect geweest.Rekenvoorbeeld kolom in ongeschoord raamwerkDezelfde kolom wordt nu getoetst op knik als deze onderdeel isvan een ongeschoord raamwerk.Het grootste moment aan de kolomeinden is nu:M02= 329 kNm. De rekenwaarde van de normaalkracht isNEd= 2383 kN.De afmetingen van en de wapening in de balk veranderen niet.De buigstijfheid van de regel is dan: EI,regel = 24,7 ? 1012N/mm2De wapeningsverhouding wordt weer geschat op 2%. De rela-tieve normaalkracht volgens VBC tabel 15:n =NEd__________Accd + Asyd=2383 ? 103__________________________4502? 0,6 ? 45 + 0,02 ? 4502? 435= 0,33Fictieve elasticiteitsmodulus van de kolom:E,kolom = (21300 + 4950_) (1 ? n)= (21300 + 4950 ? 2) (1 ? ? 0,33) = 24,3 ? 103N/mm2Relatieve flexibiliteit aan een uiteinde van de kolom:k1 =(EI__l1)kolom 1+ (EI__l2)kolom 2_________________6EIal___ll+ 6EIar___lr=2 ?24,3 ? 103? 1/12 ? 4504__________________4200____________________12 ?24,7 ? 1012________7200= 1,0Omdat de knopen identiek zijn, is ook k2= 1,0.Relatieve normaalkracht:n =NEd_____Accd=4766 ? 103_________(450)2?35___1,5= 1,09Het effect van kruip wordt in rekening gebracht met EC2 vgl.(5.37): K = 1 + e 1,0waarin: = 0,35 +ck____200?____150= 0,35 +35____200?29,4____150= 0,33K = 1 + 0,33 ? 1,0 = 1,33De optredende kromming:1__r= KrK1__r0= 0,29 ? 1,33 ? 11,9 ? 106= 4,6 ? 106mm1De extra uitbuiging van de kolom:e2 =1__r?l02__c= 4,6 ? 106?(0,91 ? 4200)2___________12= 5,6 mmHet tweede-ordemoment (EC2 vgl. (5.33)):M2 = NEde2 = 4766 ? 103? 5,6 = 26,7 ? 106NmmNet als in figuren 10 en 11 getoond, wordt het tweede-ordemo-ment in de literatuur vaak volgens een vereenvoudigde aanpakgeschematiseerd (zie fig. 13). Evenals bij de methode volgensde nominale stijfheid, wordt de maatgevende doorsnede weergevonden aan de onderzijde van de kolom.Bij een normaalkracht van 4766 kN en een buigend momentvan 219 kNm is de relatieve normaalkrachtn =NEd_____Accd= 1,01.Stabiliteit3201094De rekenwaarde van het totale moment (eerste- plus tweede-orde) volgt weer uit de momentvergrotingsfactor (EC2 vgl.(5.28)):MEd = M0Ed(1 +______NB___NEd? 1)waarin: =2__c0(EC2 vgl. (5.29)Voor de kolom is c0= 12 een conservatieve waarde (vergelijkfiguur 9). Dan is de vergrotingsfactor:MEd = M0Ed(1 +2___12______3,8 ? 1)= 1,29M0EdDe vergrotingsfactor wordt toegepast op de momenten aan dekolomeinden. Het in absolute zin grootste eindmoment (M02)geeft nu het voor de kolom maatgevende moment:MEd = 1,29MEd = 1,29 ? 329 = 424 kNmMet moment-normaalkracht interactiediagrammen wordt dewapeningsverhouding getoetst:Bij een normaalkracht van 2383 kN is de relatieve normaal-kracht n = 0,50. Bij een buigend moment van 480 kNm is derelatieve excentriciteit van de normaalkracht:MEd_____cdbh2=424 ? 106____________35___1,5? 450 ? 4502= 0,20Bij deze combinatie is de minimaal vereiste wapeningsverhou-ding circa 1,8% (zie, bijvoorbeeld, tabellen overeenkomstig diein de GTB 2006). De aanname (2%) is dus correct. De kniklengte van de kolom:l0 = l ? max [___________1 + 10k1k2______k1 + k2; (1 +k1_______1,0 + k1)(1+k2_______1,0 + k2)]= l ? max [_____________1 + 101,0 ? 1,0________1,0 + 1,0; (1 +1,0________1,0 + 1,0)(1+1,0________1,0 + 1,0)]= 2,5 ll0 = 2,25 l = 2,25 ? 4,2 ? 103= 9,5 ? 103mmDe slankheid van de kolom: =l0__i=___12___hl0 =___12____450? 9,5 ? 103= 73,1Controleer of een tweede-ordeberekening moetworden uitgevoerdOmdat ten opzichte van de geschoorde kolom de kolomafme-tingen en de geschatte wapeningsverhouding onveranderd zijngebleven, blijven, bij het berekenen van de limietwaarde voorde slankheid, A en B uit EC2 vgl. (5.13) ook onveranderd; A =0,83 en B = 1,32. Omdat nu sprake is van een ongeschoordekolom is C = 0,7. De relatieve normaalkracht:n =NEd_____Accd=2383 ? 103________4502?35___1,5= 0,50De limietwaarde voor de slankheid van de ongeschoordekolom:lim =20ABC________n= 21,7De slankheid van de geschoorde kolom is aanzienlijk groterdan de limietwaarde voor de slankheid zodat een twee-ordeberekening moet worden uitgevoerd.Methode nominale stijfheid (EC2 art. 5.8.7)Omdat de kolom ongeschoord is, is het volgens de NB bij EC2alleen toegestaan deze methode toe te passen.Knikweerstand volgens Euler:NB = 2EIkolom/l02=2? 24,3 ? 103? 1/12 ? 4504_____________________(9,5 ? 103)2= 9,1 ? 106NVerhouding tussen de knikweerstand en de rekenwaarde vande normaalkracht:nB =NB___NEd=9,1 ? 106________2383 ? 103= 3,8